专题01 一元函数的导数及其应用（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦一元函数的导数及其应用专题，涵盖导数概念、运算、与函数单调性及极值最值的关系等基础考点，深入剖析过定点多切线、隐零点、极值点偏移等高阶难点，通过知识脑图搭建系统框架。 清单采用分层突破设计，基础梳理自主夯基与高阶思维探究拓展结合，提炼切线问题分类、构造法解不等式等答题技法，标注复合函数求导漏层等易错点，配有母题探究和新题对点练，培养学生数学思维与运算能力，助力学生自主高效复习，辅助教师精准把握备考方向。

专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（24-25高三下·天津·期中）已知为的导函数，若，则（    ） A．0 B． C．2 D．0或2 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数，则函数的单调增区间为______． 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（24-25高三上·天津河东·阶段检测）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 【典例1】（24-25高二下·天津·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 【典例2】（2025·陕西汉中·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值． 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将两个变量化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数. (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； (3)若存在，且当时，，当时，求证：. 素养进阶·答题技法突破 题型01 导数综合应用 考情定位：固定第 20 题压轴大题，三问梯度结构，总分16分；首问必考切线方程，第二问侧重含参讨论、零点、恒成立，第三问以多变量不等式证明为核心区分点；载体多为指、对数混合函数，重视隐零点、代数变形与放缩，计算量与逻辑要求较高． 核心考法：①导数几何意义，求解切线方程；②含参函数单调性、极值与最值分类讨论；③零点个数分析，结合图像交点求参数范围；④恒成立、存在性问题求解参数；⑤构造函数证明不等式，隐零点代换；⑥多变量条件不等式、极值点相关证明． 解题要点：先写明函数定义域；含参讨论找准导函数零点分界标准；零点问题优先参变分离或数形结合；隐零点整体代换，规避无法解方程困境；不等式证明优先构造差函数，合理使用常见放缩；单调区间不能使用并集；多变量问题借助已知等式消元转化为单变量． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【典例2】已知函数．讨论的单调性. 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若恒成立，则a的取值范围为______． 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围. 【典例2】（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数，曲线的一条切线的方程为． (1)求实数的值； (2)设，求函数的最小值； (3)若对任意，恒成立，求实数的最大值． 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知关于的方程有一个实根，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·天津·阶段检测）已知曲线与曲线只有一个公共点，则______． 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（24-25高三上·天津宝坻·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·天津南开·期中）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津宝坻·期中）已知函数，则_______. 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________. 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数的值为______. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为_____ 【典例2】（24-25高三下·天津·阶段检测）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津南开·期中）若在上不单调，则实数的取值范围是________． 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）函数的极大值是______． 【典例2】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数的所有极值点之和为______． 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数有极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津·期中）若在上有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（24-25高二下·天津·阶段检测）已知 ，则函数的最大值为____________ 【典例2】（24-25高三上·天津武清·阶段检测）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）函数，则________． 【典例2】（25-26高二下·天津静海·期末）已知函数，则________． 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（24-25高二下·天津河西·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【典例2】（24-25高二下·天津南开·阶段检测）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是______． 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是________. 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津和平·阶段检测）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B．0 C． D．-1 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 3．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津武清·阶段检测）若直线 与曲线 相切，则（    ） A． B． C． D．4 5．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·天津·期中）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数在时有极小值0，则_______． 10．（25-26高三上·天津滨海新区·开学考试）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 11．（24-25高二下·天津蓟州·阶段检测）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为___________ 12．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 13．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 三、解答题 14．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 15．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. $专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 【答案】 【解析】因为， ， 且，则. 故答案为： 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（24-25高三下·天津·期中）已知为的导函数，若，则（    ） A．0 B． C．2 D．0或2 【答案】D 【解析】由题意得， 则由，得，解得或．故选：D. 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数，则函数的单调增区间为______． 【答案】和 【解析】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（24-25高三上·天津河东·阶段检测）已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)，；(2)1 【解析】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 【典例1】（24-25高二下·天津·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为.故选：A 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（2026·山东菏泽·一模）已知函数，. (1)当时，证明：1是的极值点； (2)当时，证明：； (3)若，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；(3) 【解析】(1)当时，，， 时，，故； 时，，故，又， 所以1是的极值点. (2)当时，只需证明， ①当时，，，不等式显然成立； ②当 时，令 ，， 令，则， 因为，，， 所以，所以单调递减， 所以，所以单调递减， 所以， 所以， 综上，原不等式得证. （3）任意的 ，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时， 由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， ， 令， ，得（舍去）或， 当，0单调递增，当， ，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以， 所以的最大值是. 【典例2】（2025·陕西汉中·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值． 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）当时，， ， ，， 所求切线方程为，即． （2）当时，，其定义域为， ， 函数和在区间上都是增函数， 函数在区间上单调递增， 令，即， ，显然， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 当且仅当时等号成立，此时，解得， 当时，，在单调递增，， 所以当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， ，符合题意， 实数的值为1． 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将两个变量化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数. (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）当时，，则， 则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为. （2）（i）令，时，不成立， 时，得， 设，则， 由解得单调增区间为， 由解得单调减区间为，； 作出函数图象.    要使函数有2个零点， 则方程在内有2个根，即直线与函数的图象有2个交点. 又，故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 要证；即证； 又，，在上为增函数，则只需要证， 又，则只需要证，， 则构造辅助函数， ， 令，， 故为减函数， 所以，，， 所以， 所以为减函数， 所以，所以， 所以，所以， 故，. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； (3)若存在，且当时，，当时，求证：. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）当时， ， 所以， 所以， 所以曲线在处的切线斜率为. （2）， 所以， 当时，， ， 所以，所以在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得， 当时， ， 当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在处取得极小值为，无极大值， 综上： 当时， 无极值， 当时，有极小值为，无极大值. （3）证明：令，所以， 因为，， 所以，为增函数， 当时， ，即成立， 当时， 在上单调递增， 当，在上单调递增， 所以不可能存在，满足时，， 所以， 设，， 所以， 所以， 因为，即， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 要证：，即证，即证， 设，只需证， 即证，令， ， 所以在上单调递增， 所以，所以成立， 所以成立. 素养进阶·答题技法突破 题型01 导数综合应用 考情定位：固定第 20 题压轴大题，三问梯度结构，总分16分；首问必考切线方程，第二问侧重含参讨论、零点、恒成立，第三问以多变量不等式证明为核心区分点；载体多为指、对数混合函数，重视隐零点、代数变形与放缩，计算量与逻辑要求较高． 核心考法：①导数几何意义，求解切线方程；②含参函数单调性、极值与最值分类讨论；③零点个数分析，结合图像交点求参数范围；④恒成立、存在性问题求解参数；⑤构造函数证明不等式，隐零点代换；⑥多变量条件不等式、极值点相关证明． 解题要点：先写明函数定义域；含参讨论找准导函数零点分界标准；零点问题优先参变分离或数形结合；隐零点整体代换，规避无法解方程困境；不等式证明优先构造差函数，合理使用常见放缩；单调区间不能使用并集；多变量问题借助已知等式消元转化为单变量． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令，所以， 因为和在上单调递增，则在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以，则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：要证，即证，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，则， 可知在内单调递减，且， 则当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减. 【典例2】已知函数．讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，当，恒成立， 即恒成立， 令，， 则， 令，得，令，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以.故选：A 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】的定义域为，等价于， 若，则对任意，都有，故只需考虑的情况， 由，得，所以； 令，则，又， 则在单调递增，故只需，即， 令，则， 当时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减， 则，故a的取值范围是． 故答案为：. 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，在单调递减；时，在单调递减，单调递增 (2) 【解析】（1）由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）由题设对于，，使得，知，成立． 由（1）当时，，则在上递增，， 对于，函数单调递增，在上递增， ， 所以只需． 综上：． 【典例2】（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数，曲线的一条切线的方程为． (1)求实数的值； (2)设，求函数的最小值； (3)若对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设直线与曲线相切的切点为， 由函数求导得， 则， 即，又， 因此. （2）由（1）知，，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值为． （3） ，由（2）知， 因此，依题意，， 解得，所以的最大值为. 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知关于的方程有一个实根，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，因为，所以， 令， 当时，， 即单调递增；，， 当时，，令，得， 当时，，，即单调递增， 当时，，，即单调递减， 所以在处取得极大值，，， 方程有一个实根，即函数与函数有1个不同的交点， 结合图象可得或.故选：A. 【典例2】（25-26高三下·天津·阶段检测）已知曲线与曲线只有一个公共点，则______． 【答案】1 【解析】由已知曲线与曲线只有一个公共点， 得方程只有一个实数解，而，， 则，即， 故，令， 则， 而在单调递增，且， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 而当时，；当时，， 所以． 故答案为：1 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（24-25高三上·天津宝坻·阶段检测）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以在单调递减， 不等式可以转化为，即，所以.故选：D. 【典例2】（24-25高二下·天津南开·期中）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为.故选：B. 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则.故选：C 【典例2】（25-26高二下·天津宝坻·期中）已知函数，则_______. 【答案】 【解析】因为函数，则， 所以. 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________. 【答案】2 【解析】由，得， 所以， 又在切线上，所以，解得，所以. 故答案为：. 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】因为函数，所以, 所以,即函数在处的切线的斜率为. 直线，即, 所以直线的斜率为. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以,解得：. 故答案为： 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【答案】 【解析】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为_____ 【答案】或 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 【典例2】（24-25高三下·天津·阶段检测）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与函数，的图象相切的切点分别为，. 由，有，解得，. 又由，有，解得，， 可得，当且仅当，时取“=”.故选：B 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·期中）若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（25-26高二下·天津静海·阶段检测）函数的极大值是______． 【答案】 【解析】由的定义域为， 求导得， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减, 故函数在时取得极大值. 【典例2】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数的所有极值点之和为______． 【答案】 【解析】，令，解得，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值， 所以函数所有极值点之和为. 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数有极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为.故选：D 【典例2】（25-26高三上·天津·期中）若在上有两个极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 要使在上有两个极值点，则在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令; 故，且图象如下： 当时,有两个解，则在上有四个不相等实数根，不合题意； 当时，只有一个变号零点，不合题意； 当时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的有两个； 对应的值有1个，故不为0，所以． 故选：B． 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（24-25高二下·天津·阶段检测）已知 ，则函数的最大值为____________ 【答案】 【解析】由，得， 由，可得或， 由，可得：， 即在单调递减， 所以在单调递减， 所以最大值为：. 【典例2】（24-25高三上·天津武清·阶段检测）已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】， 因为函数在处取得极小值1， 所以，解得， 可得，且，解得， ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， ，， 则在区间上的最大值为6.故选：C. 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】（25-26高二下·天津西青·阶段检测）函数，则________． 【答案】 【解析】因为，所以. 【典例2】（25-26高二下·天津静海·期末）已知函数，则________． 【答案】 【解析】，故 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（24-25高二下·天津河西·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确.故选：C. 【典例2】（24-25高二下·天津南开·阶段检测）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是______． 【答案】②④ 【解析】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 故，故①错误，②正确； 由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误； 由导函数图象可得：在区间内有， 且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0， 故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确. 故答案为：②④ 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（24-25高二下·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题可知在上恒成立， 当时，在上恒成立，不合要求，舍去； 故，则，设， 可得，即在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：B 【典例2】（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】对函数求导得，因为函数在定义域内单调递减， 即在上恒成立， 化简得. 因为， 则， 故实数的取值范围是. 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由导函数的图像可知， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以B正确，A，C，D错误. 【典例2】（25-26高二下·天津和平·阶段检测）将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减， 则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象， 另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点， 的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增， 则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】D 【解析】，所以，得， 则，所以.故选：D 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【解析】由图可知，当时，， 所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确；故选：D. 3．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，所以， 所以的值域为， 由，得， 当时，，所以在上递增， 所以，， 所以的值域为， 因为对，总，使成立， 所以， 所以，解得.故选：A 4．（24-25高三上·天津武清·阶段检测）若直线 与曲线 相切，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 因此可得，即可得.故选： 5．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即．故选：D． 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为.故选：A 7．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为.故选：C 8．（24-25高三下·天津·期中）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴，故选：A 二、填空题 9．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值，所以， 故答案为：11. 10．（25-26高三上·天津滨海新区·开学考试）设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意当时，因为实数，所以成立， 当时，, ， 令0， 所以在上为增函数， 则. 即对，不等式恒成立， 则． 令， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 综上可得，的取值范围为． 11．（24-25高二下·天津蓟州·阶段检测）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为___________ 【答案】 【解析】因为，， 令，，解得：， 所以， 令，，所以，所以， 在R上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：. 故答案为：. 12．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意得，当 ，不等式在上恒成立， 当，不等式在上恒成立， 所以不等式在上恒成立， 令，则不等式在上恒成立， 因为，所以在上递增， 所以在上恒成立，显然，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，所以，则， 所以 故答案为： 13．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则，所以时，， 所以在上单调递增； 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则，， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为：. 三、解答题 14．（2026·天津·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且， （ⅰ）求t的范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1)；(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）当时，函数，求导得，则， 而，所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以. （ⅱ）有两解，即，两边取对数得, 则当时，， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即 ，，于是. 15．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）证明：当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 故，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. $