专题04 方程与不等式（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦吉林中考方程与不等式专题，整合2022-2026年真题及模拟题，以古算文化（如《孙子算经》乘车问题）和地方特色情境（如吉林玉米、人参销售）为载体，覆盖5大核心考点，强调实际应用与数学建模。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|3-6分|一元一次方程、分式方程、不等式（组）|结合《九章算术》合伙买羊等古算题，考查建模能力；不等式注重解集与性质应用| |解答题|4-7分|二元一次方程组、分式方程应用|以吉林玉米采购、查干湖鱼销售等地方经济情境为主，突出实际问题中的等量关系建立|

专题04 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次方程 多结合选择、填空考查列方程，较少单独考解方程；常融入实际应用题，分值 36 分。 侧重实际情境列方程，很少单独直接解方程；常和其他考点综合，难度基础，以建模为主学科网。 考点02 二元一次方程组 高频必考，选择、填空、解答均出现；解答题常考实际应用，分值 47 分。 必考内容，重点考代入、加减消元法；应用题是热点，联系生活情境；题型稳定，属于基础拿分题。 考点03 一元二次方程 选择填空为主，考查判别式、根与系数关系，偶尔考解方程；分值 36 分。 重点考查判别式判断根的情况；解法以公式法、配方法为主；较少复杂应用题，基础概念为主。 考点04 分式方程 隔年考查，选择填空考解分式方程、增根；注意检验；分值 35 分。 考查解分式方程，增根、检验是高频易错点；应用题考查较少，注意分母不为 0 的隐含条件。 考点05 不等式（组） 每年必考，选择题考解集，解答会考解不等式组；分值 36 分。 必考基础题，考查不等式性质、解集在数轴表示；偶尔含简单参数；难度低，是试卷基础送分板块。 考点01 一元一次方程 1．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 2．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 3．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 4．（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 5．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 考点02 二元一次方程组 6．（2026·吉林·中考真题）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 7．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 8．（2023·吉林·中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格． 9．（2022·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________． 10．（2024·吉林长春·中考真题）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 考点03 一元二次方程 11．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 13．（2022·吉林长春·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______． 考点04 分式方程 14．（2026·吉林·中考真题）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 15．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 16．（2023·吉林长春·中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？      17．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 18．（2022·吉林·中考真题）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数． 考点05 不等式（组） 19．（2026·吉林·中考真题）不等式的解集为__________． 20．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 21．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 23．（2024·吉林·中考真题）不等式组的解集为______． 24．（2023·吉林·中考真题）不等式的解集为__________． 25．（2022·吉林长春·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 26．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 2．（2026·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林·一模）不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·吉林长春·二模）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林·二模）不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 6．（2026·吉林长春·三模）根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 7．（2026·吉林·二模）“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 二、填空题 8．（2026·吉林长春·一模）“的倍与的差小于”用不等式表示为________． 9．（2026·吉林长春·一模）不等式组的所有整数解为__________． 10．（2026·吉林·一模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，还差两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为_______． 11．（2026·吉林延边·一模）不等式组的解集是_________ 12．（2026·吉林延边·二模）据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 三、解答题 13．（2026·吉林长春·一模）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 14．（2026·吉林四平·二模）旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 15．（2026·吉林·一模）解方程：． 16．（2026·吉林·一模）某非遗文创店销售剪纸和皮影工艺品，已知3套剪纸工艺品和2套皮影工艺品的总售价为3900元；2套剪纸工艺品和4套皮影工艺品的总售价为4600元．求每套剪纸工艺品和每套皮影工艺品的售价各多少元？ 17．（2026·吉林长春·一模）伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 18．（2026·吉林长春·一模）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加，某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元．求A、B两型智能开关的单价各是多少元． 19．（2026·吉林松原·一模）芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增A、B两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知A生产线一天生产芯片的产量比B生产线一天生产芯片的产量多200枚，A、B两条生产线一天共生产芯片1000枚．求A、B两条生产线每天分别生产多少枚芯片？ 20．（2026·吉林长春·一模）某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 21．（2026·吉林长春·一模）某中学组织学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是，但交通比较拥堵；路线比路线的全程多，但平均速度比走路线能提高，走路线能比走路线少用．求走路线的平均速度是多少． 22．（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 23．（2026·吉林长春·二模）2026年1月以来国内成品油价调整形成了“一搁浅、五连涨”的格局，目前吉林省号汽油均价比月份增长．同样花费元加油，月份比现在多加入升汽油．求月份号汽油每升多少元． 24．（2026·吉林长春·二模）甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲的平均速度． 25．（2026·吉林·二模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 26．（2026·吉林长春·二模）在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 27．（2026·吉林四平·二模）某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍．求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元． 28．（2025·吉林长春·二模）小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市，公司的运输速度是公司的倍，选用公司送此文件会比公司早到5小时，求公司的运输速度． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次方程 多结合选择、填空考查列方程，较少单独考解方程；常融入实际应用题，分值 36 分。 侧重实际情境列方程，很少单独直接解方程；常和其他考点综合，难度基础，以建模为主学科网。 考点02 二元一次方程组 高频必考，选择、填空、解答均出现；解答题常考实际应用，分值 47 分。 必考内容，重点考代入、加减消元法；应用题是热点，联系生活情境；题型稳定，属于基础拿分题。 考点03 一元二次方程 选择填空为主，考查判别式、根与系数关系，偶尔考解方程；分值 36 分。 重点考查判别式判断根的情况；解法以公式法、配方法为主；较少复杂应用题，基础概念为主。 考点04 分式方程 隔年考查，选择填空考解分式方程、增根；注意检验；分值 35 分。 考查解分式方程，增根、检验是高频易错点；应用题考查较少，注意分母不为 0 的隐含条件。 考点05 不等式（组） 每年必考，选择题考解集，解答会考解不等式组；分值 36 分。 必考基础题，考查不等式性质、解集在数轴表示；偶尔含简单参数；难度低，是试卷基础送分板块。 考点01 一元一次方程 1．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 2．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键． 设黑色琴键x个，则白色琴键个，可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个， 由题意得：， 解得：， ∴白色琴键：（个）， 答：白色琴键52个，黑色琴键36个． 3．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 4．（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 5．（2022·吉林长春·中考真题）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________． 【答案】8 【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可． 【详解】设店中共有x间房， 由题意得，， 解得， 所以，店中共有8间房， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 考点02 二元一次方程组 6．（2026·吉林·中考真题）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价． 【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为元，每箱“吉林二号”玉米售价为元． 根据题意列方程组得， 解得， 答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 7．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 8．（2023·吉林·中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格． 【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元， 由题意得：， 解得， 答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键． 9．（2022·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题中两个等量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛；1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】由题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，理解题意、找到等量关系并列出方程组是解题的关键． 10．（2024·吉林长春·中考真题）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱 【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：， 解得：． 答：共33人合伙买金，金价为9800钱． 【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考点03 一元二次方程 11．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 12．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（    ） A．33 B．23 C．17 D． 【答案】C 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 13．（2022·吉林长春·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______． 【答案】/0.25 【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可． 【详解】关于x的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键． 考点04 分式方程 14．（2026·吉林·中考真题）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商乘第二个数，得，这两个数分别为多少？若设第一个数为，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两数和为10，用表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵设第一个数为，两数和为， ∴第二个数为， ∴可列方程． 15．（2025·吉林长春·中考真题）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可． 【详解】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为：， 答：小林跑步的平均速度为4米每秒． 16．（2023·吉林长春·中考真题）随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？      【答案】原计划平均每天制作个摆件． 【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个摆件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 17．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 【答案】乙班每小时挖400千克的土豆 【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆， 根据题意有：， 解得：x=400， 经检验，x=400是原方程的根， 故乙班每小时挖400千克的土豆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键． 18．（2022·吉林·中考真题）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数． 【答案】160个 【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 答：李婷每分钟跳绳的个数为160个． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键． 考点05 不等式（组） 19．（2026·吉林·中考真题）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 故解集为． 20．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 21．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 22．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 23．（2024·吉林·中考真题）不等式组的解集为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 24．（2023·吉林·中考真题）不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 25．（2022·吉林长春·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接移项解一元一次不等式即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 26．（2022·吉林·中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可． 【详解】解：由题意，用不等式表示为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵ ∴ 或 当时，移项得 当时，移项得 ∴ 方程的解为或． 2．（2026·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示解集如图： 3．（2026·吉林·一模）不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质移项计算即可得到解集． 【详解】解：由题意得， 解得． 4．（2026·吉林长春·二模）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵给定不等式为，逐一分析各选项： A、若另一个不等式为，与组成不等式组，则可知该不等式组无解，符合题意； B、若另一个不等式为，根据“同小取小”，不等式组解集为，有解，不符合题意； C、若另一个不等式为，不等式组解集为，有解，不符合题意； D、若另一个不等式为，根据“大小小大中间找”，不等式组解集为，有解，不符合题意． 5．（2026·吉林·二模）不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此原不等式组的解集为． 6．（2026·吉林长春·三模）根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程． 【详解】先计算2025到2035年的间隔年数，，即共增长10年， 年平均增长率为，初始规模为万亿元， 按照平均增长率规律，年后规模为初始量， 10年后规模为， 又 2035年规模为万亿元， 可列方程为． 7．（2026·吉林·二模）“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 【答案】C 【分析】利用两次称重时船的总重量等于大象重量这一等量关系，列出关于 和 的方程组，求解后即可判断各选项的正误. 【详解】解：设每块石块重斤，大象重斤， 由第一次称重情况可得方程：， 故选项 A 说法正确； 由第二次称重情况可得方程：， 故选项 B 说法正确； 联立上述两个方程组成方程组：， ，解得 ， 将代入得：， 每块石块重斤，大象重斤； 故选项 D 说法正确，选项 C 说法错误. 二、填空题 8．（2026·吉林长春·一模）“的倍与的差小于”用不等式表示为________． 【答案】 【分析】明确运算顺序与不等关系，的倍为，再计算与的差，根据“差小于”的条件列出不等式． 【详解】解：由题意得． 9．（2026·吉林长春·一模）不等式组的所有整数解为__________． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再在解集中找出所有整数即可得到答案． 【详解】解：∵ 解不等式，移项得， 不等式，两边同除以得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 10．（2026·吉林·一模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，还差两．问银子共有几两？设银子共有两，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】根据人数不变，利用两种分银子的情况分别表示人数即可列出方程． 【详解】解：设银子共有两， ∵每人分两，还剩两， ∴人数可表示为， ∵每人分两，还差两， ∴人数可表示为， ∵人数相等， ∴可列方程为． 11．（2026·吉林延边·一模）不等式组的解集是_________ 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 12．（2026·吉林延边·二模）据统计延边州2023年国内游客数量为2646万人次，2025年国内游客数量7813万人次．设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合已知两年的游客数量，列出对应方程即可． 【详解】解：设这两年延边州国内游客数量的平均增长率为， 由于2023年国内游客数量为万人次， 则2024年国内游客数量为万人次， 2025年国内游客数量为万人次， 因此，可列方程为：． 三、解答题 13．（2026·吉林长春·一模）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 【答案】该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 【分析】先设该班的学生人数为x人，根据题意可知两种种植方式下，树苗的总数量是不变的，从而列出一元一次方程求得学生人数，再将学生人数代入“每人种3棵，则剩余20棵”的表达式中，即可求得这批树苗的数量． 【详解】解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这批树苗的数量是（棵）， 即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵． 14．（2026·吉林四平·二模）旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 【答案】制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 【分析】设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟，根据制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟， 由题意，得， 解得， 答：制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟． 15．（2026·吉林·一模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 16．（2026·吉林·一模）某非遗文创店销售剪纸和皮影工艺品，已知3套剪纸工艺品和2套皮影工艺品的总售价为3900元；2套剪纸工艺品和4套皮影工艺品的总售价为4600元．求每套剪纸工艺品和每套皮影工艺品的售价各多少元？ 【答案】每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元 【分析】设每套剪纸工艺品售价x元，每套皮影工艺品售价y元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设每套剪纸工艺品售价x元，每套皮影工艺品售价y元，由题意得： ， 解得：； 答：每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元． 17．（2026·吉林长春·一模）伊通河是长春的母亲河，甲、乙两人选择了一段风光秀美的伊通河岸骑行．已知这段路程全长12000米，甲的骑行速度是乙的1.2倍，甲骑完全程比乙少用5分钟，问乙每分钟骑行多少米？ 【答案】 乙每分钟骑行400米. 【分析】先设乙每分钟骑行x米，可得甲每分钟骑行，再根据两人分别骑行12000米所用的时间差为5列出分式方程，求出解即可． 【详解】解：设乙每分钟骑行x米，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以乙每分钟骑行400米． 18．（2026·吉林长春·一模）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加，某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元．求A、B两型智能开关的单价各是多少元． 【答案】A型智能开关单价为75元，B型智能开关单价为30元． 【分析】本题为二元一次方程组的实际应用题，解题思路为设出A、B两型智能开关的单价，根据题干给出的两种购买方案的总花费列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种开关的单价． 【详解】解：设A型智能开关单价为x元，B型智能开关单价为y元．根据题意可得 解得， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元． 19．（2026·吉林松原·一模）芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增A、B两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知A生产线一天生产芯片的产量比B生产线一天生产芯片的产量多200枚，A、B两条生产线一天共生产芯片1000枚．求A、B两条生产线每天分别生产多少枚芯片？ 【答案】A生产线每天生产600枚芯片，B生产线每天生产400枚芯片 【分析】设生产线每天生产枚芯片，生产线每天生产枚芯片．生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200枚，，两条生产线一天共生产芯片1000枚．据此列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设A生产线每天生产x枚芯片，B生产线每天生产y枚芯片， 由题意，得， 解得， 答：A生产线每天生产600枚芯片，B生产线每天生产400枚芯片． 20．（2026·吉林长春·一模）某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 21．（2026·吉林长春·一模）某中学组织学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线的全程是，但交通比较拥堵；路线比路线的全程多，但平均速度比走路线能提高，走路线能比走路线少用．求走路线的平均速度是多少． 【答案】走路线的平均速度是 【分析】设走路线的平均速度是，则走路线的平均速度是，根据时间差列出正确的分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设走路线的平均速度是，则走路线的平均速度是， 由题意可得，路线的全程为，. 根据走路线比走路线少用，列方程得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：走路线的平均速度是． 22．（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 【答案】“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元 【分析】设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． 23．（2026·吉林长春·二模）2026年1月以来国内成品油价调整形成了“一搁浅、五连涨”的格局，目前吉林省号汽油均价比月份增长．同样花费元加油，月份比现在多加入升汽油．求月份号汽油每升多少元． 【答案】1月份92号汽油每升7元． 【分析】设月份号汽油每升元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：设月份号汽油每升元． 根据题意得，     解得     经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：月份号汽油每升元． 24．（2026·吉林长春·二模）甲、乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲的平均速度． 【答案】 【分析】设甲的平均速度为，则乙的平均速度为，根据时间关系建立分式方程求解即可. 【详解】解：设甲的平均速度为，则乙的平均速度为． 由题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意 ， 答：甲的平均速度为． 25．（2026·吉林·二模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间． 【答案】大巴车行驶的时间为． 【分析】设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为． 26．（2026·吉林长春·二模）在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 27．（2026·吉林四平·二模）某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍．求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元． 【答案】 购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元. 【分析】设出甲、乙两种机器人的单价，根据“花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍”建立等量关系，列出分式方程，求解检验后，即可得到结果． 【详解】解：设购买一个甲种机器人需要万元，则购买一个乙种机器人需要万元， 根据题意列方程得 ， 经检验，使得， 是原分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． 28．（2025·吉林长春·二模）小明的爸爸要把一份文件通过快递公司送到与本市相距900千米的城市，公司的运输速度是公司的倍，选用公司送此文件会比公司早到5小时，求公司的运输速度． 【答案】60千米/小时 【分析】设B公司的运输速度为x千米/小时，B公司的时间为，A公司的时间为，根据A公司送此文件会比B公司早到5小时可以建立等式． 【详解】解：设B公司的运输速度为x千米/小时，则公司的运输速度是千米/小时，根据题意得： 解得 经检验是原方程的解且符合题意， 答：B公司的运输速度为60千米/小时． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 方程与不等式 5年真题1年模拟·答案版 考点01 一元一次方程 1． 2．白色琴键52个，黑色琴键36个 3． 4． 5．8 考点02 二元一次方程组 6．每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元． 7．游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 8．每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 9． 10．共33人合伙买金，金价为9800钱 考点03 一元二次方程 11．B 12．C 13．/0.25 考点04 分式方程 14．D 15．小林跑步的平均速度为4米每秒 16．原计划平均每天制作个摆件． 17．乙班每小时挖400千克的土豆 18．160个 考点05 不等式（组） 19． 20．B 21．A 22．A 23．/ 24． 25．C 26．D 1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 7．C 8． 9．0 10． 11． 12． 13．该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 14．制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 15． 16．每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元 17． 乙每分钟骑行400米. 18．A型智能开关单价为75元，B型智能开关单价为30元． 19．A生产线每天生产600枚芯片，B生产线每天生产400枚芯片 20．原计划完成这项工程需用28个月 21．走路线的平均速度是 22．“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元 23．1月份92号汽油每升7元． 24． 25．大巴车行驶的时间为． 26．平均每小时清除10吨 27． 购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元. 28．60千米/小时 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $