专题07 鸽巢问题（解决问题讲义）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过框架图系统梳理了鸽巢问题的知识体系，将基础问题、进阶逆推、最不利原则三个考点按“概念-方法-应用”逻辑组织，用表格呈现计算公式和易错点，清晰展现各考点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，从夯实基础的“摸球同色”到培优拔高的“兴趣班报名”，再到思维拓展的“生日相同问题”，结合典型例题如扑克牌摸牌问题，指导学生用“最不利原则先取不符合再加1”的方法，培养推理意识和抽象能力。不同层次题目满足学生需求，助力教师实施精准教学。

（新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题07：鸽巢问题 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：基础鸽巢问题 1．解决类型：已知物体数、抽屉数，求至少数；把物体分配到抽屉中，确定同一个抽屉最少保证拥有的物体数量。 2．核心思路：运用平均分思想，尽可能平均分配物体，余下物体再依次分配，得到保证条件下的最少数量。 3．方法技巧：用除法做平均分，分有余数、无余数两种情况计算。 4．计算公式 （1）物体数÷抽屉数=商…..余数 （2）有余数：至少数=商+1 （3）无余数：至少数=商 【易错点】 （1）至少数≠商+余数； （2）“至少”是指一定能出现的最少数量，不是偶然情况。 考点02：鸽巢问题的进阶 1．解决类型：逆推题型，已知抽屉数和至少数求物体总数；已知物体数和至少数求抽屉数。 2．核心思路：从最不利的分配状态入手，反向还原分配过程。 3．方法技巧： ①求最少物体数：每个抽屉先放（至少数−1）个，再加1； ②求最多抽屉数：由至少数推出商＝至少数−1，物体数÷商取整数部分。 4．计算公式 （1）最少物体数=抽屉数×（至少数−1）＋1 （2）最大抽屉数：物体数÷（至少数−1），取整数商 【易错点】求物体数是“保证达成条件”的最小值；抽屉数一般求最大值，看清题目限定条件。 考点03：最不利原则 1．解决类型：摸球、抽卡片、取物品等实际问题，求保证拿到指定特征物品的最少取出数量。 2．核心思路：先把所有不符合要求的全部取完，穷尽最坏情况，再取1个就必然满足条件。 3．方法技巧：假设运气最差，把各类不满足条件全部取到，再加1。 4．计算公式：保证取出n个相同物品：最少取出数量=种类数×（n−1）+1 【易错点】看到关键词“保证”，不能按运气最好来算；分清物品的种类与物品总数量。 考点 01：基础鸽巢问题 【典型例题】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【练习1】按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【练习2】“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 考点 02：鸽巢问题的进阶 【典型例题】学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【练习1】在下面的每小格中填入“1”或“2”两个数字。 （1）每列有（     ）种不同的填法。 （2）无论怎么填，至少有几列的数字填法完全相同？为什么？ 【练习2】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 考点 03：最不利原则 【典型例题】一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【练习1】把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【练习2】有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 夯实基础 1．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（     ）个球。 A．5 B．4 C．3 2．六（1）班有49个同学，那么班上至少有（     ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 3．张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖。成绩是42环，张叔叔至少有一镖不低于（     ）。 A．8 B．9 C．10 4．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（     ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 5．将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了（     ）个苹果。 A．8 B．6 C．7 6．实验小学六（4）班有45名学生，分别来自学校周边的5个小区。那么，这个班至少有（ ）人住在同一个小区，至少有（ ）人在同一个月过生日。 7．在一个黑盒子里有蓝、黄、绿三种颜色的玻璃球，每种颜色各2个，要保证取出的玻璃球中三种颜色都有，至少应取出（ ）个；要保证取出的玻璃球中有两个颜色相同，至少应取出（ ）个。 8．盒子中有5个黑球，3个红球，2个绿球，任意拿出6个，一定有（ ）球。 9．在一个箱子里乱七八糟放着大小一样、质量一样的6只红袜子和6只白袜子，至少摸（ ）只可以保证能摸到颜色相同的一双袜子。 10．体育馆里有足球、篮球和排球3种球，一共有100名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个。那么最少有（ ）名学生借到球的数量和种类完全一样。 11．2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有（ ）人在同一个月过生日。 12．将红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各5个放入一个袋子里，要保证取出的珠子中至少有两个同色的，则至少应取出（ ）个珠子。 13．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 14．把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了（ ）个鸡蛋。 15．把红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根混在一起，如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子。 16．单词“剪刀：scissors”中字母“s”重复率很高。要从这个单词中抽取字母，至少要抽取（ ）个字母才能保证抽到2个不同的字母。 17．操场上，有26位阿姨在跳广场舞，她们中至少有（ ）人的属相相同，如果站成4列，那么总有1列至少有（ ）人。 18．把红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个放到一个盒子里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色不同的球。 19．将2015只小兔子最多放入（ ）个笼子里，可以保证至少有5只小兔子在同一个笼子里。 20．4道单项选择题，每题都有A、B、C、D四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有（ ）人的答题结果是完全一样的。 21．将红、黄、蓝三种颜色的袜子各4只放入盒子中，每次取出一只，要保证取出一双同色的袜子，至少要取（ ）次；要保证取出两只不同色的袜子，至少要取（ ）次。 22．把7串葡萄放在6个盘子里，总有（ ）个盘子里至少要放2串葡萄。 23．纸箱里放有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其他规格都一样），从中摸一个球，摸出的（ ）球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸（ ）次。 红球 3个 黄球 4个 蓝球 5个 24．如果把一个正方体6个面分别涂上红、黄两种颜色，那么至少有（ ）个面颜色是相同的。 25．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 26．口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是（ ），要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 27．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到（ ）口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出（ ）个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 种类 小明 倩倩 豆沙 15个 15个 红枣 10个 15个 花生 5个 15个 培优拔高 28．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 29．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 30．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 31．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 32．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？ 想：在解决这个问题时，是把（     ）看作抽屉，共有（     ）个抽屉。 我的解答： 33．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 思维拓展 34．班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版六年级数学上册解决问题 专题07：鸽巢问题 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：基础鸽巢问题 1．解决类型：已知物体数、抽屉数，求至少数；把物体分配到抽屉中，确定同一个抽屉最少保证拥有的物体数量。 2．核心思路：运用平均分思想，尽可能平均分配物体，余下物体再依次分配，得到保证条件下的最少数量。 3．方法技巧：用除法做平均分，分有余数、无余数两种情况计算。 4．计算公式 （1）物体数÷抽屉数=商…..余数 （2）有余数：至少数=商+1 （3）无余数：至少数=商 【易错点】 （1）至少数≠商+余数； （2）“至少”是指一定能出现的最少数量，不是偶然情况。 考点02：鸽巢问题的进阶 1．解决类型：逆推题型，已知抽屉数和至少数求物体总数；已知物体数和至少数求抽屉数。 2．核心思路：从最不利的分配状态入手，反向还原分配过程。 3．方法技巧： ①求最少物体数：每个抽屉先放（至少数−1）个，再加1； ②求最多抽屉数：由至少数推出商＝至少数−1，物体数÷商取整数部分。 4．计算公式 （1）最少物体数=抽屉数×（至少数−1）＋1 （2）最大抽屉数：物体数÷（至少数−1），取整数商 【易错点】求物体数是“保证达成条件”的最小值；抽屉数一般求最大值，看清题目限定条件。 考点03：最不利原则 1．解决类型：摸球、抽卡片、取物品等实际问题，求保证拿到指定特征物品的最少取出数量。 2．核心思路：先把所有不符合要求的全部取完，穷尽最坏情况，再取1个就必然满足条件。 3．方法技巧：假设运气最差，把各类不满足条件全部取到，再加1。 4．计算公式：保证取出n个相同物品：最少取出数量=种类数×（n−1）+1 【易错点】看到关键词“保证”，不能按运气最好来算；分清物品的种类与物品总数量。 考点 01：基础鸽巢问题 【典型例题】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 【答案】8名 【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型： 买一本的：有语文、数学、外语3种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。 买三本的：有语文、数学和外语1种。 把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。 【详解】抽屉：3＋3＋1＝7（个） 学生：7＋1＝8（名） 答：至少要去8名学生。 【练习1】按照星座学说，根据出生时间不同，有十二个不同星座，请问至少找多少个同学，才能保证有四个人是同一个星座？ 【答案】37个 【分析】把同学看作物品，星座看作抽屉，要保证至少有4个人在同一个抽屉，那么可以每个抽屉先放3个人，再在某一个抽屉中多放一个人。 【详解】（4－1）×12＋1 ＝3×12＋1 ＝36＋1 ＝37（个） 答：至少找37个同学，才能保证有四个人是同一个星座。 【练习2】“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 【答案】4天 【分析】根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。 【详解】31÷10＝3（天）……1（天） 3＋1＝4（天） 答：该市至少有4天是同一种天气。 考点 02：鸽巢问题的进阶 【典型例题】学校开设了画画、写作、书法3个兴趣班，四年级3班共40人，每个学生都报名了其中两个兴趣班，那么这个班至少有多少个学生报的兴趣班完全一样？ 【答案】14个 【分析】学生的报班情况可能有：画画和书法、画画和写作、写作和书法，共3种，看成3个抽屉，把40个学生看成40个苹果，根据抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体；（2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】40÷3＝13……1 13＋1＝14（个） 答：这个班至少有14个学生报的兴趣班完全—样。 【练习1】在下面的每小格中填入“1”或“2”两个数字。 （1）每列有（     ）种不同的填法。 （2）无论怎么填，至少有几列的数字填法完全相同？为什么？ 【答案】填表见详解 （1）8 （2）2列；理由见详解 【分析】将数字“1”或“2” 填入表格的每个小格中，写全所有可能的填法。 （1）数出每列有几种不同的填法。 （2）根据鸽巢问题的求法，把8种填法放入9列中，先平均每列放一种填法，还剩下1列，无论放哪一种填法，都会出现2列的数字填法完全相同。 【详解】填表如下： 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 （填法不唯一） （1）每列有8种不同的填法。 （2）9÷8＝1（列）……1（列） 1＋1＝2（列） 答：无论怎么填，至少有2列的数字填法完全相同。因为有8种不同的填法，表格共有9列，把8种不同的填法放入9列中，一定至少有2列的数字填法完全相同。 【练习2】六年级有22名同学进行投篮训练，每人投3次。投中一次得1分，未投中得0分。至少有几名同学的成绩相同？ 【答案】6名 【分析】每人投3次，投中一次得1分，未投中得0分，可能得分有四种情况：①三次都投中，计1＋1＋1＝3分；②两次投中，一次不投中：计1＋1＋0＝2分；③一次投中，两次不投中：计1＋0＋0＝1分；④三次都不投中，计0分；现在有22名同学，相当于22个“元素”要放进这4个“抽屉”里，用22除以4，得到22÷4＝5……2，这意味着平均每个“抽屉”放5个“元素”后，还剩下2个“元素”。根据抽屉原理，剩下的这2个“元素”无论放到哪个“抽屉”里，都会使得至少有一个“抽屉”里有5＋1＝6个“元素”，也就是至少有6名同学的成绩相同。 【详解】得分可能为3分、2分、1分、0分，共4种情况。 22÷4＝5（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有6名同学的成绩相同。 考点 03：最不利原则 【典型例题】一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 【答案】（1）5 （2）13 （3）40 （4）14 【分析】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【详解】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 【练习1】把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【答案】30人 【分析】要保证一个学生中至少有3本书，那么其他学生必须分满2本，从总数中拿出一本备用（用做最后改2本为3本），则（本数－1）÷（最多拿到的本数－1），所得商为学生数（无论是否有余数），据此解答。 【详解】（61－1）÷（3－1） ＝60÷2 ＝30（人） 答：那么这个班最多有30人。 【练习2】有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，…，100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？ 【答案】865张 【分析】从最不利的情况考虑，先把数量不足10张的1－9全部取完，再把剩下的数字都分别取了9张，最后再取1张就能确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同。 【详解】（1＋2＋3＋4＋…＋9）＋（110－10＋1）×9＋1 ＝（1＋9）×9÷2＋（110－10＋1）×9＋1 ＝10×9÷2＋91×9＋1 ＝45＋819＋1 ＝865（张） 答：至少要抽取865张卡片。 夯实基础 1．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（     ）个球。 A．5 B．4 C．3 【答案】C 【分析】要想摸出的球一定有2个同色的，根据最不利原则，当摸出2个球的时候，红、黄两种颜色的球各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，所以至少要摸（2＋1）个球。 【详解】2＋1＝3（个） 盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。 故答案为：C 2．六（1）班有49个同学，那么班上至少有（     ）个同学的生日在同一个月。 A．4 B．5 C．6 【答案】B 【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，49个同学看作49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在12个抽屉中：49÷12＝4……1，那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。 【详解】建立抽屉：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，考虑最差情况： 49÷12＝4（个）……1（人） 4＋1＝5（个） 六（1）班有49个同学，那么班上至少有5个同学的生日在同一个月。 故答案为：B 3．张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖。成绩是42环，张叔叔至少有一镖不低于（     ）。 A．8 B．9 C．10 【答案】B 【分析】不低于就是大于或等于，因为42÷5＝8……2，就是说至少有一镖大于或等于9环，如果都小于9环，成绩就会小于42环，据此即可解答。 【详解】42÷5＝8（环）……2（环） 8＋1＝9（环） 所以张叔叔至少有一镖不低于9环。 故答案为：B 4．在六（1）班学生中，有8个人都订阅了《小作文》《小读者》《儿童时代》三种杂志中的一种或几种。那么，这8个人中至少有（     ）个人所订的杂志种类完全相同。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】先求出订阅一种、两种、三种杂志一共有7种情况，然后把8个人平均分给7种订阅情况，每种订阅情况分到1个人，还剩下1个人，那么至少有（1＋1）个人订的杂志种类相同。 【详解】订阅一种的有：《小作文》或《小读者》或《儿童时代》，有3种情况； 订阅两种的有：《小作文》和《小读者》、《小作文》和《儿童时代》、《小读者》和《儿童时代》，有3种情况； 订阅三种的有：《小作文》和《小读者》和《儿童时代》，有1种情况； 共有：3＋3＋1＝7（种） 8÷7＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 这8个人中至少有2个人所订的杂志种类完全相同。 故答案为：A 5．将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了（     ）个苹果。 A．8 B．6 C．7 【答案】C 【分析】把3个盘子看作3个抽屉，把20个苹果看作20个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需18个苹果，余2个苹果无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里有6＋1＝7个，据此解答。 【详解】20÷3＝6（个）……2（个） 6＋1＝7（个） 将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了7个苹果。 故答案为：C 6．实验小学六（4）班有45名学生，分别来自学校周边的5个小区。那么，这个班至少有（ ）人住在同一个小区，至少有（ ）人在同一个月过生日。 【答案】 9 4 【分析】本题中的“鸽”是45名学生，“巢”分别是5个小区、12个月。鸽数能被巢数整除时，至少数＝鸽数÷巢数；鸽数不能被巢数整除时，至少数＝鸽数÷巢数的商＋1。 【详解】45÷5＝9（人） 这个班至少有9人住在同一个小区。 45÷12＝3（人）……9（人） 3＋1＝4（人） 至少有4人在同一个月过生日。 7．在一个黑盒子里有蓝、黄、绿三种颜色的玻璃球，每种颜色各2个，要保证取出的玻璃球中三种颜色都有，至少应取出（ ）个；要保证取出的玻璃球中有两个颜色相同，至少应取出（ ）个。 【答案】 5 4 【分析】第一问要求“三种颜色都有”，需考虑最不利情况，即取出了其中两种颜色的所有球，仍未凑齐三种颜色，此时再取1个即可满足条件。第二问要求“有两个颜色相同”，需考虑最不利情况，即每种颜色各取了1个，仍未出现颜色相同，此时再取1个即可满足条件。 【详解】2＋2＋1 ＝4＋1 ＝5（个） 至少应取出5个能保证取出的玻璃球中三种颜色都有。 3＋1＝4（个） 至少应取出4个能保证取出的玻璃球中有两个颜色相同。 8．盒子中有5个黑球，3个红球，2个绿球，任意拿出6个，一定有（ ）球。 【答案】黑 【分析】考虑最不利的情况：绿球数量最少，只有2个，红球有3个，两种颜色球的总数为2＋3＝5（个）。拿球时，假设最不利的情况，先把绿球和红球全部拿完，一共拿了5个球。此时再拿1个球，因为绿球和红球都拿完了，所以只能是黑球。也就是说，任意拿出6个球，一定会拿到黑球。 【详解】2＋3＝5（个） 拿球时，假设最不利的情况，先把绿球和红球全部拿完，一共拿了5个球。此时再拿1个球，因为绿球和红球都拿完了，所以只能是黑球。即任意拿出6个球，一定会拿到黑球。 盒子中有5个黑球，3个红球，2个绿球，任意拿出6个，一定有黑球。 9．在一个箱子里乱七八糟放着大小一样、质量一样的6只红袜子和6只白袜子，至少摸（ ）只可以保证能摸到颜色相同的一双袜子。 【答案】3 【分析】最不利的情况是：先摸出2只袜子，恰好是1只红袜子和1只白袜子（两种颜色各一只）。此时再摸出1只袜子，无论这只袜子是红色还是白色，都能与之前摸出的其中一只组成颜色相同的一双袜子。据此解答。 【详解】2＋1＝3（只） 所以至少摸3只可以保证能摸到颜色相同的一双袜子。 10．体育馆里有足球、篮球和排球3种球，一共有100名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个。那么最少有（ ）名学生借到球的数量和种类完全一样。 【答案】12 【分析】先分析借到球的类型包括借到1个球（3种），借到2个同类型球（3种），借到2个不同种类球（），总共有9种不同的“借球类型”，当做9 个“抽屉”。 如果想让“同一个抽屉里的人数”尽量少，那就平均放。100÷9＝11……1，即每个“抽屉”11人，则9个“抽屉”共99人，多出来的 1 个人不管放进哪个抽屉，这个抽屉的人数就变成 11＋1＝12 人。 【详解】依题意可知，借球的可能类型有， 借1个球有3种情况，借2个同种类有3种情况，借2个不同种类有3 种情况， 共有 3＋3＋3＝9种不同的“借球类型”。 把 9 种借球类型看作 9 个“抽屉”，100 个学生是“苹果”， 因为100÷9＝11……1， 即每个抽屉最多 11 人时，只能容纳 9×11＝99 人，还多 1 人， 多出来的1个人不管放进哪个抽屉，这个抽屉的人数就变成 11＋1＝12 人。 所以最少有12名学生借到球的数量和种类完全一样。 11．2022年北京冬奥会中国体育代表团总人数为387人，其中运动员176人，是史上规模最大的一届。运动员中至少有（ ）人在同一个月过生日。 【答案】15 【分析】根据鸽巢原理，将176人看成是176个物品，12个月看成12个容器，按最不利原则，先将176个人平分到12个月，可得176÷12＝14（人）……8（人），这8人再继续分，至少有一个月的人数为14＋1＝15（人）。 【详解】176÷12＝14（人）……8（人） 14＋1＝15（人） 所以至少有一个月份有15个人过生日。 12．将红、黄、蓝、白四种颜色的珠子各5个放入一个袋子里，要保证取出的珠子中至少有两个同色的，则至少应取出（ ）个珠子。 【答案】5 【分析】要保证取出的珠子中至少有两个同色，需先考虑“最不利”的情况，每次取出的珠子颜色都不同。因为袋子里有红、黄、蓝、白4种颜色，所以最不利的情况是：前4次分别取出这4种不同颜色的珠子，此时每种颜色各有1个，没有出现两个同色的情况。最少取法在最不利的基础上，再取1个珠子，无论这个珠子是什么颜色，都会与之前取出的4个珠子中的某一种颜色重复，从而保证至少有两个同色。 【详解】前4次分别取出这4种不同颜色的珠子，再取1个珠子，无论这个珠子是什么颜色，都会与之前取出的4个珠子中的某一种颜色重复。 4＋1＝5（个） 所以至少应取出5个珠子。 13．2024年1月5日，中国邮政正式发行《甲辰年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“天龙行健”和“辰龙献瑞”。丽丽买了4套该邮票，从中任意抽取，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出（ ）枚。 【答案】3 【分析】这套邮票有“天龙行健”和“辰龙献瑞”2种图案，最不利的情况是先取出的2枚邮票，每种图案各1枚。此时再取出1枚，不管这枚邮票是哪种图案，都能保证有两枚邮票是相同的。所以至少要取出2＋1＝3枚。 【详解】2＋1＝3（枚） 所以她至少要取出3枚。 14．把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了（ ）个鸡蛋。 【答案】4 【分析】先将10个鸡蛋尽可能平均地放入3个碗中。计算10÷3＝3（个）……1（个），即每个碗先放3个鸡蛋，此时总共放了3×3＝9个鸡蛋，还剩下1个鸡蛋。剩下的1个鸡蛋无论放入哪个碗中，这个碗里的鸡蛋数量就会变成3＋1＝4个。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 把10个鸡蛋放在3个碗中，总会有一个碗里至少放了4个鸡蛋。 15．把红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根混在一起，如果让你闭上眼睛，从中至少拿出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子。 【答案】5 【分析】已知有红、黄、蓝、白4种颜色的筷子各10根，要保证一定有2根同色的筷子，从最不利情况考虑，假设取出的前4根筷子颜色都不相同，则此时再任意取一根筷子一定有2根筷子是同色的。 【详解】4＋1＝5（根） 所以，从中至少拿出5根才能保证一定有2根同色的筷子。 16．单词“剪刀：scissors”中字母“s”重复率很高。要从这个单词中抽取字母，至少要抽取（ ）个字母才能保证抽到2个不同的字母。 【答案】5 【分析】根据题目要求运用抽屉原理，单词“scissors”共有7个字母包含4个“S”和3个不同字母（c、i、o、r），为确保抽到2个不同字母，需考虑最坏情况即先抽完所有重复的“S”字母（4个），此时再抽1个必定是其他字母，因此最少需要抽取5个字母才能保证有2个不同字母。 【详解】至少要抽取5个字母才能保证抽到2个不同的字母。 17．操场上，有26位阿姨在跳广场舞，她们中至少有（ ）人的属相相同，如果站成4列，那么总有1列至少有（ ）人。 【答案】 3 7 【分析】一共有12种不同的属相。把12种属相看作12个抽屉，26位阿姨看作26个元素。利用抽屉原理：要使属相相同的人数尽可能少，只要使得每个抽屉的元素尽量平均分。同样根据鸽巢原理，用人数除以列数，求出商，所得商再加1，据此解答。 【详解】26÷12＝2（组）……2（人） 2＋1＝3（人） 26÷4＝6（人）……2（人） 6＋1＝7（人） 因此她们中至少有3人的属相相同，如果站成4列，那么总有1列至少有7人。 18．把红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个放到一个盒子里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色不同的球。 【答案】 5 11 【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，如果一次取4个，最差情况为红、黄、蓝、白四种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球，即4＋1＝5（个）。要保证取到两个球颜色不同，最差情况为把同一种颜色的10个球取完，只要再多取一个球即可，即取10＋1＝11（个）。 【详解】4＋1＝5（个） 10＋1＝11（个） 把红、黄、蓝、白四种颜色的小球各10个放到一个盒子里，至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取11个球，可以保证取到两个颜色不同的球。 19．将2015只小兔子最多放入（ ）个笼子里，可以保证至少有5只小兔子在同一个笼子里。 【答案】503 【分析】此题考虑最差情况：每个笼子的小兔子的数量尽量平均，由此利用抽屉原理，先每只笼子放4只，即可解答。 【详解】2015÷（5﹣1） ＝2015÷4 ＝503（个）……3（只） 所以将2015只小兔子最多放入503个笼子里，可以保证至少有5只小兔子在同一个笼子里。 20．4道单项选择题，每题都有A、B、C、D四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有（ ）人的答题结果是完全一样的。 【答案】4 【分析】每道题4个选项，4道题，第一题4种选法，第二题也4种，依次类推，用乘法4×4×4×4＝256种不同答法；有800个同学，256种答法，把800平均分给256种答法，800÷256＝3……32 ，也就是每种答法先有3个人一样，还多32人，这多的人不管选哪种，那种答法就会再多1人，所以至少有3＋1＝4人答题结果相同。 【详解】4×4×4×4＝256（种） 800÷256＝3（人）……32（人） 3＋1＝4（人） 所以至少有4人的答题结果是完全一样的。 21．将红、黄、蓝三种颜色的袜子各4只放入盒子中，每次取出一只，要保证取出一双同色的袜子，至少要取（ ）次；要保证取出两只不同色的袜子，至少要取（ ）次。 【答案】 4 5 【分析】因为有红、黄、蓝三种颜色，有可能取出3只都不能保证有两只是同色的，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要取出4只，才能保证有两只同色的袜子；要保证取出两只不同色的袜子，利用抽屉原理考虑最差情况：把其中一种颜色的4只袜子全部取出，再任取1只就能保证取出两只不同色的袜子，即可解答。 【详解】3＋1＝4（次） 因此要保证取出一双同色的袜子，至少要取4次。 4＋1＝5（次） 因此要保证取出两只不同色的袜子，至少要取5次。 22．把7串葡萄放在6个盘子里，总有（ ）个盘子里至少要放2串葡萄。 【答案】1 【分析】根据鸽巢原理（抽屉原理），当物品数量超过容器数量时，至少有一个容器中需放置至少两个物品。 本题中，7串葡萄（物品）放入6个盘子（容器），若每个盘子先各放1串，共放6串，剩下的1串无论放入哪个盘子，该盘子都会有2串。因此，总有一个盘子至少放2串葡萄。 【详解】7÷6＝1（串）……1（串） 1＋1＝2（串） 则总有1个盘子里至少要放2串葡萄。 23．纸箱里放有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其他规格都一样），从中摸一个球，摸出的（ ）球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸（ ）次。 红球 3个 黄球 4个 蓝球 5个 【答案】 蓝 6 【分析】（1）根据可能性大小的判断方法，比较纸箱里红、黄、蓝三种颜色球的数量，数量最多的，摸到的可能性就最大。 （2）考虑最不利原则的情况，先把数量最多的蓝球都摸出，此时再任意摸出1个球，一定会出现不同颜色的两个球。 【详解】（1）因为5＞4＞3，蓝球的数量最多，所以从中摸一个球，摸出的蓝球的可能性最大。 （2）5＋1＝6（次） 从中摸一个球，摸出的（蓝）球的可能性最大；要想保证从中摸到不同颜色的两个球，至少需要摸（6）次。 24．如果把一个正方体6个面分别涂上红、黄两种颜色，那么至少有（ ）个面颜色是相同的。 【答案】3 【分析】分析题目，正方体一共有6个面，每个面都只有红色和黄色两种选择，题目要求至少有多少个面的颜色是相同的，所以需要考虑最不利的情况，即两种颜色的面各占一半，据此解答。 【详解】6÷2＝3（个） 如果把一个正方体6个面分别涂上红、黄两种颜色，那么至少有3个面颜色是相同的。 25．一副扑克牌去掉大小王共52张，至少要抽取（ ）张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 【答案】5 【分析】扑克牌共有黑桃、红桃、梅花、方块4种花色，根据鸽巢原理考虑最不利的情况，前4张牌抽取4种花色各一张，此时再抽取一张牌，无论是什么花色，都必然与之前的某一种花色重复，所以至少要抽取5张，据此解答。 【详解】4＋1＝5（张） 所以，至少要抽取5张牌，才能保证其有2张同花色的牌。 26．口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是（ ），要保证摸出2个红球，至少一次要摸出（ ）个球。 【答案】 6 【分析】红球有6个，合计有（6＋4）个球，求摸出红球的可能性，用红球的个数除以口袋里面球的个数即可； 要保证摸出2个红球，考虑最不利原则，把4个黄球全部摸出后，再任意摸2个，必定能摸出2个红球，即至少一次性摸出（4＋2）个。 【详解】6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝ 4＋2＝6（个） 口袋里有6个红球和4个黄球，它们的大小和形状都相同，现从中任意摸出一个球，则摸出红球的可能性是，要保证摸出2个红球，至少一次要摸出6个球。 27．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到（ ）口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出（ ）个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 种类 小明 倩倩 豆沙 15个 15个 红枣 10个 15个 花生 5个 15个 【答案】 豆沙 4 【分析】根据小明家里粽子的种类和数量进行判断，数量多，吃到的可能性就越大；倩倩家粽子的种类数量相同，所以每一种都拿出一次，再拿一次就会出现口味相同的，据此解答。 【详解】从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到豆沙口味的可能性最大。3＋1＝4（个），因此从倩倩家粽子里至少从中拿出4个才能保证有2个粽子的口味是相同的。 培优拔高 28．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 【答案】5个 【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。 【详解】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 29．小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？ 【答案】见详解 【分析】这是一道典型的抽屉原理的题目。一副扑克牌一共有54张，去掉大小王就是52张，扑克牌除了大小王以外有4种花色， 也就是将这4种花色看成4个抽屉，9个人每人取1张牌就是9张，将这9张牌放入这4个抽屉中，尽量平均分，多出的1张总要放进其中的一个抽屉里。 【详解】据分析： 9÷4＝2（张）……1（张） 2＋1＝3（张） 答：每个花色已经有2张了，多出的1张牌肯定是4种花色的任意一种，则9人每人随意抽1张，至少有3张牌是相同的花色。 30．38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】7名 【分析】抽屉原理：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。2道题全答对可得2×2＝4（分）；1道题答对，另1道题不答，可得2×1＝2（分）；1道题答对，另1道题答错，可得2×1－1×1＝1（分）；2道题全不答可得0分；1道题不答，另1道题答错可得﹣1分；2道题全答错可得﹣2分。即物体数是38，抽屉数为6。 【详解】38÷6＝6（名）……2（名） 6＋1＝7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 31．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【答案】10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【详解】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 32．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？ 想：在解决这个问题时，是把（     ）看作抽屉，共有（     ）个抽屉。 我的解答： 【答案】年龄；7；8名 【分析】根据题意可知，在解决这个问题时，是把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。所以至少要挑选（7＋1）名学生，才能保证有两名学生年龄相同。 【详解】根据题意，把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。 7＋1＝8（名） 答：最少从中挑选8名学生。 33．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 【答案】33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【详解】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 思维拓展 34．班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【答案】2个 【分析】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期 日期＋月份的总数一共有（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。 【详解】答案的数量：（个） 日期＋月份的总数一共有：（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，月份至少为，而 11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。 答：该班至少有2个同学生日相同。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $