2.6.2 双曲线的几何性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 设动圆M的半径为R,则有MFI=R+1,IMF=R+4, IMEI-IMFI=3<10=IFFI. 因此，点M的轨迹是以F,F2为焦点的双曲线的左 支，且a号，5，于是6-2- :动图圆心M的教迹方程为号式-1≤一多引 44 数学文化 C【解析】设双曲线T的焦距为2c,圆D的半径为 R,由题意可知，IOAI=c,ICO1=BO1=a,∴.c=2a 又c2-2+b2,b-6,∴.eV2,c=2V2,lABl=a+c= 3V2. 在△ADB中，∠ADB=120°，IDA=R= 2MA sin120° V6.故选C 2.6.2双曲线的几何性质 要点精析 例1解：由已知a=4,63,c5,则双曲线6号1 的实轴长为2a=8,虚轴长为2b=6,顶点坐标为(0,4)， (0,-4),焦点坐标为(0,5)，(0，-5)，离心率e=c - 变式训练1C【解析】渐近线方程为y=x,b2=2. 又P(V3,yo)在双曲线上，=1. 又F(-2,0),F(2,0), P℉·PF=(-2-V3,-yo)(2-V3,o) =-4+3+=-4+3+1=0.故选C 例2解：（山）由题意设双曲线方程为若苦女(> 0,即蛋-苏13,4+5=9,1.所求双曲 线方程为聋芳1 (2)由题意设双向线方程为号云-1（®0,6>0）， 焦距是16，商心奉c=号，2=16，日号，解得c 3, 8,-6,b2=c2--6436=28,双曲线方程为兰￡=1. 3628 变式训练2解：(1)由题意设所求双曲线方程为 91 后4a≠0，双曲线过点(3.2V3.号品 56 人得A子苦后分，即号学，心所求双南 94 4 线方程为-上=1. 94 (②)由题意设所求双曲线方程为心燕1 (4<16,双猫线过点(3V2,2.4-山 得k2+10k-56=0,(k+14)(k-4)=0,解得k=4或k=-14.又 <16,=4。小所求双南线方程为5首1 例3D【解析】设双曲线的左 焦点为F,连接AF,BF可知 四边形AFBF为平行四边形，由 ∠AFB=60°，∴.∠FBF=120°， IFF=2c=10. 在△BF,F中，由余弦定理， 例3答图 得FEP=BFP+IBF-2 IBELIBE·cos120°，即IBE1+BFP+ IBFI-BF=100①①. 又因为点B在双曲线上，BF-BF=2a=8,两边平 方得，IBF2+IBF2-2 IBFIIB=64②. ①-②得BEBF=12,所以 Saw=号BF-BRsn∠FBF=XI2xV-3V3. 2 又0为FF的中点，Sm=号5m=号V了. 变式训练3(1)证明：双曲线的一条渐近线方程为y= 名x,即6x-0-0,焦点B(c,0.由向该渐近线作国 线，由点到直线的距离公式可得PF,=lbc-a~O=-bc=b. Va+b2 c (2)解：IOP1=VOFP-PF,平=Vc2-b=a,则 cos∠FOP=-cos∠POF=-a,IPFI=V5IOP=V5a,则 在△OPR中，由余弦定理知cos∠FOP-IOP+HOFP-IPFE 2IOP·lOFI =dte25d=-4,得c2-2,则离心率e=V2 2ac 例4解：一个焦点是F(-6,0),c=6,且焦 点在x轴上，设等轴双曲线方程为兰-二=1(>0)， 2之+-36，解得-18。双曲线的标准方程为后 发1，裔近线方程为)=虹 离心率e=g=V2a-V2. a a 变式训练4解：双曲线若-示1(a>0,6>0)的海近 线方程为)y=±多x,右焦点为Fc,0),不妨设点P位于第 一象限，则PA为点Fc,0)到直线)名的距商， 则IPA=bc-01=b,所以IORA=V1O-PT=a. V2+b2 又△OPF的周长为12，所以a+b+c=12 又由台，得}a6=12①， 又c+6,b品d,b=a②. 16 联立①②得a=4,b=3,·.双曲线方程的标准方程为 后51 例5A【解析】设椭圆的长轴长为2α1，双曲线的实轴 长为22，P为第一象限的点， (IPF+IPF2l=2a1,IPFl=a+a2, 则 IPFI-IPF3l=2az,IPF=ar-az, 所以cos∠FPF=PFPHPEP-4e2 2IPFl·IPFI =（at)2+(a-)2-4c2- 2(a+a2）(a-a2） 4 化简得3+5a=8c2, 所以3+5=8， ei e 所以ciei=(eexg+】 例5答图 g345装+≥gx825) 8 =1+V①5 4 数学文化 C【解折】已知方程可以安形为=，即 -2+3，即1V5-V40+ 1=Vx24(y+1) ,其表示 Vm Vmx-2y+3引 V5 双曲线上一点(x,y)到定点(0，-1)与定直线x-2y+ 3-0之比为常数=√，又由e>l,可得0m5,故选C m2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 要点精析 例1BCD【解析】IPF=d,但定点F可能在定直线m 上，故A错误； 参考答案。 动圆圆心到F(0,3)的距离和到直线y+3=0的距 离都等于半径，故B正确： ·点P到F(0,8)的距离比它到直线y=-7的距 离大1，点P到F(0,8)的距离和它到直线y=-8的 距离相等，P点的轨迹是抛物线，故C正确： 设动圆P的半径为r,则点P到点C的距离为r+1, 点P到直线1：x=-1的距离为r,由此可知点P到直线 x=-2的距离为r+1,.P点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选BCD 变式训练1D【解析】5V(x-1)+y2=4x-3y+21可变形 为V(x-1)+7=4-3y+2 5 等式左侧是点P(x,y)到点(1,0)的距离，而等 式右侧是点P(x,y)到直线4x-3y+2=0的距离，.点P 的轨迹是抛物线.故选D. 例2解：（1)~抛物线的焦点坐标为弓，0，设 抛物线标准方程为产-2x(p>0).由-号=子，得n 1,故抛物线的标准方程为y2=-2x. (②)：抛物线的准线方程为)弓，设抛物线的标 准方程为产-2py(p0.由号子，得p=3,故抛物线 的标准方程为x2=-6y. 变式训练2C【解析】设焦点为F,点A(x,y),由 抛物线定义得MA=ot乃，由于点A到y轴的距离为9， x9,9+-12,p=6,故选C 例3解：~位于)轴右侧的动点M到}，0的距离 比它到y轴的距商大号，动点加到F分，0的距离 与它到直线：=号的距离相等。 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点， 为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为y2=2x 00)的形式，而号=分，p=1,2p=-2,故点M的轨 迹方程为y2=2x(x≠0). 数学文化 解：如图所示，以拱桥的拱 顶为原点，以过拱顶且平行于水 面的直线为x轴，建立平面直角 广公 -B 坐标系 例题答图 57第二章平面解析几何。 2.6.2 双曲线的几何性质 学习目标 例1 求双曲线6号1的实轴和虚轴 1.了解双曲线的几何性质（范围、对称 的长、顶点和焦点的坐标、离心率 性、顶点、实轴长和虚轴长等)，理解双曲 分析求出a,b,c,再根据双曲线的 性质求解 线的离心率、渐近线方程的概念，培养直观 想象核心素养. 2.学会利用双曲线的性质解决相关问 题，提升逻辑推理、数学运算核心素养 要点精析 要点1双曲线的几何性质 变式训练① 标准 羊系利 方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 已刻双南线号茶1(60)的左、右 焦点分别为F,F2,其一条渐近线方程为y= 图形 x,点P(V3,yo)在该双曲线上，则PF,· PF2=( A.-12 B.-2 范围 lxl≥a,y∈R yl≥a,x∈R C.0 D.4 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 例2求适合下列条件的双曲线的标准 顶点A(-a,0),A2(a,0)A(0,-a),A2(0,a 方程 线段AA2是双曲线的实轴，线段BB2是 轴 双曲线的虚轴.实轴长442=2a,虚轴长 (1)焦点在x轴上，c=3,一条渐近线 IB B2l=26 方程为=V5x 渐近线 y=t y=t 2 a 6* (2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率 离心率 e=c(e>1) 4 e= 3 思考 (1)能否用a,b表示双曲线 分析 (1)采用待定系数法，设双曲 的离心率？ (2)双曲线的离心率大小与双曲线的 线方程为若号k0),而3，求出太 形状有什么关系？ 的值，标准方程即可求 学 93 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)采用待定系数法，设双曲线方程 反思感悟 为2x2 日6=1（a>0,6>0),而2c=16,c= 双曲线方程的设法与技巧： (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方 专，求出a,c,秀结合c2-4b,可求出0 程可设为器言1（®0，b0, 的值，从而可求出双曲线方程 (2)焦，点在y轴上的双曲线的标准方 程可设为若-后1（®0,60. ③)与双曲线具有相何焦点 的双曲线方程可设为 -、=1(入≠0， 2-入b2+λ -b2<入<a2). ④)与双曲线1具有相同渐期 变式训练2 线的双曲线方程可设为2 京=入（入≠0）. (5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设 求下列双曲线的标准方程： 为k2x2-y2=入（入≠0）. (1)与双曲线公-二=1有共同渐近线， 916 (6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程 且过点(-3,2V3); 可设为a2x2-b3y2=入（入≠0）. (2)与双曲线6千1有公共焦点，且 例3已知双曲线C: 后苦1的右焦 过点(3V2,2). 点为F,过原点O的直线与双曲线交于A, B两点，且∠AFB=60°，则△OBF的面积为 () A多 B.9V3 2 c D.3V3 2 变式训练3 设月.乃是双周线C:手京1(o0, b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P (94)学 第二章平面解析几何。 若PF=V5IOP1. 变式训练4 (1)求证：IFP=b; (2)求双曲线的离心率， 已知双曲线器-1(@0,6>0)的离 心率为子，0为坐标原点，右焦点为R,过 点F作一条渐近线的垂线，垂足为P,若 △OPF的周长为12，求双曲线的标准方程. 川要点2等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴 双曲线， 思考等轴双曲线的渐近线方程是什 么？离心率是多少？ 例4对称轴都在坐标轴上的等轴双曲 例5已知椭圆的两焦点F,F,和双曲 线的一个焦点是F,(-6,0),求双曲线的标 线的两焦点重合，P为椭圆和双曲线的一个 准方程、渐近线方程和离心率 交点，且cos∠FP},椭圆和双曲线的 离心率分别为e1,e2,则e子+e的最小值为 () A.1+V15 B.V15 4 2 c D.V15 4 分析对于共焦点问题，结合椭圆、 双曲线的定义即IPFI+lPFl=2a1,PF-PF= 2a2,求出IPFl,IPFl,在△PFF,中表示 cos∠FPF,即可得关于e1,e2的等量关系. 学(95 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 出，到定点的距离与到定直线的距离的比是 数学文化 常数e的点的轨迹称为圆锥曲线；当0<e<l 例古希腊数学家欧几里得在《几何原 时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物 本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆 线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程 锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲 里得没有给出证明.经过了500年，到了3 线，则m的取值范围为() 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学 A.(0,1) B.(1,+∞) 汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的 C.(0,5) D.(5,+∞) 统一定义，并对这一定义进行了证明.他指 (96)学