2.7.2 抛物线的几何性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.7.2 抛物线的几何性质 学习目标 分析关键是知道抛物线标准方程中卫 的几何意义 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、 离心率等几何性质 2.会用抛物线的几何性质解决一些简单 的抛物线问题 3.培养直观想象核心素养。 要点精析 变式训练1 川要点1抛物线的几何性质 已知边长为1的等边三角形AOB,O为 原点，AB⊥x轴，求以O为顶点且过A,B 标准 y2=2px y2=-2px x2=2py x--2py 的抛物线的标准方程. 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 图形 k坐 范围 x≥0， x≤0， x∈R, x∈R, y∈R y∈R y≥0 y≤0 对称 性 轴 x轴 y轴 质 例2若抛物线y2=2px(p>0)上一点M 顶点 (0,0) 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点 离心 M的横坐标和p的值分别为 率 e=1 B变式训练2 思考怎么理解抛物线与椭圆、双曲 已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的 线几何性质的不同点？ 焦点为F,射线FA与抛物线C相当于点M, 例1已知抛物线顶点在原点，对称轴： 与其准线相交于点N,则IFM:MNI=() 是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3，求 A.2:V5 B.1:2 抛物线的标准方程： C.1:V5 D.1:3 学(99 高中数学选择性必修第一册人教B版 例3已知抛物线的顶点在坐标原点， ④若抛物线为x2=-2py(p>0),则IPF= 对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共 方% 弦长等于2V3,求这条抛物线的方程， 2.如图2-7-1所示，抛 物线C:y2=2px(p>0)的准 线为l,焦点为F,1与x轴 交于点K,过F的直线'交 C于A,B两点，AM⊥I于 点M,BN⊥I于点N,设 图2-7-1 AB中点为P,PQ⊥I于点Q,设A(x1,y1), B变式训练③ B(x2,y2),证明下列结论： 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 （）=年，0=p V3的直线交C于点M(M在x轴的上方)， (2)MF⊥NF; I为C的准线，点N在l上，且MN⊥I,则 (3)以焦点弦AB为直径的圆与准线I M到直线WF的距离为() 相切； A.V5 B.2V2 (4)以焦半径AF或BF为直径的圆与y C.2V3 D.3V3 轴相切； 要点2抛物线y2=2px(p>0)的焦点 (5)A,O,N三点共线，B,O,M三 弦的性质 点共线； (6)∠AKF=∠BKF 1.焦半径 (1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任 证明：(1)由题意，F号，0，= 意一点与抛物线焦点为端点的线段， 因为F,A,B三点共线， (2)抛物线的焦半径公式：P(xo,yo) 为抛物线上一点，F为焦点。 所以kA=k,故一=2 ①若抛物线为y2=2px(p>0),则IPF1= o+卫 从而2=乃1， ②若抛物线为y2=-2px(p>0),则IPF= 所以x0=号（02）， 5-o: ③若抛物线为x2=2py(p>0),则IPF= 故y号 所以n90》=号， 2p (100)学 第二章平面解析几何。 显然y1≠y2,所以y0y2=-p2, =,1+,2一=2py+ 2pY2 是=上-p2 i+卫垃+卫y7+p20+p 2p2p2p=4· 2p2 2p2 (2)由题意，M-2,N-乃，， =2py 2p.p2 2py1 ,2py1 y听+p2 -p22 十力2+22十2+ 所以kpk=0·0== -22-22 =0, 君-L,故MFLE 从而直线AK和BK关于x轴对称，故 ∠AKF=∠BKF (3)由题意，PQ是梯形ABNM的中位 例4A,B是抛物线y2=2px(p>0)上 线，所以PO=2(MM+IBNM)=2(MA+HBA) 的两点，且OA⊥OB.(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积， =号4B,从而A01BQ,故以AB为直径的 纵坐标之积，分别都是定值； 圆与直线1相切. (2)直线AB经过一个定点； (3)求O在线段AB上的射影M的轨迹 (4)由题意，AF中点为T之+公，空， 方程 MF=+号，所以点T到y轴的距离d=空+ 子=MA,放以AF为直径的圆与y轴相 切，同理可得以BF为直径的圆也与y轴相切. (5)ko4=1=六=22，ka=2=-2y, 图2-7-2 xyi y' 2p 2 因为0=p2,所以y=-p 2.-p2 从而kO=- Y=2p=k,所以A, O,N三点共线，同理可证B,O,M三点也 共线。 (6由题意，K-2,0, 所以k+hm=当+2 B变式训练④ 已知AB是抛物线2x2=y的焦点弦，若 AB=4,则AB的中点的纵坐标为 学(101 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 例抛物线具有这样的 光学性质：由其焦点射出的 光线经抛物线反射后，沿平 行于抛物线对称轴的方向 图2-7-3 射出.今有抛物线y2=2px >0,一光源在点山14处，由其发出的 光线沿平行于抛物线对称轴的方向射向抛物 线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q, 再反射后，又沿平行于抛物线对称轴的方向 射出，途中遇到直线1：2x-4y-17=0上的点 N,经反射后又射回点M(如图2-7-3所 示) (1)设P,Q两点坐标分别为(x1,y), (x2,y2),求证：yy2-p2; (2)求抛物线的方程. (102学 N高中数学选择性必修第一册人教B版 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知点 B(4,-5)在抛物线上，故p=号，得乌.当船面 两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 A,则12，小，由2，得=子又知船面 露出水面上的部分高为0.75m,.h=yal+0.75=2(m). .水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始 不能通航 2.7.2抛物线的几何性质 要点精析 例1解：由顶点与焦点的距离等于3，？=3，p=6. 又对称轴是y轴，.抛物线的标准方程为x2=±12y. 变式训练1解：当抛物线焦点在 x轴正半轴上时，如图所示，： △OAB为等边三角形，且边长为 1,4Y,分设抛物线方程 2 为2pp>0.4-5 变式训练1答图 2 p=V3 ,“抛物线方程为广Y3x同理，当抛物 12 6 线的焦点在x轴负半轴上时，方程为广-V了 6 例2118或92【解析】点M到对称轴的距离为 6,.不妨设M(xo,6). 点M到准线的距离为10， 62=2px0, xot2=10, 解得9或1， 2 ”p=2 p=18 变式训练2C【解析】由抛物 线定义知MA=W,一照 WW，又△MHN△FOA, IMHI .MⅢ-1OFA-1 IHNI-I0AI-2 变式训练2答图 则IMH:IMNM=1:V5, 即IMA:lMWM=1:V5,故选C. 例3解：如图所示，设所求抛物线 的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px (p>0).设交点A(x1,y),B(x2,y2) (y>0,y2<0),则lyl+yl=2V3,即 为-2=2V3.由对称性知y2=-1, 例3答图 58 y=V3.将y=V3代入x2+y2=4得 x=±1，点(1，V3),(-1,V3)分别在抛物线 -2,产-2px上.3=2或3=(-2px-10,p=号，故 所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 变式训练3C【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0), 准线方程x=-1,由直线方程的点斜式可得直线MF的方 程为y=V3(x-1), 联立V3(x-1), y2=4x, 1 3 x=3, 解得 或 变式训练3答图 .·点M在x轴的上方，M(3,2V3), .MW⊥I,.N(-1,23), WF=V(1+1)2+(0-2V3)2=4, IM=lMWM=V(3+1)2+(2V3-2V3)2=4, .△MNF是边长为4的等边三角形. .点M到直线NF的距离为2/3.故选C. 例4证明：(1)设A(x1,y),B(x2,2),则y=2印x1, yi=2px2,OA LOB,yy2=0. .∴iy5=(2px1)·(2px2)=4p2xx2=-4p2yy2 yy2≠0，y2=-4p2为定值，xx2=-yy2=4p2也是 定值. (2)i-y=(y2+y1)(y2y1)=2p(x2-x)* ①当x1=2时，x=x2=2印，且xx2=4p2有直线AB方程 为x=2p,即直线AB过定点(2p,0): ②当≠2时，由*式，2y=2p x2-x1 yty2 1e:y=2（x-)=22x-), y1+y2 yity2 (2p, =2x2卫+y=24 yity2 yity 2p y+y2 y+y2 =2卫x-4p2=22(x-2p), y1+y2y1+y2y1+y2 .直线AB过定点(2p,0)· (3)设AB过定点P(2p,0),由OM⊥MP, .∠OMP=90°，知点M的轨迹是以OP为直径的圆. 点M的轨迹方程为(x-p)P+y2=p2(x≠0). 变式训练4【解析】设AB的中点为P(a,o）,分 别过A,P,B三点作准线的垂线，垂足分别为A',Q, B.由题意得AA'+IBB1=AB=4,PO=MA'+BB'1=2.又 2 P0=5o+gg2.解得 1 数学文化 (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F(号，0)，当直线PQ的斜率存在 时，设直线PQ的方程为)=k(x-号① 由①式，得=+号，将其代入抛物线方程产 2px中，整理得)2-2)p-0.由根与系数的关系得0= p2 当直线PQ的倾斜角为90时，将x=卫代入抛物线方 程，得=中，同样得到y0=p2 (2)解：光线QN经直线1反射后又射向M, ∴直线MN与QN关于直线1对称，设点M,4关于1 Γ4 的对称点为M(x,y),则 2x24x417-0. 2 解得仁 4 y'=-1. 直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y2=-1.由题 设知P点的纵坐标y=4,且由(1)知y2=-p2,则4× (-1)=-p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x. >2.8直线与圆锥曲线的位置关系 要点精析 例1解：抛物线焦点F(2,0),设1：y=k(x-2)与抛物 线方程联立，消去y得k2x2-(42+8)x+42=0. 设点A(x,),B(,),则x+=4+8, 2,x2=4, ty2=h(x+2)-4k=8. yW2=k2[xx2-2(x1+x2)+4]=-16. 又.MA-MB=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2) =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2) =xw2+2(x1+x2)+y0y2-2(y1+y2)+8=0, 即k2-4k+4=0,解得k=2. 变式训练1C【解析】双南线导后1的浙近线方程 参考答案。 为)=±名x,y=+1与渐近线相切，故+1±女x=0只 有一个实根，4=0，即-4=0，c-4=4,2=5, a 2 ∴.e=V5,故选C. 例2解：设切线斜率为k,则切线方程y-2=k(x-2), 联立方程组 -2=k(x-2),可得-2y-4k+4=0,则4- y2=2x, 4-4k(-4张4)-0，解得k=分，即切线方程为)-2=号（x 2),故切线1的方程为x-2y+2=0. 变式训练2C【解析】由双曲线的几何性质可知，当直 线与渐近线平行时，直线1与C有唯一公共点，由于双 曲线的渐近线方程为y=±x,故直线1的方程为y 3-2)或=号x-2),即y=2-1或y=741.故 选C 例3解：由题知，设1方程为 y=kx+b,其中k<0,b>0. 由题知，一冬，b y=kx+b, 联立+号 例3答图 得(1+2k2)x44bx+2b2-6=0,x+x=-1+2 4kb 由MA=HNB可知x厂xA=xB,故A+xB=XM, 即经冬，解得=号又南2V5, 2 可得=128器4，于是62 经检验知，子，62时，直线1与嘴圆相交。 所以1的方程为=-V2x+2. 2 变式训练3解：(1)：点P到两定点F,F的距离之 和为4，大于两定点间的距离FF=2, .点P的轨迹是以F,F为焦点的椭圆，设其方程 为5+后1m60. 则2a=4,2c=2,即a=2,c=1,b=V3,.点P的 轨迹方程为香+兮山 2+=1, (2)设A(x1,),B(,2),联立43 y=x-1, 59