课题学习 数学广角—鸽巢问题-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题）2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图和知识框架图系统构建“鸽巢问题”知识体系，梳理鸽巢原理（抽屉原理）、解题步骤、最不利原则三大核心知识点，明确概念内涵与内在逻辑，呈现重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，高频考点讲练如“59名学生订阅3种报刊”问题培养推理意识，奥数拓展“正三角形内122个点距离”问题发展空间观念，基础通关与能力提升分层题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

nullnull2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 课题学习数学广角一鸽巢问题『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练共41题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新.· 2 知识点一鸽巢原理（抽屉原理） …2 知识，点二鸽巢原理的解题步骤 ........3 知识点三最不利原则.· 3 考点讲练真题汇总… 3 高频考点一鸽巢问题初步..... …3 高频考点二鸽巢问题进阶……… 高频考点三最不利原则…… 难点突破奥数拓展...... 5 奥数拓展一鸽巢问题初步.…… …5 第1页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展二鸽巢问题进阶 奥数拓展三最不利原则...... b 优选真题实战演练… 6 【基础通关】 【能力提升】 导图指引梳理脉络 概念理解 如果第一个鸽笼只飞进2只鸽子，第二个 也只飞进2只，那么还剩下…果然有】 把物体看作“鹆子”，把容器看作“鹤巢” 尝试 个鸽笼要飞进3只。 把一定数目的物体任意放进有限个容器里 反思“总有”和“至少”是什么意思？生活中 必有一个容器中的物体数量不少于 还有美似的情况吗？ (2,2,3) 「（总数÷容器数）]。 “总有”是说所有情况都是这样。 (〔1表示向上取整》 “至少”就是使每个，笼 把3本书被进2个抽屉， 那就一起探究一下吧 帝 的鸽子数都尽可能少 总有1个袖是至少故2本 反思 探究 总有”就是不管怎么放，总会出现这种情况 让每个每笔里的，于数尽 我把各种情况都列出来。 餐平均。我先画出每个慎 笼飞进2只，剩下的1月 挑战自我 不管飞进 (0,0,7) ①随意找13位同学，他们中至少有(3)人的属相相同。为什么？ (0.1,6) (0.2,5) (答案)因为属相有12种，13=12×1+1，所以至少有3人属相相同 (1,1,5) (1,2,4) ●0 数学广角一鸽巢问题 盖新的爸制鑫品 (2,2,3) 000 角线醉潮期 结论 7只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进3只鸽子 2任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数 为什么？因为7=3×2+1，余数1要“放”进某个鸽巢里。 请说明理由。 (答案)因为奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数 3个数中至少有2个数同奇或同偶 方法总结 鸽巢原理（最不利原则） 拓展延伸 把物体尽量平均地放进鸽巢里，若有剩余就一定有一个鸽巢里 这两个问题与“鸽巢问题”本质上一样。这里的 的物体数不少于【（总数+容器数）】。 “鸽子”分别是指（属相）、（自然数的奇偶性） 有温馨提示：解题时先画图或列表，尽量平均分配，更直观！ 要点回顾 ★核心思想：最不利原则（尽量平均分配） 小练习 ★关建结论：必有一个容器的数量不少于「（总数÷容器数）门 1.把8本书放进3个抽屉，至少有一个抽展放进(3)本书， ★解题步骤：①读题理解②尽量平均分③得出结论并说明理由 2.任意给出5个人，其中至少有(2)个人是同一个月出生的 知识梳理温故知新 知识点一 鸽巢原理（抽屉原理） 1.鸽巢原理（抽屉原理） (1)把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中(n是非0自然数)，那么一定有一个鸽巢里至少放进了 2个物体。 (2)把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中(k和n是非0自然数)，那么一定有一个鸽巢里至少 放进了(k+1)个物体。 第2页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 2.抽屉原理的关键 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 知识点二鸽巢原理的解题步骤 1.分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题“，即弄清"鸽巢”("鸽巢"是什么，有几个鸽巢)和分放的 物体及它们的个数。 2.设计"鸽巢"的具体形式。 3.运用原理得出在某个"鸽巢“里至少分放的物体个数，最终解决问题。 知识点三最不利原则 1.在日常生话中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情 况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足 题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2.一般问句中出现”至少.·.保证.."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 考点讲练真题汇总 高频考点一鹤巢问题初步 【典例精讲】(25-26六年级下·广西柳州·期末)布央茶园推出春茶礼盒促销活动，春茶原价30元/盒， “五一”假期推出优惠活动（如右图），现在小维妈妈想要买6盒，选方案( )更划算，需要付 )元。回去后妈妈把这6盒春茶分给5个朋友，无论怎么分，总有一个朋友至少分得( 盒春茶。 方案一：一律八五折 方案二：每满100元减20元 方案三：买5盒送1盒 【变式训练1】(25-26六年级下·广东佛山·期末)有40名同学参加兴趣小组，有绘画、舞蹈、书法三 种小组，每人只参加一组，至少有( )人参加同一个小组。 【变式训练2】(25-26六年级下·河南南阳·期末)六(1)班有62名学生，至少有6名学生在同一个月 过生日。( )(判断对错) 第3页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练3】(25-26六年级下·河南安阳·期末)下面叙述中正确的有( )个。 ①长方形、正方形、半圆、平行四边形都是轴对称图形。 ②正方体的表面积与它的棱长成正比例关系。 ③任意三个不同的自然数，其中一定有两个数的和是偶数。 ④一个三角形三个内角的度数比为1：2：3，这个三角形是直角三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4 高频考点二鹤巢问题进阶 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少 年报》中的一种或几种，那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同。 【变式训练1】(24-25六年级下·河南郑州·期末)老人常说“冬至饺子夏至面”，某面馆夏至日当天推 出不同口味的面条，按照前一天417人的客流量来算，无论他们吃哪一种面，总有一种口味的面条至少卖 出33碗，该面馆在夏至日当天最多推出了( )种口味的面条。 【变式训练2】(24-25六年级下·云南昆明·期末)一副扑克牌，取出大小王后还有4种花色，共计52 张牌。10人每人随意抽1张，至少有几张牌是相同花色？下面分析正确的是( ）。 A.10÷4=2(张)…2（张）2+1=3（张） B.10÷4=2(张)…2（张）2+2=4（张） C.52÷10=5(张)…2（张）5+1=6（张） D.52÷10=5(张)…2（张）5+2=7（张） 【变式训练3】(24-25六年级下·安徽黄山·期末)体育课上，小亮和3个同学一起练习投篮。他们一共 投中了29个球，那么一定有一个同学至少投进( )个球。这29个球一共获得67分（每球得2分或3 分)，投中3分的有( )个。 高频考点三最不利原则 【典例精讲】(25-26六年级下·陕西商洛·期末)一个盒子里有白球和黑球共8个。若从中任意摸出1 个球，摸出白球和黑球的可能性相等，则白球有( )个，此时，要想摸出的球一定有2个同色的，至 少要摸出( )个球。 【变式训练1】(25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题)盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球（大 小相同)，从中任意摸一个球，如果要使摸到红球的可能性比摸到白球、黄球的可能性都大，至少需要增 加( )个红球；如果要保证摸出两个颜色相同的球，至少要摸出()个球。 第4页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(25-26六年级下·湖南永州·期末)某校六年级有6个班，在一次科学素养竞赛中，至少 有( )人获奖，才能保证获奖的同学一定有3名同学在同一个班级。 【变式训练3】(2026·浙江台州·小升初模拟)一只布袋里装有同一型号的红、蓝、白、黑四种颜色的 袜子各6只，闭上眼睛从中至少摸出( )只，才能保证有2双袜子（颜色相同的两只为一双）。 A.4 B.5 C.7 D.13 难点突破奥数拓展 a着anae着na单na春a 奥数拓展一鹤巢问题初步 【典例精讲】(25-26六年级下·全国·课后作业)从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽 屉从中至少拿出7个梨。( )(判断对错) 【变式训练1】(25-26六年级全国随堂练习)星星幼儿园的“樱桃”班里有18个小朋友，至少有( 个小朋友是在同一个月出生的。 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练2】(23-24六年级下·山西长治·期末)六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服 务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班 至少有( ）名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”， 可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 奥数拓展二鹤巢问题进阶 【典例精讲】(2026·江苏准安·小升初真题)奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19 个座位，并且己经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至 少已经被选中了( )个座位。 【变式训练1】(2026·重庆渝北·小升初真题)在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个 点的距离不大于片，n为大于0的整数，则n的最大值为( ）。 【变式训练2】(24-25六年级下·山东济南·期末)把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成 一个大的正方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论 怎么涂，至少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 第5页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( ）。 奥数拓展三最不利原则 【典例精讲】(24-25六年级下·河南安阳·期末)箱子里有大小相同的35个小球，其中红色11个，蓝 色12个，黄色7个，黑色5个。从箱子里取小球，至少取( )个才能保证其中5个是同一种颜色。 【变式训练1】(24-25六年级下·江西九江·期中)某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁， 从这个学校中至少任选( )名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【变式训练2】(25-26六年级下·全国·课后作业)盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地 取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26六年级下·山东济宁·期末)下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是( A.从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C有几种不同的走法。 B.15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 C.有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件。 2.(25-26六年级下·浙江台州·期末)盒子里有除颜色外完全相同的8个红球、1个蓝球、6个黄球，至 少取出( )球，才能保证其中有2个球颜色相同。 A.9个 B.2个 C.7个 D.4个 3.(25-26六年级下·湖南长沙·期末)下面说法中，正确的有( )个。 ①6、10、28都是偶数，也都是合数。 ②小明的生日是2016年2月29日。 ③圆的半径与其面积成正比例关系。 ④三角形有3条对称轴，长方形和正方形都有2条对称轴。 ⑤六甲班有37名学生，至少有2名学生在同一个月过生日。 第6页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 A.2 B.3 C.4 D.5 4.（24-25六年级下·江西吉安·期末)某箱子里装有红球、黄球、白球各10个，每次至少摸出() 个球，才能保证摸出的球一定有2种不同的颜色。 5.(24-25六年级下·贵州黔南·期末)布袋里有2个蓝球、4个绿球、6个黑球（这些球除颜色外完全相 同)。如果每次随机摸一个球，至少需要摸出( )个球才能确保有2个颜色相同的球。 6.(24-25六年级下·湖北黄冈·期末)麻城今年五月份的天气有晴天、多云、阴天、雨天4种情况，五 月份至少有7天是同一种天气。()（判断对错） 7.(24-25六年级下·江西吉安·期末)有7个人坐4条凳子，总有一条凳子上至少坐2人。（) (判断对错) 8.(2026三年级下·江苏·专题练习)王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖 果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子 里的糖果应怎么放？ 9.（24-25四年级下·北京·期末)如果把一个非零自然数(1,2,3,4,5，…)拆成一些比它小的非 零自然数的和，我们就说得到了它的一个“分拆”（不计顺序），比如5=4十1就是5的一个“分拆”，5 =1十4与5=4十1算作同一个“分拆”。 (1)请写出10的一个“分拆”。 (2)如果把一个非零自然数拆成不同的数的和，比如7=4十2十1，我们就说这是一个“互异分拆”。请写出 6的所有“互异分拆”。 (3)9=5十1十1十1十1这个“分拆”是把9拆成了5个数的和，我们就说这个“分拆”的长度是5。我们学 习过“乒乓球与盒子问题”，请你把“8的长度为3的‘互异分拆’有多少个？”这道问题表述为一道关于 乒乓球与盒子的问题。 第7页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 10.(24-25六年级下·甘肃平凉·期中)老师在黑板上写了3个字（如图），让同学们任意选择两个字组 成一个词语。全班共41名同学，至少有多少人写的词语相同？为什么？ 情感思 【能力提升】 1.(2026·浙江台州·小升初模拟)同时抛出若干枚硬币，保证至少有5枚硬币是相同面朝上，那么最少 要拿( )枚硬币抛。 A.6 B.7 C.11 D.9 2.(25-26六年级下·河南郑州·期末)端午节的习俗之一是老人要给小孩的足腕拴五彩绳。盒子里有2 根带白色珠子的五彩绳，5根带粉色珠子的五彩绳，3根不带珠子的五彩绳，至少拿出( )根，才 能保证拿到3根带粉色珠子的五彩绳。( A.5 B.8 C.10 3.(25-26五年级上·山东烟台·期末)盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球 后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第( )次能摸到黄球，摸( 次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上( )个黄球。 A.4:11;9B.5:11;4 C.9;4:11 D.11;9:4 4.(25-26六年级下·山东济南·期末)文具店举办“幸运抽奖”活动，一个盒子里装了40支相同的笔， 其中标号为A(红笔)、B(蓝笔)、C(黑笔)、D(绿笔)的笔各有10支。 (1)至少要取出( )支笔，才能保证其中至少有2支标号相同的笔。至少要取出( )支笔，才 能保证其中至少有4种不同标号的笔。 (2)至少要取出多少支笔，才能保证其中至少有两对标号相同的笔？（相同标号算一对，两对的标号不重复） 5.(2026·重庆巴南·小升初真题)某班组织联欢会，每人发一张有10个空格的彩券，每个人都在彩券 上填入1至10这10个整数，顺序自定，班长手里有一张老师已经填好的彩券，如果某人所填的彩券上的 数列至少有一个位置与老师所填数列的对应位置上的数相同，即可中奖，则至少( )位同学联合起来 填写彩券、才能保证他们中一定有人获奖。 第8页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 6.(25-26六年级下·湖北黄石·期末)袋子里有红、黄、蓝三种颜色的筷子（除颜色外，其他均相同） 各8根，至少摸出( )根才能保证有2双同色的筷子；至少摸出( )根才能保证有2双不同颜色 的筷子。 7.(25-26六年级下·全国·课后作业)有六种颜色的袜子（除颜色外其余相同），各20只混装在箱内， 闭上眼睛从箱内至少取出10只才能保证有3双成对的袜子。()（判断对错） 8.(24-25六年级下·山东济南·期末)阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4 个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2 个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加 社团的数量和种类都相同) (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参 加社团的数量和种类都相同) 9.(24-25六年级下·甘肃平凉·期中)妈妈在网上超市买了田园、青花瓷、卡通三种不同图案的筷子各 10支，把它们混着放在一起。这些筷子除了图案不同，其他方面都相同。（注：2支图案一样的筷子，才 能配成1双筷子) (1)至少取出几支筷子，可以保证配成两双筷子？ (2)至少取出几支筷子，可以保证有两双卡通筷子？ (3)至少取出几支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子？ 第9页共10页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(24-25六年级下·全国·单元复习)一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆。其中有一个孩 子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数。你能说一说他的结论对吗？为 什么？（每堆石子数量不相等） 第10页共10页2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 课题学习 数学广角—鸽巢问题『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 鸽巢原理（抽屉原理） 2 知识点二 鸽巢原理的解题步骤 3 知识点三 最不利原则 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 鹐巣问题初歩 3 高频考点二 鹐巢问题进阶 4 高频考点三 最不利原则 4 难点突破 奥数拓展 5 奥数拓展一 鹐巣问题初歩 5 奥数拓展二 鹐巢问题进阶 5 奥数拓展三 最不利原则 6 优选真题 实战演练 6 【基础通关】 6 【能力提升】 8 知识点一 鸽巢原理（抽屉原理） 1. 鸽巢原理（抽屉原理） （1）把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 （2）把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 知识点二 鸽巢原理的解题步骤 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 知识点三 最不利原则 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 高频考点一 鹐巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·广西柳州·期末）布央茶园推出春茶礼盒促销活动，春茶原价30元/盒，“五一”假期推出优惠活动（如右图），现在小维妈妈想要买6盒，选方案( )更划算，需要付( )元。回去后妈妈把这6盒春茶分给5个朋友，无论怎么分，总有一个朋友至少分得( )盒春茶。 方案一：一律八五折 方案二：每满100元减20元 方案三：买5盒送1盒 【变式训练1】（25-26六年级下·广东佛山·期末）有40名同学参加兴趣小组，有绘画、舞蹈、书法三种小组，每人只参加一组，至少有( )人参加同一个小组。 【变式训练2】（25-26六年级下·河南南阳·期末）六（1）班有62名学生，至少有6名学生在同一个月过生日。( )（判断对错） 【变式训练3】（25-26六年级下·河南安阳·期末）下面叙述中正确的有（    ）个。 ①长方形、正方形、半圆、平行四边形都是轴对称图形。 ②正方体的表面积与它的棱长成正比例关系。 ③任意三个不同的自然数，其中一定有两个数的和是偶数。 ④一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，这个三角形是直角三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点二 鹐巢问题进阶 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有______名学生订的报刊种类完全相同。 【变式训练1】（24-25六年级下·河南郑州·期末）老人常说“冬至饺子夏至面”，某面馆夏至日当天推出不同口味的面条，按照前一天417人的客流量来算，无论他们吃哪一种面，总有一种口味的面条至少卖出33碗，该面馆在夏至日当天最多推出了( )种口味的面条。 【变式训练2】（24-25六年级下·云南昆明·期末）一副扑克牌，取出大小王后还有4种花色，共计52张牌。10人每人随意抽1张，至少有几张牌是相同花色？下面分析正确的是（    ）。 A．10÷4＝2（张）……2（张）2＋1＝3（张） B．10÷4＝2（张）……2（张）2＋2＝4（张） C．52÷10＝5（张）……2（张）5＋1＝6（张） D．52÷10＝5（张）……2（张）5＋2＝7（张） 【变式训练3】（24-25六年级下·安徽黄山·期末）体育课上，小亮和3个同学一起练习投篮。他们一共投中了29个球，那么一定有一个同学至少投进( )个球。这29个球一共获得67分（每球得2分或3分），投中3分的有( )个。 高频考点三 最不利原则 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西商洛·期末）一个盒子里有白球和黑球共8个。若从中任意摸出1个球，摸出白球和黑球的可能性相等，则白球有( )个，此时，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 【变式训练1】（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球（大小相同），从中任意摸一个球，如果要使摸到红球的可能性比摸到白球、黄球的可能性都大，至少需要增加( )个红球；如果要保证摸出两个颜色相同的球，至少要摸出( )个球。 【变式训练2】（25-26六年级下·湖南永州·期末）某校六年级有6个班，在一次科学素养竞赛中，至少有( )人获奖，才能保证获奖的同学一定有3名同学在同一个班级。 【变式训练3】（2026·浙江台州·小升初模拟）一只布袋里装有同一型号的红、蓝、白、黑四种颜色的袜子各6只，闭上眼睛从中至少摸出（    ）只，才能保证有2双袜子（颜色相同的两只为一双）。 A．4 B．5 C．7 D．13 奥数拓展一 鹐巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。( )（判断对错） 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）星星幼儿园的“樱桃”班里有18个小朋友，至少有（    ）个小朋友是在同一个月出生的。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 奥数拓展二 鹐巢问题进阶 【典例精讲】（2026·江苏淮安·小升初真题）奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了( )个座位。 【变式训练1】（2026·重庆渝北·小升初真题）在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为( )。 【变式训练2】（24-25六年级下·山东济南·期末）把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( )。 奥数拓展三 最不利原则 【典例精讲】（24-25六年级下·河南安阳·期末）箱子里有大小相同的35个小球，其中红色11个，蓝色12个，黄色7个，黑色5个。从箱子里取小球，至少取( )个才能保证其中5个是同一种颜色。 【变式训练1】（24-25六年级下·江西九江·期中）某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选( )名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·山东济宁·期末）下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是（    ）。 A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C有几种不同的走法。 B．15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件。 2．（25-26六年级下·浙江台州·期末）盒子里有除颜色外完全相同的8个红球、1个蓝球、6个黄球，至少取出（    ）球，才能保证其中有2个球颜色相同。 A．9个 B．2个 C．7个 D．4个 3．（25-26六年级下·湖南长沙·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①6、10、28都是偶数，也都是合数。 ②小明的生日是2016年2月29日。 ③圆的半径与其面积成正比例关系。 ④三角形有3条对称轴，长方形和正方形都有2条对称轴。 ⑤六甲班有37名学生，至少有2名学生在同一个月过生日。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25六年级下·江西吉安·期末）某箱子里装有红球、黄球、白球各10个，每次至少摸出( )个球，才能保证摸出的球一定有2种不同的颜色。 5．（24-25六年级下·贵州黔南·期末）布袋里有2个蓝球、4个绿球、6个黑球（这些球除颜色外完全相同）。如果每次随机摸一个球，至少需要摸出( )个球才能确保有2个颜色相同的球。 6．（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）麻城今年五月份的天气有晴天、多云、阴天、雨天4种情况，五月份至少有7天是同一种天气。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·江西吉安·期末）有7个人坐4条凳子，总有一条凳子上至少坐2人。( )（判断对错） 8．（2026三年级下·江苏·专题练习）王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 9．（24-25四年级下·北京·期末）如果把一个非零自然数（1，2，3，4，5，……）拆成一些比它小的非零自然数的和，我们就说得到了它的一个“分拆”（不计顺序），比如5＝4＋1就是5的一个“分拆”，5＝1＋4与5＝4＋1算作同一个“分拆”。 (1)请写出10的一个“分拆”。 (2)如果把一个非零自然数拆成不同的数的和，比如7＝4＋2＋1，我们就说这是一个“互异分拆”。请写出6的所有“互异分拆”。 (3)9＝5＋1＋1＋1＋1这个“分拆”是把9拆成了5个数的和，我们就说这个“分拆”的长度是5。我们学习过“乒乓球与盒子问题”，请你把“8的长度为3的‘互异分拆’有多少个？”这道问题表述为一道关于乒乓球与盒子的问题。 10．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）老师在黑板上写了3个字（如图），让同学们任意选择两个字组成一个词语。全班共41名同学，至少有多少人写的词语相同？为什么？ 【能力提升】 1．（2026·浙江台州·小升初模拟）同时抛出若干枚硬币，保证至少有5枚硬币是相同面朝上，那么最少要拿（    ）枚硬币抛。 A．6 B．7 C．11 D．9 2．（25-26六年级下·河南郑州·期末）端午节的习俗之一是老人要给小孩的足腕拴五彩绳。盒子里有2根带白色珠子的五彩绳，5根带粉色珠子的五彩绳，3根不带珠子的五彩绳，至少拿出（    ）根，才能保证拿到3根带粉色珠子的五彩绳。（    ） A．5 B．8 C．10 3．（25-26五年级上·山东烟台·期末）盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第（    ）次能摸到黄球，摸（    ）次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上（    ）个黄球。 A．4；11；9 B．5；11；4 C．9；4；11 D．11；9；4 4．（25-26六年级下·山东济南·期末）文具店举办“幸运抽奖”活动，一个盒子里装了40支相同的笔，其中标号为A（红笔）、B（蓝笔）、C（黑笔）、D（绿笔）的笔各有10支。 (1)至少要取出( )支笔，才能保证其中至少有2支标号相同的笔。至少要取出( )支笔，才能保证其中至少有4种不同标号的笔。 (2)至少要取出多少支笔，才能保证其中至少有两对标号相同的笔？（相同标号算一对，两对的标号不重复） 5．（2026·重庆巴南·小升初真题）某班组织联欢会，每人发一张有10个空格的彩券，每个人都在彩券上填入1至10这10个整数，顺序自定，班长手里有一张老师已经填好的彩券，如果某人所填的彩券上的数列至少有一个位置与老师所填数列的对应位置上的数相同，即可中奖，则至少( )位同学联合起来填写彩券、才能保证他们中一定有人获奖。 6．（25-26六年级下·湖北黄石·期末）袋子里有红、黄、蓝三种颜色的筷子（除颜色外，其他均相同）各8根，至少摸出( )根才能保证有2双同色的筷子；至少摸出( )根才能保证有2双不同颜色的筷子。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）有六种颜色的袜子（除颜色外其余相同），各20只混装在箱内，闭上眼睛从箱内至少取出10只才能保证有3双成对的袜子。( )（判断对错） 8．（24-25六年级下·山东济南·期末）阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） 9．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）妈妈在网上超市买了田园、青花瓷、卡通三种不同图案的筷子各10支，把它们混着放在一起。这些筷子除了图案不同，其他方面都相同。（注：2支图案一样的筷子，才能配成1双筷子） (1)至少取出几支筷子，可以保证配成两双筷子？ (2)至少取出几支筷子，可以保证有两双卡通筷子？ (3)至少取出几支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子？ 10．（24-25六年级下·全国·单元复习）一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆。其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数。你能说一说他的结论对吗？为什么？（每堆石子数量不相等） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 课题学习 数学广角—鸽巢问题『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+3个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 2 知识点一 鸽巢原理（抽屉原理） 2 知识点二 鸽巢原理的解题步骤 3 知识点三 最不利原则 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 鹐巣问题初歩 3 高频考点二 鹐巢问题进阶 6 高频考点三 最不利原则 8 难点突破 奥数拓展 10 奥数拓展一 鹐巣问题初歩 10 奥数拓展二 鹐巢问题进阶 11 奥数拓展三 最不利原则 13 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 19 知识点一 鸽巢原理（抽屉原理） 1. 鸽巢原理（抽屉原理） （1）把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 （2）把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 知识点二 鸽巢原理的解题步骤 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 知识点三 最不利原则 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 高频考点一 鹐巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·广西柳州·期末）布央茶园推出春茶礼盒促销活动，春茶原价30元/盒，“五一”假期推出优惠活动（如右图），现在小维妈妈想要买6盒，选方案( )更划算，需要付( )元。回去后妈妈把这6盒春茶分给5个朋友，无论怎么分，总有一个朋友至少分得( )盒春茶。 方案一：一律八五折 方案二：每满100元减20元 方案三：买5盒送1盒 【答案】 三 150 2 【思路引导】根据优惠活动，算出每种方案需要的钱数，找出钱数最少的方案即可。 方案一，根据总价＝单价×数量，算出总价后，再乘85%即可算出需要的钱数； 方案二，根据总价＝单价×数量，算出总价后，看总价里面有几个100元，就从总价里面减去几个20元，算出需要的钱数； 方案三，一组是（5＋1）盒，算出6盒有几组，就可以送几盒，算出需要付钱的盒数；再根据总价＝单价×数量，算出需要的钱数。 根据鸽巢原理，先每个朋友分1盒，剩下的1盒无论分给哪个朋友，这小朋友就分得2盒春茶。 【规范解答】方案一：30×6×85%＝30×6×0.85＝153（元） 方案二：30×6＝180（元） 180÷100＝1（个）⋯⋯80（元） 180－1×20 ＝180－20 ＝160（元） 方案三：6÷（5＋1） ＝6÷6 ＝1（组） 30×（6－1） ＝30×5 ＝150（元） 因为150＜153＜160 所以选方案三更划算，需要付150元。 6÷5＝1（盒）⋯⋯1（盒） 1＋1＝2（盒） 总有一个朋友至少分得2盒春茶。 【变式训练1】（25-26六年级下·广东佛山·期末）有40名同学参加兴趣小组，有绘画、舞蹈、书法三种小组，每人只参加一组，至少有( )人参加同一个小组。 【答案】14 【思路引导】要是参加同一个小组的人最少，就要先将总人数尽量平均分到每个小组，40÷3＝13（人）⋯⋯1（人），那么这剩余的1个人无论分配到哪一个小组，该小组人数都会增加1人。据此解答即可。 【规范解答】40÷3＝13（人）⋯⋯1（人） 13＋1＝14（人） 至少有14 人参加同一个小组。 【变式训练2】（25-26六年级下·河南南阳·期末）六（1）班有62名学生，至少有6名学生在同一个月过生日。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把一年12个月看作12个抽屉，62名学生看作62个元素，平均分配后余下的学生无论分到哪个月，总有一个月的学生数至少为商加1。 【规范解答】（名）……2（名） （名） 所以至少有6名学生在同一个月过生日。 故答案为：√ 【变式训练3】（25-26六年级下·河南安阳·期末）下面叙述中正确的有（    ）个。 ①长方形、正方形、半圆、平行四边形都是轴对称图形。 ②正方体的表面积与它的棱长成正比例关系。 ③任意三个不同的自然数，其中一定有两个数的和是偶数。 ④一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，这个三角形是直角三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴； ②判断两种量成什么比例关系，关键是看比值一定还是积一定，比值一定是正比例关系，积一定是反比例关系； ③奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数、奇数＋偶数＝奇数；抽屉原则一：如果把（n＋1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 ④三角形内角和180°，将比的各项看成份数，三角形内角和÷总份数＝一份数，一份数×最大份数＝最大内角的度数，根据最大内角的度数确定这个三角形的类型。 【规范解答】①长方形、正方形、半圆是轴对称图形，但平行四边形（非特殊）沿任何直线对折后两旁部分不能完全重合，不是轴对称图形，此叙述错误； ② 正方体的表面积公式为（为棱长）。判断正比例关系需看比值是否一定，，因为是变量，所以比值不一定，表面积与棱长不成正比例关系，此叙述错误； ③ 自然数分为奇数和偶数两类。任意三个不同的自然数，根据抽屉原理，至少有两个数的奇偶性相同。若两个数同为奇数，和为偶数；若两个数同为偶数，和为偶数。所以其中一定有两个数的和是偶数，此叙述正确； ④ 三角形内角和为。三个内角度数比为，总份数为。最大角的度数为180°÷6×3＝90°。有一个角是直角的三角形是直角三角形，此叙述正确。 正确的叙述有③和④，共个。 高频考点二 鹐巢问题进阶 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有______名学生订的报刊种类完全相同。 【答案】9 【思路引导】根据题意学生订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，订阅情况分为：只订阅一种，订阅其中两种，三种都订阅，求出一共有多少种订阅方法；将订阅方法看作抽屉，学生人数是要放进抽屉里的物品，用人数除以抽屉数，订阅报刊数完全相同的人数要比商多1。 【规范解答】只订阅一种有《小朋友》、《儿童时代》和《少年报》三种情况； 订阅其中两种有《小朋友》《儿童时代》、《小朋友》《少年报》和《儿童时代》《少年报》三种情况； 三种都订阅有《小朋友》《儿童时代》《少年报》一种情况。 （种） （名） （名） 【变式训练1】（24-25六年级下·河南郑州·期末）老人常说“冬至饺子夏至面”，某面馆夏至日当天推出不同口味的面条，按照前一天417人的客流量来算，无论他们吃哪一种面，总有一种口味的面条至少卖出33碗，该面馆在夏至日当天最多推出了( )种口味的面条。 【答案】13 【思路引导】我们可以从“最不利情况”入手分析：要保证“总有一种口味至少卖出33碗”，先假设每种口味都卖出最多但不到33碗的数量，也就是33－1＝32碗。用总客流量除以这个最大数量，就能得到最多的口味数。 【规范解答】33－1＝32（碗） 417÷32＝13（种）⋯⋯1（碗） 【变式训练2】（24-25六年级下·云南昆明·期末）一副扑克牌，取出大小王后还有4种花色，共计52张牌。10人每人随意抽1张，至少有几张牌是相同花色？下面分析正确的是（    ）。 A．10÷4＝2（张）……2（张）2＋1＝3（张） B．10÷4＝2（张）……2（张）2＋2＝4（张） C．52÷10＝5（张）……2（张）5＋1＝6（张） D．52÷10＝5（张）……2（张）5＋2＝7（张） 【答案】A 【思路引导】本题考查鸽巢原理（抽屉原理）的应用。解题关键在于准确识别“物体数”和“抽屉数”。本题中，抽出的10张牌是要分配的物体，4种花色是抽屉。总牌数52张是干扰条件，不参与计算。根据鸽巢原理公式：物体数÷抽屉数＝商……余数，至少数＝商＋1，据此列式计算并对比选项即可。 【规范解答】1.确定物体数和抽屉数： 10人每人抽1张，共抽出10张牌，所以物体数是10。 扑克牌有4种花色，所以抽屉数是4。 2.根据鸽巢原理列式计算： 10÷4＝2……2（张） 3.计算至少数： （张） A选项的算式及推理过程符合上述计算步骤。 【变式训练3】（24-25六年级下·安徽黄山·期末）体育课上，小亮和3个同学一起练习投篮。他们一共投中了29个球，那么一定有一个同学至少投进( )个球。这29个球一共获得67分（每球得2分或3分），投中3分的有( )个。 【答案】 8 9 【思路引导】小亮加上3个同学，一共是4个人。把29个投中的球看作要分配的物品，4个同学看作4个“抽屉”。用29除以4，商是7，余数是1，也就是平均每人投进7个球后，还剩1个球没分配。剩下的这1个球无论给谁，这个人的投进球数都会变成7＋1＝8个。因此，一定有一个同学至少投进8个球。 假设全是2分球，总得分是2×29＝58分，而实际得分是67分，两者相差了9分。每把一个2分球换成3分球，总分会多1分，所以相差的9分就说明有9个球是3分球。 【规范解答】1＋3＝4（人） 29÷4＝7（个）……1（个） 7＋1＝8（个） 一定有一个同学至少投进8个球。 假设29个球都是2分球。 2×29＝58（分） （67－58）÷（3－2） ＝9÷1 ＝9（个） 投中3分的有9个。 高频考点三 最不利原则 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西商洛·期末）一个盒子里有白球和黑球共8个。若从中任意摸出1个球，摸出白球和黑球的可能性相等，则白球有( )个，此时，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 【答案】 【思路引导】（）根据可能性的意义，若摸出白球和黑球的可能性相等，则说明盒子里白球和黑球的数量相等。已知球的总数是个，平均分成份即可求出白球的数量。 （）根据抽屉原理，把两种颜色看作个抽屉，要保证摸出的球一定有个同色，需考虑最不利的情况，即摸出的球颜色各不相同，在此基础上再摸个球即可满足条件。 【规范解答】①求白球的数量：因为摸出白球和黑球的可能性相等，所以白球和黑球的数量相等。 （个） ②考虑最不利的情况，先摸出个球，分别是个白球和个黑球。此时再摸出个球，无论是白球还是黑球，都能与之前摸出的球凑成个同色的球。 （个） 白球有个，此时，要想摸出的球一定有个同色的，至少要摸出个球。 【变式训练1】（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球（大小相同），从中任意摸一个球，如果要使摸到红球的可能性比摸到白球、黄球的可能性都大，至少需要增加( )个红球；如果要保证摸出两个颜色相同的球，至少要摸出( )个球。 【答案】 6 4 【思路引导】根据可能性大小的判断方法，比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小；要使摸到红球的可能性比摸到白球、黄球的可能性都大，那么红球的数量要比这两种颜色的球都大； 保证摸出2个同色球的最少次数，考虑最不利的情况，先把每个颜色的球各摸出1个，再摸一个必然同色；据此解答即可。 【规范解答】2＜5＜ 7＋1－2＝6（个） 至少需要增加6个红球； 前面3次摸出的球的颜色都不相同（1白1黄1红），那么第4个球无论摸出哪种颜色球，都能保证摸出两个颜色相同的球，所以至少要摸出4个球。 【变式训练2】（25-26六年级下·湖南永州·期末）某校六年级有6个班，在一次科学素养竞赛中，至少有( )人获奖，才能保证获奖的同学一定有3名同学在同一个班级。 【答案】13 【思路引导】已知六年级有6个班，要求获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级，运气最差的情况为6个班级每个班各有2名同学，所以再多来1人，就能保证获奖的同学中一定有3名同学在同一个班级。 【规范解答】6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（人） 【变式训练3】（2026·浙江台州·小升初模拟）一只布袋里装有同一型号的红、蓝、白、黑四种颜色的袜子各6只，闭上眼睛从中至少摸出（    ）只，才能保证有2双袜子（颜色相同的两只为一双）。 A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【思路引导】要保证摸出双袜子，需要从最不利情况（最坏情况）进行分析。首先考虑摸出的袜子尽可能不成双，直到无法避免成双为止。将种颜色看作个抽屉，先每种颜色各摸只，再摸只保证第双，接着考虑避免第双的最不利情况，最后确定所需总数。 【规范解答】把红、蓝、白、黑种颜色看作个抽屉。 考虑最不利情况： 1. 先每种颜色各摸出只，共只，此时没有成双的袜子。 2. 再摸出只，无论是什么颜色，都能与之前同颜色的袜子凑成双。此时共摸出只，保证有双袜子。最不利分布为：某颜色只，其余颜色各只。 3. 为了不让第双袜子出现，接下来摸出的袜子应尽可能不凑成新的一双。最不利情况是继续摸出那只已经有只的颜色的袜子。此时该颜色有只（相当于双加只），其余颜色各只。共摸出只，仍然只有双袜子。 4. 再摸出只（第只），无论是什么颜色，要么使某颜色达到只（凑成双），要么使另一种颜色达到只（凑成第双）。 列式计算如下：（只），所以至少摸出只，才能保证有双袜子。 奥数拓展一 鹐巣问题初歩 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在这个问题中，有3个抽屉，要拿出25个梨。最不利的情况是每个抽屉中的梨尽可能少，即每个抽屉最多放6个梨（因为7是目标最小值，所以先假设都不超过6个）。 如果每个抽屉放6个梨，3个抽屉最多可以放：个梨。 但实际有25个梨，比18个多了7个。 这意味着，即使在最均匀分配的情况下，也还有个梨需要额外放入抽屉中。无论这7个 梨如何分配，都必然会导致至少有一个抽屉中的梨数量超过6个，即至少达到7个。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 从3个抽屉中拿出25个梨，无论怎么拿，总有一个抽屉从中至少拿出7个梨。说法正确； 故答案为：√ 【考点剖析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）星星幼儿园的“樱桃”班里有18个小朋友，至少有（    ）个小朋友是在同一个月出生的。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】一年有12个月，班里有18名小朋友，假设1至12月，每月有一个生日，这时还剩下6名小朋友，这6名小朋友再平均分到1至6月，这样就可以知道，至少有2名小朋友是在同一个月出生的。 【规范解答】给18名小朋友编号：1-18号，其中1-12号分配给1到12个月，剩下的13至18号再分配给1到6月，这样可得：至少有2名小朋友是同一个月出生的。 故答案为：B 【考点剖析】要从最不利情况考虑，准确地建立小朋友和月份的对应关系。 【变式训练2】（23-24六年级下·山西长治·期末）六年级(1)班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有( )名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把( )看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 【答案】 9 参加个性活动课程的6种情况 【思路引导】50名同学每人可以参加1个或2个课程，那么有：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球一共6种情况。这样6种情况可以看作6个抽屉，将50名同学看作50个苹果，即将50个苹果放入6个抽屉中。根据抽屉原理：m个苹果（元素）分到n个抽屉（集合）里：如果m÷n有余数，则至少有（m÷n）＋1个元素在同一抽屉里；如果m÷n没有余数，则至少有（m÷n）个元素在同一抽屉里。据此解答。 【规范解答】参加个性活动课程一共6种情况：剪纸、篮球、科技、剪纸＋篮球、剪纸＋科技、科技＋篮球。将这6种情况可以看作6个抽屉 50÷6＝8（人）……2（人） 8＋1＝9（人） 这个班至少有9名同学参加个性活动的情况完全相同。 【考点剖析】根据参加个性活动课程的情况找到抽屉，是解题的关键。 奥数拓展二 鹐巢问题进阶 【典例精讲】（2026·江苏淮安·小升初真题）奇奇想要购买一张电影票，购买时他发现第9排一共有19个座位，并且已经有一部分座位被选中，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，则第9排至少已经被选中了( )个座位。 【答案】7 【思路引导】根据题意，无论他购买这一排哪个位置，都有一个人与他相邻，说明这19个座位中，任何一个空位的左边或右边，至少有一个是被选中的座位，最多可以构成“空位，被选中、空位”这样的3个座位组合，看19个座位中有几个3，就有几组这样的组合，每个组合中有1个座位被选中，据此得出至少被选中的座位数量。 【规范解答】19÷3＝6（个）……1（个） 至少已经被选中了：6＋1＝7（个） 【变式训练1】（2026·重庆渝北·小升初真题）在边长为1的正三角形中任意放入122个点，必有2个点的距离不大于为大于0的整数，则的最大值为( )。 【答案】11 【思路引导】把大正三角形分割成若干个边长为的小正三角形（相当于抽屉），再根据抽屉原理：如果抽屉数小于点数，那么至少有一个抽屉里存在2个点，这两个点的距离就不会超过小正三角形的边长。需要找到最大的整数n，使得分割出的小正三角形数量小于122，这样放入122个点时，必然有2个点在同一个小正三角形内，距离不大于。 【规范解答】1．分割大正三角形 把边长为1的正三角形的每条边n等分，然后连接各边的等分点，作平行于各边的线段，就能把大正三角形分成若干个边长为的小正三角形。小正三角形的总数为：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝（这是首项为1、末项为2n－1的等差数列求和）。 2． 应用抽屉原理 要保证放入122个点后，必有2个点的距离不大于，就需要让小正三角形的个数小于122。 即：。 3．求n的最大值 因为，，所以满足条件的最大整数n是11。 则的最大值为11。 【变式训练2】（24-25六年级下·山东济南·期末）把27个相同的正方体按下图所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一小格任意涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有( )个小格涂的颜色相同。你能说出其中的道理吗？ 我是这样想的： 首先，这个大正方体的外表面一共有( )个小格。然后，( )。 【答案】 14 54 根据把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，n÷m＝k，那么必有一个抽屉至少有（k＋1）个物品 【思路引导】首先，这个大正方体的外表面一共有9×6＝54个小格，看作54个物品，把4种颜色看作4个抽屉，用物品数除以抽屉数求出商，再用商加1，即可求出答案。 【规范解答】9×6＝54（个） 54÷4＝13（个）……2（个） 13＋1＝14（个） 所以无论怎么涂，至少有14个小格涂的颜色相同。 我是这样想的：首先，这个大正方体的外表面一共有54个小格。然后，根据把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，n÷m＝k，那么必有一个抽屉至少有（k＋1）个物品。 【考点剖析】本题考查的是抽屉原理，关键是分清需要放置的物体数及要放置的抽屉数。 奥数拓展三 最不利原则 【典例精讲】（24-25六年级下·河南安阳·期末）箱子里有大小相同的35个小球，其中红色11个，蓝色12个，黄色7个，黑色5个。从箱子里取小球，至少取( )个才能保证其中5个是同一种颜色。 【答案】17 【思路引导】用最不利原则解答：要保证一定有5个同色小球，先考虑最倒霉的情况：每种颜色都只拿到了4个，还没有5个同色。本题共有红、蓝、黄、黑4种颜色，且每种颜色的数量都不少于4个（最少的黑色也有5个），因此最多拿4×4＝16个球时，依然满足每种最多4个，没有5个同色。此时再拿1个球，不管这个球是什么颜色，该颜色都会凑出5个。 【规范解答】根据分析，至少需要取： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 【变式训练1】（24-25六年级下·江西九江·期中）某校的学生中最小的是6岁，最大的年龄是13岁，从这个学校中至少任选( )名同学，就一定有2名同学的年龄相同。 【答案】9 【思路引导】根据最不利原则，假设从6－13岁每个年龄选择1名同学，需要选择8名，再选择1名学生就一定有2名同学的年龄相同。 【规范解答】13－6＋1＝8（名） 8＋1＝9（名） 【变式训练2】（25-26六年级下·全国·课后作业）盒子里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，任意地取出筷子，使取出的筷子至少有两双不同色，那么至少要取出( )根。 【答案】11 【思路引导】根据题干，可以把黑色，白色和黄色看作3个抽屉，考虑最差情况：摸出10根：8根黑色的，1根白色的，1根黄色的，那么再任意摸出1根，无论从白色抽屉，还是从黄色抽屉摸出，都会出现有两双不同颜色的筷子，由此即可解决问题。 【规范解答】由分析可得： （根） 至少要取11根才能保证达到要求。 【考点剖析】此题考查了利用抽屉原理解决问题的方法，这里要注意考虑最差情况。 【基础通关】 1．（25-26六年级下·山东济宁·期末）下面问题可以运用“鸽巢原理”解决的是（    ）。 A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C有几种不同的走法。 B．15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件。 【答案】B 【思路引导】鸽巢原理是指：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。 判断每个选项是否符合鸽巢原理的特征，即是否存在将元素放入集合，且要保证至少有一个集合中有特定数量元素的情况。 【规范解答】A．从A到B有2条路，从B到C有3条路，从A到C的不同走法是根据乘法原理计算，即从A到B的路数乘从B到C的路数，2×3＝6（种），这是组合问题，不是鸽巢原理。 B．把15名女生分到4个小组做游戏，将15名女生看作15个元素，4个小组看作4个集合。根据鸽巢原理，15÷4＝3（名）……3（名），其中3是商，3是余数。这意味着平均每个小组分3名女生后，还剩下3名女生。剩下的3名女生无论分到哪个小组，都会使得至少有一个小组的女生人数为3＋1＝4（名），所以可以运用鸽巢原理解决。 C．有12个零件，其中11个质量相同，只有一个质量轻一些，用天平至少称几次能保证找出这个零件，这是找次品问题，通过合理分组利用天平称重的方式来找出次品，不是鸽巢原理。 因此，可以运用“鸽巢原理”解决的是15名女生分到4个小组做游戏，至少有几名女生要分到同一小组里。 2．（25-26六年级下·浙江台州·期末）盒子里有除颜色外完全相同的8个红球、1个蓝球、6个黄球，至少取出（    ）球，才能保证其中有2个球颜色相同。 A．9个 B．2个 C．7个 D．4个 【答案】D 【思路引导】要保证取出的球有2个颜色相同，先考虑最不利的情况：每种颜色先各取1个，此时再多取1个就一定能出现2个同色的球。 【规范解答】球的颜色共有3种最不利情况下先每种颜色各取1个，取球数量3个，再取1个即可满足要求，总取球数量：3＋1＝4（个） 3．（25-26六年级下·湖南长沙·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①6、10、28都是偶数，也都是合数。 ②小明的生日是2016年2月29日。 ③圆的半径与其面积成正比例关系。 ④三角形有3条对称轴，长方形和正方形都有2条对称轴。 ⑤六甲班有37名学生，至少有2名学生在同一个月过生日。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据数的认识、年月日知识、正比例的意义、轴对称图形以及抽屉原理。需要逐一分析五个说法的正确性，最后统计正确说法的个数，选择对应选项。 【规范解答】①6、10、28都能被2整除，所以都是偶数；6的因数有1、2、3、6，10的因数有1、2、5、10，28的因数有1、2、4、7、14、28，它们除了1和本身外还有其他因数，所以都是合数。此选项正确。 ②2016÷4＝504，没有余数，所以2016年是闰年，2月有29天，存在2月29日这一天。此选项正确。 ③圆的面积公式为，则，因为是变量，所以的比值不固定，圆的面积与半径不成正比例关系。此选项错误。 ④只有等边三角形才有3条对称轴，一般三角形没有3条对称轴；长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴。此选项错误。 ⑤一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，37名学生看作37个物体。37÷12＝3……1，根据抽屉原理，至少有3＋1＝4名学生在同一个月过生日。因为4名大于2名，所以“至少有2名学生在同一个月过生日”的说法是成立的。此选项正确。 综上所述，正确的说法有①、②、⑤，共3个。 4．（24-25六年级下·江西吉安·期末）某箱子里装有红球、黄球、白球各10个，每次至少摸出( )个球，才能保证摸出的球一定有2种不同的颜色。 【答案】11 【思路引导】因为要保证有2种不同颜色，所以最不利情况是先把同一种颜色的所有球全部摸出，此时再摸1个球，必然是另一种颜色。用单一颜色的总数量加1，即可得到需要摸出的最少球数。 【规范解答】（个）。 5．（24-25六年级下·贵州黔南·期末）布袋里有2个蓝球、4个绿球、6个黑球（这些球除颜色外完全相同）。如果每次随机摸一个球，至少需要摸出( )个球才能确保有2个颜色相同的球。 【答案】4 【思路引导】要确保摸到2个同色的球，先考虑最倒霉的情况：前3次摸球刚好分别摸出了蓝、绿、黑三种不同颜色的球，此时手里每种颜色各1个，接下来再摸1个球，不管这个球是什么颜色，都会和之前摸到的某一个球颜色相同，所以一共需要摸3＋1＝4个球。 【规范解答】共3种颜色，最坏情况先摸出每种颜色各1个，再摸1个就能保证有2个同色。 3＋1＝4（个） 至少需要摸出4个球才能确保有2个颜色相同的球。 6．（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）麻城今年五月份的天气有晴天、多云、阴天、雨天4种情况，五月份至少有7天是同一种天气。( ) 【答案】× 【思路引导】5月份一共有31天，天气分为晴天、多云、阴天、雨天，共4种，把4种天气当作4个鸽巢，31天看作要放进鸽巢的物体。用总天数天气种类，，也就是平均每种天气分配7天，还剩余3天。余下的3天任意分到3种天气中，可以得出有一种天气最少有（天）。据此判断正误。 【规范解答】五月份有31天， （天）（天） （天） 即至少有8天是同一种天气，题目说法错误。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·江西吉安·期末）有7个人坐4条凳子，总有一条凳子上至少坐2人。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】鸽巢问题（抽屉原理）公式：把n个物体放进m个抽屉，n÷m＝k……r，至少数＝k＋1。 【规范解答】7÷4＝1（人）……3（人） 1＋1＝2（人） 7人中先任意抽4个人分别坐在4条凳子上，另外3个人再坐，只能坐在有人的凳子上。 所以，总有一条凳子至少坐2人。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（2026三年级下·江苏·专题练习）王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 【答案】王老师至少要准备6个袋子，里面分别装有1，2，4，8，16，32颗糖果。 【思路引导】要想满足取出任意数量（1至63颗）的要求，需要从最小的数1开始考虑。必须有一个袋子放1颗才能组成1；有了1，要组成2，必须有一个袋子放2颗；有了1和2，最大能组成3，要组成4，必须有一个袋子放4颗。以此类推，每个袋子的糖果数是前一个袋子糖果数的2倍，直到所有袋子糖果数之和等于63为止。 【规范解答】为了能取出1颗糖果，第一个袋子放1颗。 为了能取出2颗糖果，第二个袋子放2颗。此时可以组成1至3颗（1、2、1＋2＝3）。 为了能取出4颗糖果，第三个袋子放4颗。此时可以组成1至7颗（1至3、4、4＋1至4＋3）。 为了能取出8颗糖果，第四个袋子放8颗。此时可以组成1至15颗。 为了能取出16颗糖果，第五个袋子放16颗。此时可以组成1至31颗。 为了能取出32颗糖果，第六个袋子放32颗。此时可以组成1至63颗。 验证糖果总数：1＋2＋4＋8＋16＋32＝63（颗） 统计袋子数量：一共准备了6个袋子。 答：王老师要准备6个袋子，每个袋子里分别放1颗、2颗、4颗、8颗、16颗、32颗。 9．（24-25四年级下·北京·期末）如果把一个非零自然数（1，2，3，4，5，……）拆成一些比它小的非零自然数的和，我们就说得到了它的一个“分拆”（不计顺序），比如5＝4＋1就是5的一个“分拆”，5＝1＋4与5＝4＋1算作同一个“分拆”。 (1)请写出10的一个“分拆”。 (2)如果把一个非零自然数拆成不同的数的和，比如7＝4＋2＋1，我们就说这是一个“互异分拆”。请写出6的所有“互异分拆”。 (3)9＝5＋1＋1＋1＋1这个“分拆”是把9拆成了5个数的和，我们就说这个“分拆”的长度是5。我们学习过“乒乓球与盒子问题”，请你把“8的长度为3的‘互异分拆’有多少个？”这道问题表述为一道关于乒乓球与盒子的问题。 【答案】(1)10＝9＋1 (2)6＝5＋1，6＝4＋2，6＝3＋2＋1 (3) 把8个相同的乒乓球放进3个不同的空盒子里，每个盒子里都至少放1个乒乓球，且每个盒子中乒乓球数量互不相等，一共有多少种放法？ 【思路引导】（1）只要把10写成两个或多个小于10的非零自然数之和即可，答案不唯一； （2）我们需要找到所有和为6的组合，且组合里的数字不能重复。我们可以按照加数的个数来分类寻找，即拆分成2个加数，3个加数，4个加数等； （3）8代表总数，即8个相同的乒乓球；长度为3代表分成了3份，即放入3个不同的空盒子里；分拆意味着每个盒子里至少有球，即每个盒子里都至少放1个乒乓球；互异意味着每份的数量不一样，即每个盒子中乒乓球数量互不相等；据此作答。 【规范解答】（1）10＝9＋1，10＝8＋2，10＝7＋3，10＝6＋4，10＝5＋5，10＝8＋1＋1，10＝7＋2＋1，10＝6＋3＋1……任选其一即可，答案不唯一； （2）6拆分为2个加数：6＝5＋1（可行，数字不同），6＝4＋2（可行，数字不同），6＝3＋3（不可行，数字相同）； 6拆分为3个加数：6＝4＋1＋1（不可行，有相同数字），6＝3＋2＋1（可行，数字不同）； 6拆分为4个加数：6＝3＋1＋1＋1（不可行，有相同数字），6＝2＋2＋1＋1（不可行，有相同数字）； 6拆分为5个加数：6＝2＋1＋1＋1＋1（不可行，有相同数字）； 6拆分为6个加数：6＝1＋1＋1＋1＋1＋1（不可行，数字相同）； 综上可知，6的所有互异分拆有：6＝5＋1，6＝4＋2，6＝3＋2＋1； （3）根据分析可知，8的长度为3的互异分拆有多少个？这道问题表述为一道关于乒乓球与盒子的问题为：把8个相同的乒乓球放进3个不同的空盒子里，每个盒子里都至少放1个乒乓球，且每个盒子中乒乓球数量互不相等，一共有多少种放法？ 10．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）老师在黑板上写了3个字（如图），让同学们任意选择两个字组成一个词语。全班共41名同学，至少有多少人写的词语相同？为什么？ 【答案】11人；原因见详解 【思路引导】鸽巢问题中：物品数量÷抽屉数量＝商……余数，至少数＝商＋1。根据“情、感、恩”3个字确定任意选两个字组成的词语数量（必须是有效词语）。将词语数量确定为抽屉数，再将全班41名同学确定为物品数，根据公式进行计算。 【规范解答】根据“情、感、恩”3个字确定任意选两个字组成的词语：情感、恩情、感情、感恩，共4个，所以抽屉数为4。 （人）……1（人） （人） 答：至少有11人写的词语相同。 【能力提升】 1．（2026·浙江台州·小升初模拟）同时抛出若干枚硬币，保证至少有5枚硬币是相同面朝上，那么最少要拿（    ）枚硬币抛。 A．6 B．7 C．11 D．9 【答案】D 【思路引导】硬币有正、反2个面，相当于2个抽屉。要保证至少有5枚硬币面朝上相同，需考虑最不利的情况，即每个面都出现了5－1＝4枚，此时再增加1枚即可保证条件成立。 【规范解答】要求至少有5枚相同，则最不利情况为每种面各有： 5－1＝4（枚） 此时硬币总数为： 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（枚） 最少要拿9枚。 2．（25-26六年级下·河南郑州·期末）端午节的习俗之一是老人要给小孩的足腕拴五彩绳。盒子里有2根带白色珠子的五彩绳，5根带粉色珠子的五彩绳，3根不带珠子的五彩绳，至少拿出（    ）根，才能保证拿到3根带粉色珠子的五彩绳。（    ） A．5 B．8 C．10 【答案】B 【思路引导】按照最不利原则，先把2根带白色珠子、3根不带珠子的五彩绳全部取完，再取出2根粉色五彩绳，此时再多取1根，就一定能拿到3根带粉色珠子的五彩绳。 【规范解答】不带粉色的绳子：2＋3＝5（根） 先取出全部非粉色绳，再取出2根粉色绳：5＋2＝7（根） 再取出1根就必定是粉色绳：7＋1＝8（根） 3．（25-26五年级上·山东烟台·期末）盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第（    ）次能摸到黄球，摸（    ）次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上（    ）个黄球。 A．4；11；9 B．5；11；4 C．9；4；11 D．11；9；4 【答案】B 【思路引导】已经摸了4次，最快下一次一定摸到，那么摸出次数加一即可；一定能摸到，把红球都莫出去后，才能摸到，则摸红球次数加1次即可；对于“摸到黄球的可能性为”，相当于黄球占总数的，则红球占总数的1－，单位“1”是球的总数，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，再减去现有数量即可求解。 【规范解答】最快的次数：4＋1＝5（次） 最坏情况是把所有红球摸完，共需要10次红球，第11次一定能摸到黄球。 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝15（个） 15－10－1＝4（个） 最快第5次摸到黄球，摸11次一定能摸到黄球.要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上4个黄球。 4．（25-26六年级下·山东济南·期末）文具店举办“幸运抽奖”活动，一个盒子里装了40支相同的笔，其中标号为A（红笔）、B（蓝笔）、C（黑笔）、D（绿笔）的笔各有10支。 (1)至少要取出( )支笔，才能保证其中至少有2支标号相同的笔。至少要取出( )支笔，才能保证其中至少有4种不同标号的笔。 (2)至少要取出多少支笔，才能保证其中至少有两对标号相同的笔？（相同标号算一对，两对的标号不重复） 【答案】(1) 5 31 (2)14 支 【思路引导】解题的关键是找到“最不利情况”，即在不能满足题目要求的前提下，尽可能多地取出笔。要把4种标号看作4个抽屉，保证至少有2支标号相同，需考虑每种标号各取1支的最不利情况； 要保证有4种不同标号，最不利情况是取完了其中3种标号的所有笔，仍未取到第4种； 要保证有两对标号不同的笔（即至少有两种标号，每种标号至少2支），最不利情况是其中一种标号取完了所有笔，而其余三种标号各只取了1支，此时再取1支即可满足条件。 【规范解答】（1）保证至少有2支标号相同的笔：将4种标号（A、B、C、D）看作4个抽屉。最不利情况是每种标号的笔各取出1支，共取出4支。 此时再取出1支，无论是什么标号，都能与已有的某支笔标号相同。 列式计算：（支） 所以至少要取出5支笔。 保证至少有4种不同标号的笔： 最不利情况是先将其中3种标号的笔全部取完，每种标号有10支。 已取出笔的数量：（支） 此时盒子里只剩下第4种标号的笔，再取出1支即可保证有4种不同标号。 列式计算：＝30＋1＝31（支） 所以至少要取出31支笔。 （2）至少有两种不同的标号，每种标号至少有2支笔。 最不利情况是：其中一种标号的笔全部取出（10支），形成了多对，但其余三种标号的笔各只取出1支。 此时取出的笔的数量：（支） 在这种情况下，只有一种标号有重复，不满足“两对标号不重复”的条件。再取出1支笔，必然会使其余三种标号中的某一种达到2支，从而满足条件。 列式计算：＝10＋3＋1＝14（支） 答：至少要取出14支笔，才能保证其中至少有两对标号相同的笔。 5．（2026·重庆巴南·小升初真题）某班组织联欢会，每人发一张有10个空格的彩券，每个人都在彩券上填入1至10这10个整数，顺序自定，班长手里有一张老师已经填好的彩券，如果某人所填的彩券上的数列至少有一个位置与老师所填数列的对应位置上的数相同，即可中奖，则至少( )位同学联合起来填写彩券、才能保证他们中一定有人获奖。 【答案】1334962 【思路引导】保证有人获奖的反面是“所有人都不获奖”，即所有人的彩券与老师彩券的对应位置数均不同（错排）。因此，先计算10个元素的错排数D（10），则至少需要D（10）＋1人才能确保有人中奖。 根据递推公式D（n）＝（n－1）［D（n－1）＋D（n－2）］，计算出D（10）。 【规范解答】D（1）＝0，D（2）＝1。 D（3）＝2，D（4）＝9，D（5）＝44， D（6）＝265，D（7）＝1854，D（8）＝14833， D（9）＝133496，D（10）＝9×（133496＋14833）＝1334961。 最多有1334961人全错排（不中奖），故至少需1334961＋1＝1334962人才能保证有人中奖。 6．（25-26六年级下·湖北黄石·期末）袋子里有红、黄、蓝三种颜色的筷子（除颜色外，其他均相同）各8根，至少摸出( )根才能保证有2双同色的筷子；至少摸出( )根才能保证有2双不同颜色的筷子。 【答案】 10 11 【思路引导】解决此类“至少……才能保证……”的问题，需要考虑最不利情况（最坏情况），即在满足条件之前，尽可能多地取出不符合要求的数量，然后再取1根即可保证满足条件。 第一问要求保证有2双同色的筷子，即某一种颜色的筷子达到4根。最不利情况是每种颜色各取出3根。 第二问要求保证有2双不同颜色的筷子，即两种不同颜色的筷子各达到2根。最不利情况是一种颜色的筷子全部取出，其余两种颜色的筷子各取出1根。 【规范解答】考虑最不利情况：每种颜色都摸出了3根，此时没有任何一种颜色达到4根。 摸出的数量为：3×3＝9（根） ，在此基础上再摸出1根，无论是什么颜色，都会使该颜色的筷子数量达到4根，从而保证有2双同色的筷子。至少摸出的数量为：9＋1＝10（根） 考虑最不利情况：尽可能让一种颜色的筷子多，而其他颜色的筷子不足以成双（即各只有1根）。 先将数量最多的一种颜色的筷子全部摸出，即8根。 再将其余两种颜色的筷子各摸出1根，即1＋1＝2（根）。 此时摸出的总数量为：8＋2＝10（根）， 此时只有一种颜色有成双的筷子，不满足“2双不同颜色”的条件。 在此基础上再摸出1根，必然是其余两种颜色中的一种，使该颜色达到2根，从而保证有2双不同颜色的筷子。 至少摸出的数量为：10＋1＝11（根） 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）有六种颜色的袜子（除颜色外其余相同），各20只混装在箱内，闭上眼睛从箱内至少取出10只才能保证有3双成对的袜子。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】要保证有3双成对的袜子，需考虑最坏情况下的取法，即取出的袜子中形成的成双对数尽可能少。当取出10只袜子时，可能为两种颜色各取3只（各成1双）和四种颜色各取1只（不成双），此时仅有2双成对的袜子，不足3双。因此，取出10只不能保证有3双成对的袜子。 【规范解答】要保证有3双成对的袜子，需确保在最坏情况下也能满足条件。最坏情况是使取出的袜子中每种颜色的袜子数尽可能少地形成成双。 当取出10只袜子时，可安排为：两种颜色各取3只（各形成1双），其余四种颜色各取1只（不成双）。此时，成双的袜子仅有2双，不满足3双的条件。 当取出11只袜子时，假设成双的袜子少于3双（即最多2双）。形成一双袜子需一种颜色至少2只袜子，且：若一种颜色有4只或更多袜子，则至少成2双； 若一种颜色有2只或3只袜子，则成1双。要总成双对数不超过2，则： 情况1：一种颜色有4只袜子（成2双），则其余五种颜色最多各有1只袜子（不成双），总袜子数最多为4 ＋ 5 × 1 ＝ 9只，小于11，不可能。 情况2：一种颜色有5只袜子（成2双），则总袜子数最多为5 ＋ 5 × 1 ＝ 10只，小于11，不可能。 情况3：两种颜色各有2只或3只袜子（各成1双，总2双），则其余四种颜色最多各有1只袜子，总袜子数最多为3 ＋ 3 ＋ 4 × 1 ＝ 10只，小于11，不可能。   因此，当取出11只袜子时，成双的袜子至少为3双（例如三种颜色各取3只，各成1双，共3双）。 综上，至少需取出11只袜子才能保证有3双成对的袜子。题目中“至少取出10只才能保证”的说法错误。 故答案为：× 8．（24-25六年级下·山东济南·期末）阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） (3)阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） 【答案】(1)10 (2)5名 (3)401名 【思路引导】（1）分两类计算报名情况，报1个社团有4种选择，报2个社团有6种组合（如合唱和美术、合唱和足球、合唱和思维、美术和足球、美术和思维、足球和思维），两类相加得到总共有10种不同报名情况； （2）把10种报名情况看作10个抽屉，43名同学对应放入抽屉，用43除以10得商4余3，根据抽屉原理，至少有4＋1＝5（名）同学情况完全相同； （3）要保证某一种报名情况有41名同学，先给10种情况各分配40名同学，再加1名，总人数为10×40＋1＝401（名）。 【规范解答】（1）4＋6＝10（种） 答：每位同学可以有10种不同的报名参加社团的情况。 （2）43÷10＝4（名）……3（名） 4＋1＝5（名） 答：这个班中至少有5名同学参加社团的情况完全相同。 （3）10×（41－1）＋1 ＝10×40＋1 ＝400＋1 ＝401（名） 答：阳光小学六年级至少有401名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同。 9．（24-25六年级下·甘肃平凉·期中）妈妈在网上超市买了田园、青花瓷、卡通三种不同图案的筷子各10支，把它们混着放在一起。这些筷子除了图案不同，其他方面都相同。（注：2支图案一样的筷子，才能配成1双筷子） (1)至少取出几支筷子，可以保证配成两双筷子？ (2)至少取出几支筷子，可以保证有两双卡通筷子？ (3)至少取出几支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子？ 【答案】(1)6支 (2)24支 (3)13支 【思路引导】（1）最不利情况：先取3支，分别是三种不同图案各1支，再取2支相同的筷子，必然和其中1支配成第1双，还有3支均为不同筷子。此时再取一支，可以保证配成2双筷子； （2）最不利情况：所有非卡通的筷子全部取完。再取4支卡通筷子，刚好凑成2双； （3）最不利情况：先把其中一种图案的筷子全部取完，另外两种图案各取1支。再取一支，必然有两双不同图案的筷子。 【规范解答】（1）3＋2＋1＝6（支） 答：至少取出6支筷子，可以保证配成两双筷子。 （2）10＋10＋4＝24（支） 答：至少取出24支筷子，可以保证有两双卡通筷子。 （3）10＋2＋1＝13（支） 答：至少取出13支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子。 10．（24-25六年级下·全国·单元复习）一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆。其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数。你能说一说他的结论对吗？为什么？（每堆石子数量不相等） 【答案】对；理由见详解 【思路引导】根据鸽巢原理，当石子数除以5时，余数只有0、1、2、3、4这五种可能。如果从石子堆中任意选出六堆，相当于将六个物体（六堆石子）放入五个鸽巢（五个余数），那其中至少有一个鸽巢中会有至少两堆石子，这两堆石子数除以5的余数相同，因此它们的差一定是5的倍数。据此作答。 【规范解答】他的结论对。任意选出的六堆石子中，石子数量的个位数可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么它们除以5的余数只有0、1、2、3、4这五种可能，所以至少有两堆石子数除以5的余数相同，因此它们的差一定是5的倍数。 【考点剖析】本题考查鸽巢原理的应用，把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $