有理数：数轴上点的平移问题、数轴上的规律探究问题讲义-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理了有理数中数轴点平移与规律探究的知识体系，将核心知识点、解题思路、高频易错点分模块呈现，以“左减右加”规律为基础，构建平移计算、距离问题、多次平移合成的递进脉络，突出数形结合的内在联系。 讲义亮点在于分层设计的例题与变式训练，如基础平移计算（例1）、折线数轴动点问题（例3）等，培养抽象能力与几何直观。通过枚举找规律、周期公式推导等方法指导，帮助学生掌握等差、周期型规律，基础薄弱学生可夯实方法，优秀学生能深化推理意识，教师可据此实施精准分层教学。

有理数：数轴上点的平移问题、数轴上的规律探究问题讲义 有理数：数轴上点的平移问题、数轴上的规律探究问题讲义 考点目录 数轴上点的平移问题 数轴上的规律探究问题 考点一 数轴上点的平移问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 数轴的基本对应关系 数轴上的点与实数一一对应，每个点对应的实数称为该点的坐标。原点对应坐标 ，正方向上的点坐标为正，负方向上的点坐标为负。 1. 点平移的核心规律（左减右加） 设数轴上一点 对应的坐标为 ，将点 沿数轴平移： · 向右平移 个单位长度（），得到的新点坐标为：； · 向左平移 个单位长度（），得到的新点坐标为：。 · 本质：向右平移坐标增大，向左平移坐标减小；平移只改变点的坐标，不改变两点间的相对距离。 1. 平移的相对性与平移量 若数轴上点 坐标为 ，点 坐标为 ，则将点 平移到点 ： · 平移的距离为 ； · 若 ，平移方向为向右；若 ，平移方向为向左。 1. 多次平移的合成 点经历多次连续平移时，可以将每次平移的位移带符号计算（向右为正，向左为负），总位移等于各次平移位移的代数和，最终坐标 = 初始坐标 + 总位移。 1. 平移与两点距离结合 数轴上两点 、 的距离公式：。 已知一点平移后的距离条件求坐标时，通常转化为绝对值方程求解，对应向左、向右平移两种可能。 二、解题思路 1. 基础平移计算 已知初始坐标、平移方向与单位数，直接套用“左减右加”规则计算新坐标；已知平移后的坐标和平移过程，逆向反推初始坐标，规则反向：向右平移的逆向是减，向左平移的逆向是加。 1. 多次平移问题 · 方法一：分步计算，按平移顺序依次对坐标进行加减，逐步得到最终位置； · 方法二：合成总位移，规定向右为正方向，将每次平移的距离带上方向符号，求和得到总位移，再与初始坐标相加得到最终坐标。 1. 平移距离类问题 已知一点平移后与某定点的距离，求平移后的坐标或平移单位数： ① 设平移后的坐标为未知数； ② 根据两点距离公式列绝对值方程； ③ 解方程得到两个解，对应向左、向右两种平移方向，结合题意取舍。 1. 两点相对平移问题 两个点同时平移时，分别计算每个点平移后的坐标，再分析两点的距离、中点等关系；两点同方向同距离平移，两点间距离不变，中点也同步平移。 三、高频易错点 1. 平移方向与运算符号记混，误记为“左加右减”； 1. 距离类问题漏解，绝对值方程通常有两个解，对应两种平移方向，易只写其中一个； 1. 多次平移时符号混乱，向左平移的位移应为负值，易误带正号累加； 1. 混淆“平移 个单位长度”与“移动到第 个点”，忽略初始点的坐标基数。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 例3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    例4．（25-26七年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 例5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 变式2．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 变式3．（25-26七年级上·广东阳江·期中）在数轴上，如果点A表示数5，将点A向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是_________． 变式4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 变式5．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 考点二 数轴上的规律探究问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 数轴上的规律探究，本质是点的坐标随运动次数、序号变化的数列问题：第 个点或第 次运动后的坐标，对应数列的第 项 ，将几何运动规律转化为数列的通项规律求解。 1. 常见规律类型 · 等差型规律：点每次沿固定方向平移固定单位长度，坐标构成等差数列，公差为每次平移的位移（向右为正，向左为负）。 · 等比型规律：点每次平移的距离按固定倍数放大或缩小，坐标的变化量呈等比数列。 · 周期型规律：点的运动呈现周期性重复，每经过固定次数的运动，位置回到初始状态或重复之前的运动序列，周期长度就是重复一次所需的运动次数。 · 折返/交替型规律：点的运动方向交替变化（右、左、右、左……），移动距离可以固定或递增，通常分奇偶项分别呈现规律，或可按周期分组处理。 二、解题思路 1. 枚举找规律 根据题目描述的运动规则，依次计算出前 3~5 次运动后点的坐标，将结果按顺序排列，直观观察数值的变化趋势。 1. 判断规律类型 · 对比相邻两项的差：差值恒定→等差型； · 对比相邻两项的比：比值恒定→等比型； · 观察数值是否重复出现：存在循环→周期型； · 观察奇偶项分别呈现不同等差/等比规律→交替折返型。 1. 推导通项/周期公式 · 等差型：确定初始坐标 和每次位移 ，写出第 次坐标 的通项公式； · 等比型：确定首项和公比，利用等比数列通项或求和公式计算； · 周期型：确定周期长度 ，计算 的商和余数，余数为 ，则第 次位置与第 次位置相同（余数为 0 对应周期最后一个）； · 交替型：分 为奇数、偶数两种情况，分别推导对应通项公式。 1. 验证与应用 将 代入推导的公式，验证是否与枚举结果一致；再代入题目要求的指定次数，计算出对应坐标；若已知坐标反求次数，代入通项解方程即可。 三、高频易错点 1. 规律验证不足，仅计算前 2 次就推导通项，容易因样本太少找错规律； 1. 周期问题中，余数为 0 时对应周期最后一个位置，易误对应第一个位置； 1. 交替折返问题中，混淆位移与路程，累计移动的总长度是路程，而坐标是位移的代数和，需注意方向符号； 1. 混淆“第 次移动后”与“ 次移动的总路程”，前者是坐标点，后者是距离之和，二者概念不同； 1. 分段规律问题，直接套用单一公式，忽略运动方向改变的节点。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的圆周等分点处分别标上，，，，再将数轴（表示的点右侧的部分）按顺时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上标记数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 例3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，表示的数是________，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是_______． 例4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点落在数轴上且所对应的数为；则翻转次后，点所对应的数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 变式3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 变式4．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数：数轴上点的平移问题、数轴上的规律探究问题讲义 有理数：数轴上点的平移问题、数轴上的规律探究问题讲义 考点目录 数轴上点的平移问题 数轴上的规律探究问题 考点一 数轴上点的平移问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 数轴的基本对应关系 数轴上的点与实数一一对应，每个点对应的实数称为该点的坐标。原点对应坐标 ，正方向上的点坐标为正，负方向上的点坐标为负。 1. 点平移的核心规律（左减右加） 设数轴上一点 对应的坐标为 ，将点 沿数轴平移： · 向右平移 个单位长度（），得到的新点坐标为：； · 向左平移 个单位长度（），得到的新点坐标为：。 · 本质：向右平移坐标增大，向左平移坐标减小；平移只改变点的坐标，不改变两点间的相对距离。 1. 平移的相对性与平移量 若数轴上点 坐标为 ，点 坐标为 ，则将点 平移到点 ： · 平移的距离为 ； · 若 ，平移方向为向右；若 ，平移方向为向左。 1. 多次平移的合成 点经历多次连续平移时，可以将每次平移的位移带符号计算（向右为正，向左为负），总位移等于各次平移位移的代数和，最终坐标 = 初始坐标 + 总位移。 1. 平移与两点距离结合 数轴上两点 、 的距离公式：。 已知一点平移后的距离条件求坐标时，通常转化为绝对值方程求解，对应向左、向右平移两种可能。 二、解题思路 1. 基础平移计算 已知初始坐标、平移方向与单位数，直接套用“左减右加”规则计算新坐标；已知平移后的坐标和平移过程，逆向反推初始坐标，规则反向：向右平移的逆向是减，向左平移的逆向是加。 1. 多次平移问题 · 方法一：分步计算，按平移顺序依次对坐标进行加减，逐步得到最终位置； · 方法二：合成总位移，规定向右为正方向，将每次平移的距离带上方向符号，求和得到总位移，再与初始坐标相加得到最终坐标。 1. 平移距离类问题 已知一点平移后与某定点的距离，求平移后的坐标或平移单位数： ① 设平移后的坐标为未知数； ② 根据两点距离公式列绝对值方程； ③ 解方程得到两个解，对应向左、向右两种平移方向，结合题意取舍。 1. 两点相对平移问题 两个点同时平移时，分别计算每个点平移后的坐标，再分析两点的距离、中点等关系；两点同方向同距离平移，两点间距离不变，中点也同步平移。 三、高频易错点 1. 平移方向与运算符号记混，误记为“左加右减”； 1. 距离类问题漏解，绝对值方程通常有两个解，对应两种平移方向，易只写其中一个； 1. 多次平移时符号混乱，向左平移的位移应为负值，易误带正号累加； 1. 混淆“平移 个单位长度”与“移动到第 个点”，忽略初始点的坐标基数。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 例2．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 例3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 例4．（25-26七年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 例5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数是 ，C点表示的数是 ． (2)将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ． (3)将点B移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ． 【答案】(1)，，3 (2)0 (3)或1 【分析】本题考查的是数轴上点所表示的数，数轴上点的平移，掌握平移规律：左减右加，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上点位置，确定相应的数值即可； （2）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行求解即可； （3）根据数轴上点的位置，按照移动的距离进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：从数轴看，点A、B、C三点分别为：，，3， 故答案为：，，3； （2）解：将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是：， 故答案为：0； （3）解：将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 将点B向右移动3个单位长度后，点B所表示的数是：， 故答案为：或1． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动无滑动，那么数轴上的数所对应的点将与圆周上的字母（   ）重合． A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，依次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， ， 数轴上的数2025所对应的点将与圆周上的字母B重合， 故选：B． 变式2．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上有理数的加减运算，点B的位置取决于移动方向：向右移动则点B表示的数为，向左移动则点B表示的数为． 【详解】∵点A表示的数为，沿数轴移动3个单位长度， ∴当向右移动时，点B表示的数为：； 当向左移动时，点B表示的数为：． ∴点B表示的数为2或． 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·广东阳江·期中）在数轴上，如果点A表示数5，将点A向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B，那么点B表示的数是_________． 【答案】8 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律． 根据数轴上点的移动规律，向左移动相当于减去移动的单位长度，向右移动相当于加上移动的单位长度，因此通过有理数的加减运算求解． 【详解】解：点B表示的数为：． 故答案为：8． 变式4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 变式5．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 考点二 数轴上的规律探究问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 数轴上的规律探究，本质是点的坐标随运动次数、序号变化的数列问题：第 个点或第 次运动后的坐标，对应数列的第 项 ，将几何运动规律转化为数列的通项规律求解。 1. 常见规律类型 · 等差型规律：点每次沿固定方向平移固定单位长度，坐标构成等差数列，公差为每次平移的位移（向右为正，向左为负）。 · 等比型规律：点每次平移的距离按固定倍数放大或缩小，坐标的变化量呈等比数列。 · 周期型规律：点的运动呈现周期性重复，每经过固定次数的运动，位置回到初始状态或重复之前的运动序列，周期长度就是重复一次所需的运动次数。 · 折返/交替型规律：点的运动方向交替变化（右、左、右、左……），移动距离可以固定或递增，通常分奇偶项分别呈现规律，或可按周期分组处理。 二、解题思路 1. 枚举找规律 根据题目描述的运动规则，依次计算出前 3~5 次运动后点的坐标，将结果按顺序排列，直观观察数值的变化趋势。 1. 判断规律类型 · 对比相邻两项的差：差值恒定→等差型； · 对比相邻两项的比：比值恒定→等比型； · 观察数值是否重复出现：存在循环→周期型； · 观察奇偶项分别呈现不同等差/等比规律→交替折返型。 1. 推导通项/周期公式 · 等差型：确定初始坐标 和每次位移 ，写出第 次坐标 的通项公式； · 等比型：确定首项和公比，利用等比数列通项或求和公式计算； · 周期型：确定周期长度 ，计算 的商和余数，余数为 ，则第 次位置与第 次位置相同（余数为 0 对应周期最后一个）； · 交替型：分 为奇数、偶数两种情况，分别推导对应通项公式。 1. 验证与应用 将 代入推导的公式，验证是否与枚举结果一致；再代入题目要求的指定次数，计算出对应坐标；若已知坐标反求次数，代入通项解方程即可。 三、高频易错点 1. 规律验证不足，仅计算前 2 次就推导通项，容易因样本太少找错规律； 1. 周期问题中，余数为 0 时对应周期最后一个位置，易误对应第一个位置； 1. 交替折返问题中，混淆位移与路程，累计移动的总长度是路程，而坐标是位移的代数和，需注意方向符号； 1. 混淆“第 次移动后”与“ 次移动的总路程”，前者是坐标点，后者是距离之和，二者概念不同； 1. 分段规律问题，直接套用单一公式，忽略运动方向改变的节点。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的圆周等分点处分别标上，，，，再将数轴（表示的点右侧的部分）按顺时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上标记数字（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和数字的变化规律，由于圆的周长为个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以，如果余数分别是、、、，则分别与圆周上表示数字、、、的点重合，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字3重合． 故选：D． 例2．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 例3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，表示的数是________，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是_______． 【答案】 1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 根据点的运动情况，可知奇数次移动的点表示的数是，偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点， 第2次从点向右移动4个单位长度至点， 第3次从点向左移动6个单位长度至点， …， ∴奇数次移动的点表示的数是， 偶数次移动的点表示的数是， ∴表示的数是； ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ， 解得， 当n是偶数时， ， 解得； 综上分析可知：点与原点的距离等于1008，那么n的值是1009或1006． 故答案为：；1009或1006． 例4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 【答案】14或15/15或14 【分析】本题考查数字的规律．根据题意，将n分为奇数和偶数进行规律探寻，求出对应的点，故而可得答案． 【详解】解：由题意可得， 第n次移动后的点表示的数可表示为： n为奇数时：，点在原点左侧； n为偶数时：，点在原点右侧； ∵点与原点的距离等于15， ∴当为奇数时，，解得，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：14或15． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点落在数轴上且所对应的数为；则翻转次后，点所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意可求出前6次翻转后点C对应的数，进而可得第次翻转后，点C对应的数为，第次翻转后，点C对应的数为，第次后，点C对应的数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，第1次翻转后，点C对应的数为， 第2次翻转后，点C对应的数为2， 第3次翻转后，点C对应的数为2， 第4次翻转后，点C对应的数为， 第5次翻转后，点C对应的数为5， 第6次翻转后，点C对应的数为5， ……， 以此类推可知，第次翻转后，点C对应的数为，第次翻转后，点C对应的数为，第次翻转后，点C对应的数为， ∵， ∴翻转次后，点C所对应的数是， 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．先得出翻转是以每6次为一个循环，再根据（次）可得翻转2024次后，数2025所对应的点与翻转2次后，数3所对应的点相同，由此即可得． 【详解】解：由题意得：翻转1次后，数所对应的点为点， 翻转2次后，数所对应的点为点， 翻转3次后，数所对应的点为点， 翻转4次后，数所对应的点为点， 翻转5次后，数所对应的点为点， 翻转6次后，数所对应的点为点， 翻转7次后，数所对应的点为点， 由此可知，翻转是每以6次为一个循环， ∵（次）， ∴翻转2024次后，数所对应的点与翻转2次后，数3所对应的点相同，即为点， ∴经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是， 故选：D． 变式3．（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点B到点位置．若点A表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点A在数轴上对应的数为___________． 【答案】4049 【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 由图可知，每3次翻滚为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，每3次翻滚为一个循环组依次循环， ， 翻转2024次后点A在数轴上， ∴点A对应的数是， 故答案为：4049． 变式4．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 分析每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是8个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … ∴第2025次跳动后，该质点到原点的距离是：． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $