第十五章《轴对称》（知识点+例题+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义系统梳理人教版初中数学第十五章“轴对称”核心知识，从轴对称图形与成轴对称的定义及区别联系入手，衔接线段垂直平分线的性质、判定及尺规作图，再到用坐标表示轴对称，延伸至等腰（边）三角形的性质与判定、含30°角直角三角形性质，最终以将军饮马模型及变形实现知识应用，构建完整学习支架。 该资料通过对比表格明晰概念差异，结合尺规作图步骤培养动手能力，设计将军饮马模型分类及例题训练，助力学生发展几何直观与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过折叠问题、最短路径等题型训练巩固知识，查漏补缺。

第十五章轴对称 【人教版】 15.1 图形的轴对称 一、轴对称 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．两个图形成轴对称 （1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． （2）成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 3．轴对称和轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 二、线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的性质与判定 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 如图，l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线. （2）性质 ①线段垂直平分线 垂直且平分 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。 证明：在Rt△PAC与Rt△PBC中 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC ∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。 （3）判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 2.互逆命题 两个命题的题设和结论刚好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，另一个九叫作它的逆命题。 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理。其中一个定理叫作另一个的逆定理。 3．线段垂直平分线的尺规作图 （1）作已知线段的垂直平分线的步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② （2）垂直平分线的证明： 如图③，连接MA，MB，NA，NB。 由作图过程可知 MA＝MB＝NA＝NB 在△MAN与△MBN中 ∴△MAN≌△MBN ∴∠AMO＝∠BMO 在△AMO与△BMO中 ∴△AMO≌△BMO ∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90° ∴MN垂直平分AB。 15.2 画轴对称图形 一、画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 二、用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2. 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 15.3 等腰（边）三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 如图，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。 2．等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 如图,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 【注】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图,在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴ ②∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD =∠CAD，ADBC; ③∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD =∠CAD,BD=CD. （3）性质3：等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴； （只有1条对称轴） 【常用结论】 ①等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． ②等腰三角形两底角的平分线相等． ③等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． ④当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 3．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）“等角对等边”：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成． 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB =AC(等角对等边) 【注意】等角对等边的前提是“在同一个三角形中”. （3）三线合一逆用：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形． 二、等边三角形 1．等边三角形概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质． 性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 如图1，在△ABC中，∵AB=AC=BC,∴∠A=∠B=∠C=60° （图1） （图2） 性质2：等边三角形任意一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合,简称“三线合一” 性质3：等边三角形是轴对称图形（如图2），对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 【注】对称轴是一条直线,不是射线或线段. 3．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 证明：在中，，则，，所以． （3）判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 轴对称最值（将军饮马及变形） 一、“将军饮马”基础模型 “将军饮马”基础模型（和最小） 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） “将军饮马”基础模型（差最大） 当A、B两点异侧时，作B点对称点B’，那么的｜AP-BP｜≤B’P;当A、B’、P三点共线时，等号成立 2、 “将军饮马”变形 （一）“点点型”将军饮马 “一定两动之点点” ：求PM+MN+NP的最小值 分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM+MN+NP转化为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，和最小． “两定两动” ：在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。PQ是条定线段，即求PM+MN+NQ的最小值 分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 （二）“点线型”将军饮马 “一定两动之点线” ：在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线段中，垂线段最短） （三）“平移型”将军饮马 “将军建桥”（造桥选址） ：求AM+MN+BN的最小值 MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可；通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．当A’，N，B共线时，和最小 “将军遛马” ：已知A、B两点，MN长度为定值，求AM+MN+NB最小值 MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可；通过平移，使AM与NB连在一起，再做A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，即可确定N、M位置 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别 【例题 1】下列四种剪纸图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【练习1.1】数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B符合题意． 【练习1.2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列图形是轴对称图形的是（     ） A．任意三角形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．任意三角形不一定都是轴对称图形，不符合题意， B．直角梯形不存在对称轴，不是轴对称图形，不符合题意， C．平行四边形不一定都是轴对称图形，不符合题意， D．等腰三角形存在对称轴，是轴对称图形，符合题意． 【练习1.3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】解：A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 题型二 成轴对称的两个图形 【例题 2】观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【练习2.1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【练习2.2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 【练习2.3】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 【答案】轴对称变换 【知识点】全等三角形的性质、成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等变换，解题关键是能够识别全等三角形理解全等变换的概念； 由全等三角形的性质及全等变换的意义直接解答即可． 【详解】解：∵， 有图可知：，， ， ∴这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换， 故答案为：轴对称变换． 题型三 成轴对称图形性质有关的计算 【例题3】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 【练习3.1】如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 【练习3.2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围． (2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【知识点】求不等式组的解集、写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． （2）根据平移规则写出点坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，回代算出点坐标． 【详解】（1）解：点在第二象限， ， 解得， 解得， ； （2）解：点向下平移个单位得到点，点的坐标为， ，即， ，关于轴对称，点的坐标为， ， 解得， 把代入得 ，， ∴点的坐标为． 【练习3.3】如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】在中，，， ， 点在边上，点在边上，点与点关于直线对称， ， ， ． 题型四 折叠问题 【例题4】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【知识点】折叠问题 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 【练习4.1】如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，从而得出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【练习4.2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】这道题主要考查了几何图形折叠问题，其中长方形每个内角都为直角，即，再根据折叠的性质，折痕为对称轴，折叠前后对应角相等即和，再利用已知角建立方程求解． 【详解】解： ∵根据题意，以、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、， ∴利用折叠对称性，设，； ∵长方形中， ∴， 即， ∵折叠后， 即， ． 【练习4.3】综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 【答案】(1)解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， 第二次折叠后，， ∴； (2) 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）根据折叠的性质和平行线的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 题型五 线段垂直平分线的性质 【例题5】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【练习5.1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【练习5.2】如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】根据角平分线的定义分别求出、，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，计算即可． 【详解】解：平分，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【练习5.3】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型六 线段垂直平分线的判定 【例题6】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【练习6.1】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 【练习6.2】如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【练习6.3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 题型七 互逆命题（定理） 【例题7】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1) 解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； (2) 解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）略 【练习7.1】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【练习7.2】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【练习7.3】如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、判断是否为互逆命题 【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 【详解】解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 题型八 线段的垂直平分线性质及画法 【例题8】如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 【练习8.1】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示，点P即为所求点的位置， 【知识点】角平分线的判定定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】根据，即作线段的垂直平分线，根据点P到边的距离与到边的距离相等，即作的角平分线，两线交点即为所求点的位置． 【详解】略． 【练习8.2】如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 线段的垂直平分线与直线的交点即为所求点． 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【详解】略 【练习8.3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 题型九 作垂线（尺规作图） 【例题9】如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)证明：平分，，于， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的性质可求得，进而可证得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【练习9.1】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点即为所求， 理由：由作图可知， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】过作，交于点，则点即为所求． 【详解】略． 【练习9.2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图即为所求 【知识点】垂线段最短、作垂线(尺规作图) 【分析】作与交于点，根据垂线段最短可得最小； 【详解】略 【练习9.3】如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 题型十 轴对称应用—坐标与图形变换 【例题10】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求， ，，； (2)P点的坐标为或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）找到关于y轴对称点，顺次连接即可得到，再写出的坐标即可； （2）根据面积得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：图略 ，，； （2）解：， ∴， ∴P点的坐标为或． 【练习10.1】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，如图，点的位置，即为所求； (2)； ； 所得图形与原的位置关于x轴对称 (3)或 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）求出点A的坐标，即可解答； （2）设点A，B，C的对应点分别为点，可得，即可求解； （3）过点A作，且，即可求解． 【详解】（1）解：∵点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． ∴点， （2）解：设点A，B，C的对应点分别为点， ∵，将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴新的三角形的坐标分别是， 画出新图形略； 所得图形与原的位置关于x轴对称； （3）解：如图，过点A作，且， ∴点D的坐标为或． 【练习10.2】（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、已知点所在的象限求参数、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （3）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于y轴对称的点为， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴，   解得； （2）解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵点向上平移2个单位长度后得到点， ∴点， ∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ ． 【练习10.3】如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【答案】(1)，， (2)点的横坐标为 (3)①与面积相等，理由见解析；②坐标或 【知识点】平方根概念理解、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）利用被开方数为非负数求出的值，再代入求出，得到、坐标，最后根据和在轴负半轴的条件，求出点坐标； （2）先求关于轴的对称点，算出的面积，根据“平分面积”得的面积，再用三角形面积公式列方程，结合在线段上的取值范围，求出的横坐标； （3）①先表示出时和的长度，分别计算和，发现二者相等，再同时减去公共的四边形的面积，得到；②分、、和四种情况进行讨论，再根据的面积为，用割补法列出关于、分别列出方程，然后联立方程组求解，得到两个符合条件的点坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 题型十一 轴对称应用—“将军饮马”模型 【例题11】【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【练习11.1】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； (2)11 (3)110 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 【练习11.2】如图，已知，，．    (1)求证：； (2)过点E作，交的延长线于点M，过点M作，交的延长线于点P． ①求的度数； ②连接，交于点N，证明垂直平分； (3)点O是直线上的动点，当的值最小时，证明点O与点E重合． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的判定、等边对等角、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）①由可得，再根据等边对等角可得，然后根据直角三角形的性质即可解答；②先说明，由平行的性质可得，然后再证明可得，再根据等腰三角形的性质可得即可证明结论； （3）先说明，则，此时的值最小，进而证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：①解∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴N是的中点，， ∴垂直平分．    （3）证明：如图：延长、交于Q点， 由①知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时的值最小， ∵点O是直线上的动点， ∴当的值最小时，E点与O点重合．    【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、轴对称﹣最短路径问题、平行线的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，利用轴对称求最短距离是解题的关键． 【练习11.3】综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、线段问题(轴对称综合题)、角度问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 题型十二 等腰三角形性质—“三线合一” 【例题12】如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【答案】12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】过点P作于点M，由垂直平分线的性质得，由等腰三角形三线合一，得，由角平分线的性质得，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点P作于点M， ∵垂直平分线段， ∴， ∴，即为角平分线， 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 【练习12.1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【练习12.2】如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【练习12.3】在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三线合一 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 题型十三 含30°角的直角三角形 【例题13】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 【练习13.1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 【练习13.2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 【练习13.3】如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 题型十四 等腰三角形的存在性问题 【例题14】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【知识点】格点图中画等腰三角形、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 【练习14.1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)或 (3)4 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的性质、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、画轴对称图形 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据找出点即可求解； （3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，和即为所求； 点Q的坐标为或 故答案为：或； （3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 【练习14.2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 【练习14.3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】如图，共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 题型十五 等边三角形的性质 【例题15】如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】求出，，，然后利用含30度直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【练习15.1】如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的性质 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【练习15.2】如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 【练习15.3】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)7 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出； （2）先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $第十五章轴对称 【人教版】 15.1 图形的轴对称 一、轴对称 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．两个图形成轴对称 （1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． （2）成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 3．轴对称和轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 二、线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的性质与判定 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 如图，l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线. （2）性质 ①线段垂直平分线 垂直且平分 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ 90°， AC ＝ BC。 ②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。即PA ＝ PB。所以△PAB是等腰三角形。 证明：在Rt△PAC与Rt△PBC中 ∴Rt△PAC≌Rt△PBC ∴∠A ＝ ∠B；∠APC ＝ ∠BPC。 （3）判定 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 垂直平分线 上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 2.互逆命题 两个命题的题设和结论刚好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，另一个九叫作它的逆命题。 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理。其中一个定理叫作另一个的逆定理。 3．线段垂直平分线的尺规作图 （1）作已知线段的垂直平分线的步骤： ①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图① ②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图② （2）垂直平分线的证明： 如图③，连接MA，MB，NA，NB。 由作图过程可知 MA＝MB＝NA＝NB 在△MAN与△MBN中 ∴△MAN≌△MBN ∴∠AMO＝∠BMO 在△AMO与△BMO中 ∴△AMO≌△BMO ∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90° ∴MN垂直平分AB。 15.2 画轴对称图形 一、画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 二、用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2. 在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 15.3 等腰（边）三角形 一、等腰三角形 1．等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 如图，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。 2．等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 如图,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 【注】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图,在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴ ②∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD =∠CAD，ADBC; ③∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD =∠CAD,BD=CD. （3）性质3：等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴； （只有1条对称轴） 【常用结论】 ①等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． ②等腰三角形两底角的平分线相等． ③等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． ④当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 3．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）“等角对等边”：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成． 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB =AC(等角对等边) 【注意】等角对等边的前提是“在同一个三角形中”. （3）三线合一逆用：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形． 二、等边三角形 1．等边三角形概念 三边都相等的三角形是等边三角形． 2．等边三角形的性质 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质． 性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 如图1，在△ABC中，∵AB=AC=BC,∴∠A=∠B=∠C=60° （图1） （图2） 性质2：等边三角形任意一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合,简称“三线合一” 性质3：等边三角形是轴对称图形（如图2），对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 【注】对称轴是一条直线,不是射线或线段. 3．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 证明：在中，，则，，所以． （3）判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三、含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 轴对称最值（将军饮马及变形） 一、“将军饮马”基础模型 “将军饮马”基础模型（和最小） 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） “将军饮马”基础模型（差最大） 当A、B两点异侧时，作B点对称点B’，那么的｜AP-BP｜≤B’P;当A、B’、P三点共线时，等号成立 2、 “将军饮马”变形 （一）“点点型”将军饮马 “一定两动之点点” ：求PM+MN+NP的最小值 分别作点P关于OA、OB的对称点，将PM+MN+NP转化为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，和最小． “两定两动” ：在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。PQ是条定线段，即求PM+MN+NQ的最小值 分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 （二）“点线型”将军饮马 “一定两动之点线” ：在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线段中，垂线段最短） （三）“平移型”将军饮马 “将军建桥”（造桥选址） ：求AM+MN+BN的最小值 MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可；通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．当A’，N，B共线时，和最小 “将军遛马” ：已知A、B两点，MN长度为定值，求AM+MN+NB最小值 MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可；通过平移，使AM与NB连在一起，再做A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，即可确定N、M位置 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别 【例题 1】下列四种剪纸图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【练习1.1】数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【练习1.2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列图形是轴对称图形的是（     ） A．任意三角形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形 【练习1.3】（25-26八年级下·甘肃白银·期末）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二 成轴对称的两个图形 【例题 2】观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【练习2.1】（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【练习2.2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【练习2.3】如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的___． 题型三 成轴对称图形性质有关的计算 【例题3】如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【练习3.1】如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【练习3.2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围． (2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 【练习3.3】如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 题型四 折叠问题 【例题4】如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【练习4.1】如图，在长方形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【练习4.2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【练习4.3】综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 题型五 线段垂直平分线的性质 【例题5】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【练习5.1】如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【练习5.2】如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【练习5.3】如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 题型六 线段垂直平分线的判定 【例题6】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【练习6.1】（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【练习6.2】如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【练习6.3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 题型七 互逆命题（定理） 【例题7】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【练习7.1】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【练习7.2】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【练习7.3】如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 题型八 线段的垂直平分线性质及画法 【例题8】如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【练习8.1】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【练习8.2】如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【练习8.3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 题型九 作垂线（尺规作图） 【例题9】如图，在中，，平分，点在上，． (1)用尺规作，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【练习9.1】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【练习9.2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【练习9.3】如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 题型十 轴对称应用—坐标与图形变换 【例题10】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形；并写出的坐标． (2)若在x轴上存在点P，使得的面积为6，请求出P点的坐标． 【练习10.1】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【练习10.2】（25-26八年级下·湖南常德·期中）在平面直角坐标系中，点，点 (1)若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． (2)若点A，B关于x轴对称，求的值． (3)若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【练习10.3】如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 题型十一 轴对称应用—“将军饮马”模型 【例题11】【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【练习11.1】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【练习11.2】如图，已知，，．    (1)求证：； (2)过点E作，交的延长线于点M，过点M作，交的延长线于点P． ①求的度数； ②连接，交于点N，证明垂直平分； (3)点O是直线上的动点，当的值最小时，证明点O与点E重合． 【练习11.3】综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 题型十二 等腰三角形性质—“三线合一” 【例题12】如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【练习12.1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【练习12.2】如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【练习12.3】在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 题型十三 含30°角的直角三角形 【例题13】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【练习13.1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【练习13.2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【练习13.3】如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 题型十四 等腰三角形的存在性问题 【例题14】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【练习14.1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【练习14.2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【练习14.3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 题型十五 等边三角形的性质 【例题15】如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【练习15.1】如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【练习15.2】如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【练习15.3】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 2 / 65 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $