第2章 22-专题专项练-专题强化练8 抛物线的综合问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面解析几何中的抛物线综合问题，通过专题强化练串联抛物线定义、性质及与圆、直线的综合应用，以高考真题为导入，构建从基础定义（焦点、准线）到距离最值、轨迹方程推导的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光观察现实问题（如正方形菜地分界线的抛物线模型），用数学思维进行逻辑推理（如轨迹方程推导中的分类讨论），通过真题解析培养学生几何直观与推理能力。学生能提升综合解题能力，教师可获得分层教学的丰富素材。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练8 抛物线的综合问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2024吉林长春外国语学校开学考试]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,点Q (m,n),点P到点Q的距离和到y轴的距离分别为d1,d2,则 ( ) A.抛物线C的准线方程为y=-1 B.若m=n=1,则△PQF周长的最小值为3 C.若(m-3)2+n2=1,则d1的最小值为2 D.若m-n=-4,则d1+d2的最小值为 -1     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由抛物线方程可知抛物线的准线方程为x=-1,A错误. 当m=n=1时,△PQF的周长为|PQ|+|PF|+1,作PT垂直于直线x=-1于点T,则|PQ|+|PF|+1=|PQ|+|PT|+1≥|QT| +1=3,当且仅当P,Q,T三点共线时取等号,B正确. 若(m-3)2+n2=1,则Q(m,n)在以(3,0)(记为M)为圆心,1为半径的圆上,所以d1=|PM|-1.设P ,则|PM|2=  +t2= (t2-4)2+8≥8,所以|PM|≥2 ,所以d1的最小值为2 -1,C错误. 若m-n=-4,则Q(m,n)在直线x-y+4=0(记为l)上,所以d1+d2=d1+|PF|-1≥dF-l-1= -1,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江西部分高中期中联考]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k>0)与y轴交于点 D,与x轴交于点E,与C在第一、四象限内的交点分别为A,B,坐标原点为O,则下列结论正确的是  ( ) A.若BF⊥x轴,则|BF|=2　　     B.若BF⊥x轴,则 =1 C. = 　　     D. =  ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　过A,B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴于点M,N,如图所示,   由题意得,F(1,0),E(2,0), 若BF⊥x轴,则xB=1,代入抛物线方程y2=4x,可得yB=-2,则|BF|=2,因此A正确; 若BF⊥x轴,则BF∥y轴, 由三角形相似可知 = = =1,因此B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 由BN∥AM可知 = , 由抛物线的定义知 = ≠ , 所以 = ≠ ,因此C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏连云港期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线过点N(-1,0),直线l与C交 于A,B两点,弦AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线,垂足为A',B',M',则( ) A.p=2 B.若点Q(1,y)在抛物线C上,则点Q到准线的距离为3 C.若直线l过焦点F,则2|M'F|=|A'B'| D.若△A'B'F的面积是△ABF的面积的2倍,则点M的轨迹方程为y2=2x-4     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为准线过N(-1,0),所以 =1,故p=2,故A正确. 对于B,由A可得抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,若Q(1,y)在抛物线上,则点Q到准线x=-1的距离d=1 +1=2,故B错误. 对于C,不妨设A位于第一象限,连接A'F,B'F,如图,   由抛物线的定义可得|AA'|=|AF|,故∠A'AF=π-2∠AFA',同理得∠B'BF=π-2∠BFB',故∠A'AF+∠B'BF=π=2 π-2∠BFB'-2∠AFA',故∠BFB'+∠AFA'= ,则∠A'FB'= , 易知M'为A'B'的中点,则|A'M'|=|M'B'|=|M'F|, 第1讲　描述运动的基本概念 故2|M'F|=|A'B'|,故C正确. 对于D,由题可得弦AB不过焦点F,设A ,B ,则A'(-1,y1),B'(-1,y2),△A'B'F的面积为 ×|y1-y2|×| FN|=|y1-y2|, 当y1+y2≠0时,直线AB:y= · +y1= x+ ,令y=0,则x=- ,故△ABF的面积为 ×  |y1-y2|, 故|y1-y2|=2× × |y1-y2|, 由A,B为相异两点,知y2≠y1, 故1= ,即1+ =±1,故y1y2=-8或y1y2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 易得M ,且 = - , 若y1y2=-8,则xM=  +2,即点M的轨迹方程为y2=2x-4, 又因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠2,故点M的轨迹方程为y2=2x-4(x≠2); 若y1y2=0,同理可得点M的轨迹方程为y2=2x, 因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠0,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 当y1+y2=0时,直线AB:x= ,其中y1≠0,y1≠±2,则△ABF的面积为 × ·|2y1|,故|y1-y2|=2|y1|=2× × ·| 2y1|,故y1=±2 ,故 或  故A(2,2 ),B(2,-2 )或B(2,2 ),A(2,-2 ),此时M(2,0),该点在曲线y2=2x-4上. 综上,点M的轨迹方程为y2=2x-4或y2=2x(x≠0),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025浙江G5联盟期中联考]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到直线y= 的距离为1,M是抛物线C上 的动点,M到直线y=- 的距离与|MP|之和的最小值为1,则点P的轨迹围成的图形的面积是 ( ) A. - 　　    B. 　　    C. + 　　    D.4π     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得F .因为焦点F到直线y= 的距离为1,所以 =1,又p>0,所以p=3,所以F ,准线方 程为y=- . 易知直线y=- 与准线y=- 的距离为1,又点M到直线y=- 的距离与|MP|之和的最小值为1,所以点M到准 线y=- 的距离与|MP|之和的最小值为2,所以|MF|+|MP|的最小值为2. 显然|MF|+|MP|≥|PF|,当且仅当点M在线段PF上时取等号,所以|PF|=2,所以点P的轨迹是以点F为圆心,2 为半径的圆. 因为点M在线段PF上,所以点M在圆内. 因为直线y=- 与直线y= 的距离为1,当点P在直线y= 上,点M在直线y= 下方的抛物线上(包括交点),且 MP垂直于直线y= 时,M到直线y=- 的距离与|MP|之和为1,所以点P的轨迹由以点F为圆心,2为半径的 第1讲　描述运动的基本概念 圆在直线y= 上及下方的圆弧AB与弦AB组成. 易知点F到直线AB:y= 的距离是1,所以∠AFB=2× = ,所以点P的轨迹围成的图形的面积为 × ×22 - ×22sin = - .   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2024湖南长沙雅礼中学期中]已知N为抛物线x2=4y上的任意一点,M为圆x2+(y-5)2=4上的一点,A(0,1), 则2|MN|+|MA|的最小值为__________.     4      解析　易知圆x2+(y-5)2=4的圆心坐标为(0,5)(记为B),半径为2,与y轴交点的坐标为(0,7),(0,3)(记为C).取 AM的中点E,BC的中点D,连接BM,MD,CE,DN,如图所示.   因为C,E分别为AB和AM的中点,所以CE∥BM,|CE|= |BM|=1,所以∠ACE=∠MBD, 又因为|BM|=|AC|,|BD|=|CE|, 第1讲　描述运动的基本概念 所以△ACE≌△MBD,所以|AE|=|MD|. 因为|AE|= |MA|,所以|MA|=2|MD|, 所以2|MN|+|MA|=2(|MN|+|MD|)≥2|DN|,当且仅当D,M,N三点共线(M在线段DN上)时取等号. 设N(2 ,m),m≥0,易知D(0,4),则|DN|= = = ,所以当m=2时,|DN| min=2 ,即2|MN|+|MA|的最小值为4 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026上海市西中学期中]现有一块正方形菜地EFGH.EH所在直线是一条运河.从菜地收获的蔬菜可 送到F点或河边运走.于是,将菜地分为两个区域S1和S2,其中S1区域中的蔬菜运到河边较近,S2区域中的蔬 菜运到F点较近,而菜地内S1和S2区域的分界线(记为曲线C)上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平 面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图所示. (1)直接写出菜地内S1和S2区域的分界线(即曲线C)的方程; (2)设M,N,P是曲线C上纵坐标分别为 ,1, 的点,求六边形OMNPGF的面积占正方形EFGH的面积的百 分比(结果精确到1%).   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知直线EH:x=-1,由抛物线的定义可知曲线C为抛物线的一部分,F(1,0)为其焦点,所以曲线C: y2=4x,x∈[0,1]. (2)如图所示,作PA⊥GF,NB⊥GF,MD⊥GF,垂足分别为A,B,D,   易知M ,N ,P  ,  ,则|MD|=1- = ,|NB|=1- = ,|PA|=1- = ,|GA|=2- = ,|AB|= -1= ,| BD|=1- = ,|DF|= ,所以S六边形OMNPGF=S△GPA+S梯形APNB+S梯形NBDM+S梯形MDFO = × × + × × + × × + × × = ,而正方形EFGH的面积为4,所以所占百分 比为 ×100%= ×100%≈33%. 第1讲　描述运动的基本概念 $