专题02 方程与不等式（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 中考方程与不等式专题汇编，整合2024-2026年河北真题及模拟题，覆盖一元一次方程、一元二次方程、不等式与不等式组三大考点，突出情境化应用与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约10道|一元一次方程解法、一元二次方程根与系数关系、不等式解集|结合几何图形（如正方形分矩形）、数轴表示考查基础运算| |非选择题|约25道|方程应用（金属线膨胀、纸条叠合）、不等式组综合（平行四边形边长范围）、方案设计（种植利润）|融入《九章算术》“换物问题”、科技情境（光圈系数），强调模型观念与推理能力|

专题02 方程与不等式 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 一元一次方程 近三年共5道题（2026年2道， 2025年2道，2 024年1道）。 其中选择题1道，非选择题4道。 从题型看，选择题1道、非选择题4道。命题多围绕一元一次方程的解法及几何、生活应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 一元二次方程 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题2道，非选择题1道。 。从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕一元二次方程解法、根与系数关系及与函数综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 不等式与不等式组 近三年共3道题（2026年0道， 2025年2道， 2024年1道）。 其中选择题1道，非选择题2道。 从题型看，选择题1道、非选择题2道。命题多围绕一元一次不等式（组）的解法、整数解及数轴表示展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01一元一次方程 1．（2026·河北·中考真题）如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（  ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知正方形的边长为，由图可知，将正方形分成6个全等矩形，需要横向切2刀，纵向切1刀， 每切一刀，周长之和增加， 6个矩形的周长之和比原正方形周长多， 6个矩形周长之和比原正方形的周长多48， ， 解得：． 2．（2026·河北·中考真题）解方程、解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 3．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．    【答案】99 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 4．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加量为． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 5．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 考点02 一元二次方程 1．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、判断点所在的象限 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 2．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 3．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 考点03 不等式与不等式组 1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 2．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）， 数轴表示如下所示： （2）， 数轴表示如下所示： （3） 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得； （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 1．（2026·河北保定·三模）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式求出的取值范围，再估算的值确定解集在数轴上的位置，最后对比选项即可． 【详解】解： 解得 不等式的解集在数轴上表示为： 2．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，已知四边形，边在数轴上，点A表示的数为，若，，则点D表示的整数可以是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】设点D表示的数为x，则，根据两点之间线段最短列出不等式组，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设点D表示的数为x， ∵点A表示的数为， ∴， 根据两点之间线段最短可得，， ∴，解得 ∴点D表示的整数可以是1． 3．（2026·河北邯郸·三模）不等式________的解集在数轴上的表示如图所示，则“________”处的符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数轴，可知该不等式的解集为，由不等式的基本性质（不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变），可知“________”处的符号是“>”． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 5．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 6．（2026·河北邢台·模拟预测）已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 7．（2026·河北沧州·三模）为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（     ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题先通过二元一次方程组求解甲乙幼苗单价，验证结论①，再根据给定种植面积计算总利润并验证约束条件，验证结论②，再利用乙利润更高的性质，结合约束条件求最大总利润验证结论③，最后求乙与甲亩数差的最大值验证结论④，统计正确结论个数得到答案． 【详解】解：设甲作物幼苗每亩元，乙作物幼苗每亩元， 根据题意列方程组 解得，因此结论①正确； 对于结论②，种植甲10亩，乙25亩，总利润为元， 总面积，总费用， 两种作物种植面积都不小于5亩，符合所有条件，因此结论②正确； 对于结论③，乙的每亩纯利润高于甲，因此要总利润最大，需尽可能多种植乙， 根据题意，甲种植面积最小为5亩，此时总面积限制下，乙最大种植亩， 总利润为元，不等于57000元，因此结论③错误； 对于结论④，要使乙的亩数比甲多最多，取甲最小种植面积5亩，乙最大种植35亩，此时乙比甲多亩，大于20亩，因此结论④错误； 综上，正确的结论共有2个． 8．（2026·河北承德·二模）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 9．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 10．（2026·河北保定·三模）我国古代有一道“换物”问题：用3件瓷器和2件漆器可换得1匹绸缎还多200文钱；用1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文钱．已知1匹绸缎价值2000文钱．下列说法正确的是（     ） A．设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 B．设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 C．1件瓷器值500文 D．1件漆器值450文 【答案】C 【分析】先根据题意列正确方程组，再求解得到瓷器和漆器的价格，逐一判断选项即可． 【详解】解：设1件瓷器值文，1件漆器值文，已知1匹绸缎价值2000文钱． ∵3件瓷器和2件漆器换1匹绸缎还多200文，1匹绸缎价值2000文， ∴，因此选项A错误； ∵1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文， ∴， 整理得，因此选项B错误， 联立得方程组， 解得， ∴1件瓷器值500文，1件漆器值350文，因此选项C正确，选项D错误． 11．（2026·河北石家庄·二模）嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题思路是先根据速度关系表示嘉嘉的速度，统一时间单位后，利用公式“时间=路程÷速度”得到两人走完全程的时间，再根据时间差列方程． 【详解】解：∵爸爸的平均速度为，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍， ∴嘉嘉的平均速度为． ∴爸爸走完全程的时间为，嘉嘉走完全程的时间为． 统一单位：， ∵嘉嘉比爸爸少用了，即嘉嘉的用时加上少用的时间等于爸爸的用时， ∴可列方程． 12．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 13．（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 14．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 15．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 16．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（中任意一个） 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围，再选取范围内的一个整数即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 又为整数， 可取中任意一个， 则整数可以是（中任意一个）． 17．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先得到②段包含两个整数和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 【详解】解：由数轴可知②段包含两个整数和0， 由题意得，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是（答案不唯一）． 18．（2026·河北张家口·三模）小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 【答案】6 【分析】观察拼成的大长方形，可知该长方形的长为，宽为，通过周长为可列方程，利用上排3个小长方形的长等于下排2个小长方形的长加上2个小正方形的边长可列方程，联立方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意得， 解方程组得：， ∴． 19．（2026·河北唐山·模拟预测）中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题干描述找出两个等量关系，根据等量关系列出方程，联立即可得到方程组． 【详解】解：设“宫”音弦长为厘米，“徵”音弦长为厘米，由“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍，可得方程； 由“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多厘米，可得方程， 联立两个方程可得方程组． 20．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 21．（2026·河北·三模）规定：，如果 ，那么的值为________． 【答案】6或 【分析】分和两种情况，分别根据新规定列分式方程求解即可． 【详解】解：当时，有，解得：， 检验：当时，，即是分式方程的解； 当时，有，解得：， 检验：当时，，即是分式方程的解； 综上，的值为6或． 22．（2026·河北沧州·二模）在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________． 【答案】 【分析】设战场上有个夜叉，个哪吒，根据总头数与总胳膊数的数量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到夜叉的个数． 【详解】解：设战场上有个夜叉，个哪吒． 根据题意，可得方程组： ①，得③ ． ，得． 解得． 23．（2026·河北唐山·二模）唐山某文创店五一促销，促销活动为：全场一律八折．小冀在该文创店购买了4个皮影钥匙扣，若干套冰箱贴和一些骨质瓷茶杯（原价如图7所示），发现比打折前一共便宜了124元，那么小冀购买的冰箱贴的个数为______． 【答案】6 【分析】设购买冰箱贴x个，骨质瓷茶杯y个，根据题意列出方程，结合题意求解即可． 【详解】解：设购买冰箱贴x个，骨质瓷茶杯y个， 根据题意得：， 整理得：， ∵x、y都应为正整数， ∴的结果个位数字只能是0， ∴y只能取5 当时，， 解得：， ∴购买的冰箱贴的个数为6． 24．（2026·河北沧州·三模）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 25．（2026·河北唐山·二模）设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 先求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． 26．（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月20日至26日是“全民阅读活动周”，主题是“共促全民阅读，共建书香社会”．如图1所示，某图书馆书架上摆放有m本完全一样的书（截面轮廓为矩形），除第1本竖直放置外，从第2本起适当倾斜，其平面图形如图2，点A、B、C、D、E、F……都在同一条直线上，且、、、……均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能落在前一本书的边上，则m的最大值为________． 【答案】6 【分析】确定第一本书竖直放置时，其侧边与水平面的夹角为，明确从第2本开始，书与竖直方向的夹角每本书对应新增的夹角，要让最后一本书的顶点落在前一本书的边上，所有夹角的总和必须小于，据此建立关于书本数量的不等式，求解不等式后，结合为正整数的实际要求，确定m的最大值． 【详解】解：第一本竖直放置，与底部水平直线垂直，夹角为；从第2本开始，书与竖直方向的夹角每本书对应新增的夹角，要让最后一本书的顶点落在前一本书的边上，所有夹角的总和必须小于（若总和超过，顶点无法落在前一本书边上）． 设共有本书，则共有个的夹角，可得不等式： ， 解得． 因为是正整数，所以最大取， 因此的最大值为． 27．（2026·河北保定·三模）解不等式组． (1)解不等式①； (2)解不等式②； (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； (4)直接写出原不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3)数轴如下所示： (4) 【详解】（1）解：解不等式①：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：解不等式②：， 移项，合并同类项得：； （3）略 （4）解：综上可知：原不等式组的解集． 28．（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【答案】(1) (2) 恒成立 【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果； （2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论． 【详解】（1）解：已知，，， 代入得：； （2）解：将代入得：， 配方得： ， ∵任意实数的平方都大于等于0，即， ∴， 又∵， ∴恒成立． 29．（2026·河北唐山·二模）如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． (1)对于实数，经过的顺序运算后，求出计算结果； (2)对于实数P，经过顺序运算后，要使结果不超过，求出P的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）仿照示例，即可得到运算结果； （2）仿照示例，得到，解答即可得到结果． 【详解】（1）解：， 由题意，得 ； （2）解：由题意，得， 解得， ∴的最小值为． 30．（2026·河北唐山·二模）如图，已知数轴上从左到右的点A，B，C所表示的数分别是a，b，c． (1)若，求的值； (2)当点B为原点，且表示的点在点B的右侧时，求x的最小整数值． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】（1）结合数轴得出，，然后求解即可； （2）根据题意得出，，然后代入不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）∵B为原点， ∴，， ∵， ∴， ∴x的最小整数值为0． 31．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知， (1)若，，，求的值． 以下是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的值； (2)若，，，当P的值大于7时，求x的取值范围 【答案】(1)佳佳的计算过程第一步错误，正确的值为 (2)的取值范围是 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可解答； （2）根据题意列出不等式，解出即可解答． 【详解】（1）解：佳佳的计算过程第一步错误，错误原因在于将计算成了，将计算成了， 由题意得， ； （2）解：当，，时，， 由题意得， 解得． 32．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1) 解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）略 （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 33．（2026·河北廊坊·一模）在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第二步；等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立；小高的解答过程不正确，正确解答过程见解析 【分析】根据题意可知第二步去分母，依据是等式的性质2；在第三步去括号时，数字1前面的符号没有变号，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，并检验即可． 【详解】解：由题意得，第二步是去分母，去分母的依据是等式两边同时乘以同一个数或整式，等式仍然成立， 小高的解答过程不正确，正确解答如下： ， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 34．（2026·河北唐山·二模）如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 【答案】(1)64 (2)解：，理由如下： 由题意得，， ∴； (3)52 【分析】（1）结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）结合正方形面积公式以及结合图形特征进行列式计算，即可作答． （3）由，得，因为，即，再解得，，结合正方形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴； （2）解：，理由略； （3）解：由，得， 故， 化为， 又∵， ∴， 则， 得， 解得， 把代入，得， ∴， ∴这两个正方形的面积之和为． 35．（2026·河北邯郸·二模）对于有理数，，规定． (1)计算的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）按照题干给出的运算规则，将对应数值代入计算即可． （2）根据新运算列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， 展开得， 整理得， 变形为， 解得． 36．（2026·江苏无锡·一模）计算、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据的余弦值，绝对值的化简，以及正整数指数幂的运算求解即可； （2）根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 则不等式组的解集为． 37．（2026·河北石家庄·二模）完成下列题目 (1)计算： (2)课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)①D；②戊，； ③ 【分析】（1）依据绝对值、立方根的运算法则求解各项即可； （2）①根据乘法对加法的分配律变形； ②最后一个同学出现错误，未知数的系数为负，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③画出正确的解集即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：①在“接力游戏”中，乙是依据乘法对加法的分配律变形的； ②戊同学出现错误，系数化1时，不等号的方向没有改变； ③略． 38．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 试卷第1页，共3页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 一元一次方程 近三年共5道题（2026年2道， 2025年2道，2 024年1道）。 其中选择题1道，非选择题4道。 从题型看，选择题1道、非选择题4道。命题多围绕一元一次方程的解法及几何、生活应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 一元二次方程 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题2道，非选择题1道。 。从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕一元二次方程解法、根与系数关系及与函数综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 不等式与不等式组 近三年共3道题（2026年0道， 2025年2道， 2024年1道）。 其中选择题1道，非选择题2道。 从题型看，选择题1道、非选择题2道。命题多围绕一元一次不等式（组）的解法、整数解及数轴表示展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01一元一次方程 1．（2026·河北·中考真题）如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（  ） A．6 B．8 C．12 D．16 2．（2026·河北·中考真题）解方程、解不等式： (1)； (2)． 3．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．    4．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 5．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 考点02 一元二次方程 1．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 3．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 考点03 不等式与不等式组 1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 3．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 1．（2026·河北保定·三模）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，已知四边形，边在数轴上，点A表示的数为，若，，则点D表示的整数可以是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 3．（2026·河北邯郸·三模）不等式________的解集在数轴上的表示如图所示，则“________”处的符号是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邢台·模拟预测）已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 7．（2026·河北沧州·三模）为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（     ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026·河北承德·二模）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 10．（2026·河北保定·三模）我国古代有一道“换物”问题：用3件瓷器和2件漆器可换得1匹绸缎还多200文钱；用1件瓷器和4件漆器换1匹绸缎还少100文钱．已知1匹绸缎价值2000文钱．下列说法正确的是（     ） A．设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 B．设1件瓷器值x文，1件漆器值y文，可列方程为 C．1件瓷器值500文 D．1件漆器值450文 11．（2026·河北石家庄·二模）嘉嘉和爸爸均报名参加了半程马拉松比赛．已知在一次训练中，嘉嘉和爸爸从同一起点同时出发，到达距离的目的地时，嘉嘉比爸爸少用了，嘉嘉的平均速度是爸爸的倍，设爸爸训练时的平均速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 12．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·河北邯郸·三模）嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 15．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 16．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 17．（2026·河北廊坊·二模）如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 18．（2026·河北张家口·三模）小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 19．（2026·河北唐山·模拟预测）中国古代利用“三分损益法”来确定音律．这种方法最早见于《管子·地员篇》，用于计算五音（宫、商、角、徵、羽）的弦长．其核心原理是通过增加或减少三分之一的长度来生律．在古琴制作中，假设我们要制作两根琴弦，一根是“宫”音，一根是“徵”音．已知：“徵”音的弦长是“宫”音弦长的倍；“宫”音弦长比“徵”音弦长的一半多15厘米．设“宫”音弦长为x厘米，“徵”音弦长为y厘米，则可列方程组为__________． 20．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 21．（2026·河北·三模）规定：，如果 ，那么的值为________． 22．（2026·河北沧州·二模）在我国古代数学名著《九章算法比类大全》中记载有一则“哪吒战夜叉”的趣题．书中是这样叙述的：八臂一头号夜叉、三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，不相胜负正交加．三十六头齐出动，一百八手乱相抓，旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？这道题的意思是：夜叉有1个头8条胳膊，哪吒有3个头6条胳膊，哪吒与夜叉打得不可开交，只看见战场上有36个头108条胳膊在搏斗，旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？题目中夜叉的个数为________． 23．（2026·河北唐山·二模）唐山某文创店五一促销，促销活动为：全场一律八折．小冀在该文创店购买了4个皮影钥匙扣，若干套冰箱贴和一些骨质瓷茶杯（原价如图7所示），发现比打折前一共便宜了124元，那么小冀购买的冰箱贴的个数为______． 24．（2026·河北沧州·三模）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 25．（2026·河北唐山·二模）设，是方程的两个根，则的值为______． 26．（2026·河北沧州·模拟预测）2026年4月20日至26日是“全民阅读活动周”，主题是“共促全民阅读，共建书香社会”．如图1所示，某图书馆书架上摆放有m本完全一样的书（截面轮廓为矩形），除第1本竖直放置外，从第2本起适当倾斜，其平面图形如图2，点A、B、C、D、E、F……都在同一条直线上，且、、、……均为，依次类推，为保证最后一本书的顶点能落在前一本书的边上，则m的最大值为________． 27．（2026·河北保定·三模）解不等式组． (1)解不等式①； (2)解不等式②； (3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来； (4)直接写出原不等式组的解集． 28．（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 29．（2026·河北唐山·二模）如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． (1)对于实数，经过的顺序运算后，求出计算结果； (2)对于实数P，经过顺序运算后，要使结果不超过，求出P的最小值． 30．（2026·河北唐山·二模）如图，已知数轴上从左到右的点A，B，C所表示的数分别是a，b，c． (1)若，求的值； (2)当点B为原点，且表示的点在点B的右侧时，求x的最小整数值． 31．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知， (1)若，，，求的值． 以下是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的值； (2)若，，，当P的值大于7时，求x的取值范围 32．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 33．（2026·河北廊坊·一模）在解分式方程时，小高的解法如下： ………………第一步 ………………第二步 …………………第三步 ………………………………第四步 检验：当时，……第五步 ∴原分式方程的解为………第六步 小高的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小高的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 34．（2026·河北唐山·二模）如图，大小不同的两个正方形按图中的方式摆放，两个正方形阴影部分的面积分别为M，N，两个正方形重合部分的面积为K． (1)计算：若大正方形边长为10，小正方形边长为6，．_____； (2)发现：设两个正方形的面积分别为，，用，表示的值，并证明你的结论； (3)运用：设两个正方形的边长分别为m，，且，，求这两个正方形的面积之和． 35．（2026·河北邯郸·二模）对于有理数，，规定． (1)计算的值； (2)已知，求的值． 36．（2026·江苏无锡·一模）计算、解不等式组： (1)； (2)． 37．（2026·河北石家庄·二模）完成下列题目 (1)计算： (2)课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师 甲同学 乙同学 丙同学 丁同学 戊同学 ①在“接力游戏”中，乙同学是依据____________进行变形的． A．等式的基本性质B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质D．乘法对加法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，请直接写出该不等式正确的解集________． ③请把不等式正确的解集表示在数轴上． ③ 38．（2026·河北邯郸·模拟预测）项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 试卷第1页，共3页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $