专题01 一元函数的导数及其应用（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦一元函数的导数及其应用专题，涵盖导数的概念、运算、与函数单调性及极值最值的关系，包含过定点多切线、隐零点、极值点偏移等难点，以及含参单调性讨论、恒成立问题等答题技法。 清单采用基础梳理与高阶思维分层突破，通过五步解题法解析过定点多切线问题，用虚设代换策略攻克隐零点难点，培养学生数学思维与表达能力。设易错剖析模块标注复合函数求导漏层等陷阱，配新题对点练和高考母题探究，助力学生自主构建知识体系，教师可据此精准指导复习。

专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）函数在处的瞬时变化率等于______． 【答案】-1 【解析】，当时，， 故在处的瞬时变化率等于-1 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以.故选：D. 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.,当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增.故在(0, +∞)上不单调，故A错误. B. 由，得， 当时，，所以递减，故错误； C. 对于，设，当时，， 由对勾函数知：在上递增，故正确； D. 对于，由，解得或， 所以函数的定义域为或，故错误；故选：C 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.故选：C 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 【典例1】（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即， 所以实数的取值范围为. 【典例2】（2025·河北·三模）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】原不等式等价于恒成立， 设，，因为，所以， 令，，为增函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即，. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. 实数的取值范围为. 【典例2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 【解析】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将两个变量化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由可知，，， 即在上恒成立，， 令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增， 故只需，解得； （2）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（1）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， 由（1）知有两根，即有两根， 则有， 欲证，即证，， 令，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 令， 在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 又，，结合在单调递增，， 所以，则. 【典例2】（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；(3) 【解析】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则， 故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 素养进阶·答题技法突破 题型01 导数综合应用 考情定位：常为填空和解答题的压轴题，其中解答题分层梯度设问；以指对、分式函数为主要载体，侧重代数推理，弱化极值点偏移、复杂放缩套路；融合单调性、极值最值、零点、不等式证明、参数范围，区分度最高． 核心考法：①含参函数单调性分类讨论、极值与最值分析；②零点个数判定、结合零点存在定理分析参数；③不等式恒成立 / 存在性问题求参数范围；④构造辅助函数证明函数不等． 解题要点：先标明函数定义域；含参讨论优先理清导函数零点大小次序；恒成立问题可参变分离或分类讨论；零点问题结合单调性、极值符号与零点存在定理；证明不等式优先构造差函数，隐零点合理代换；严谨书写逻辑，单调区间禁止使用并集符号． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，，故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值，②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解，故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点，故④正确. 【典例2】（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、；(2)有两个极值点；(3)交点个数为 【解析】（1），则， ， 所以，， 又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【典例2】已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由.故选：C 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，则， 设切点为，则切线斜率为，由切线过原点， 得，化简得， 令，当时，，，即； 当时，，，即，当且仅当时， 故，，切点为，切线斜率为，所以切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 则即，可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即.故选：A 【典例2】（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【解析】（1）当时，，； ，； 故曲线在点处的切线方程为：； （2）由可得 令，可知是该方程的一个根； 令，则恒成立； 故在上单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值，； 故，故恒成立； （3）由（2）可知，对任意的，在上单调递减，在上单调递增； 故在处取最小值，，最大值为， 则成立的充要条件为，，； 令，则，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故， 令， 则，故单调递增，且， 故当时，，， 当时，，， 综上，需满足， 故，解得 综上，m的取值范围为． 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题得， 令，即，解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是，解得， 结合，此时. 综上所述. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】函数在区间上有三个零点等价于 函数与在上有三个交点. ①当时，在上单调递减， 而是过原点的直线，要使两函数图象有交点，则，此时只有一个交点； ②当时，， 令，可得. 令，， 令，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值. 又，， 要使函数与在上有三个交点， 则与在上有两个交点， 则须满足，所以. 则实数a的取值范围为. 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 因为在上，恒成立，则， 可知在上单调递增，不等式即， 又，则， 所以，由在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为.故选：D 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（24-25高二下·北京顺义·期中）函数，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】， ∴， 故．故选：A． 【典例2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数，则________． 【答案】0 【解析】函数，求导得， 所以. 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（24-25高三上·北京房山·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导可得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故选：B. 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】C 【解析】设切线的斜率为， ，，将代入，得， 又切线与直线垂直，则，，解得.故选：C. 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（24-25高二下·北京西城·阶段检测）已知函数（是自然对数的底数），则过原点且与曲线相切的直线方程为__________． 【答案】 【解析】设切点坐标为， ，，， 则曲线在点处的切线方程为：， 由于该直线过原点，则，得， 则过原点且与曲线相切的直线方程为， 整理得：， 【典例2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】(1)；(2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析. 【解析】（1）由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； （2）由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】对于，易知，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 显然，设切点， 由，解得. 【典例2】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知：. 所以两曲线的公切线为：，故.故选：A. 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（25-26高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是.故选：C 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是.故选：A 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（24-25高三上·北京朝阳·阶段检测）已知函数，且是的极小值点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，， 则，当时，，所以； 当时，，所以， 所以不是的极值点，故A错误； 对于B，，则， ，当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，，则， ，当时，； 当时，，所以是的极小值点，故C正确； 对于D，，则， ，当时，；当时，， 所以是的极大值点，故D错误.故选：C. 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据图象，可分别作出斜率为的另外三条切线：，切点分别为， 如图所示：当时，；当时，； 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， 有，和三个极大值点.故选：D. 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（24-25高二下·北京·阶段检测）若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 【答案】 【解析】依题意，， 所以， 解得或， 当时，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以是的极小值，不符合题意. 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以是的极大值，符合题意. 综上所述，的值为. 【典例2】（24-25高二下·北京·期中）写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题可得， ， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上存在最值，则，即， 所以实数的一个值为. 故答案为：（答案不唯一）. 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 【答案】D 【解析】，，得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是.故选：D 【典例2】（24-25高三下·北京·开学考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，则. 令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数过原点，最小值为； 当时，， 若，二次函数开口向下，值域无下界，不符合题意； 若，则函数为单调递减的一次函数，不符合题意； 若，函数图像为开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取到， 则,解得, 综上：函数的值域为， 则实数a的取值范围是,故选：C 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】已知，则______． 【答案】 【解析】． 【典例2】（25-26高三上·河北·开学考试）设函数的导数为，且，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以. 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 【答案】D 【解析】该图象为函数的导函数的图象. 当为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值. 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在和处. 在时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在处取得极小值. 而在处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点. 这说明恰有一个极值点.故选：D. 【典例2】若函数在处可导，下列说法正确的是（    ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为函数的极值时，则有 【答案】D 【解析】对于ABC：令，为增函数， ，可得，但不是极值，故ABC错误； 对于D：若函数可导，极值点处的导数一定是0，故D正确. 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，.故选：A 【典例2】已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是____． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 所以，解得或， 所以t的取值范围是． 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 【典例2】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由的图象可知：当和时，， 故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增，故B正确，故选：B 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确.故选：D 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：定义域为， ， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，， 即的解集为.故选：B. 3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数为定义在R上的偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为8，则（    ） A．12 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由函数为定义在上的偶函数，得， 则， 两边求导得，即， 而，则， 所以.故选：C 4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】C 【解析】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为.故选：C 5．（24-25高二下·北京·期中）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 【答案】C 【解析】如图， 由图可知，当时，； 当时，， 所以在上单调递减， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以有两个极大值点，两个极小值点.故选：C 6．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（    ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】A 【分析】求导，即可根据单调性求解. 【解析】由可得， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故为的极大值点，故选：A 7．已知函数，下面表述不正确的为（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【解析】对函数求导， 得， 令，解得：或； 令，解得：， 所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图： 对于选项A：观察图像可知，选项A正确； 对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增， 故，故选项B错误； 对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减， 且，故，故选项C正确； 对于选项D：当时，，由，得， 故，故选项D正确；故选：B 8．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （    ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 【答案】C 【解析】对求导，可得. 令，即，移项可得. 那么的极值点个数就等价于函数与图象的交点（不算切点）的个数. 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号改变变，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）. 所以该函数可能恰有2025个极值点.故选：C 二、填空题 9．（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为__________. 【答案】 【解析】由，则. 10．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】取函数， 则， 所以，满足题意. 所以一个满足条件的函数. 故答案为：（答案不唯一） 11．（24-25高三上·北京·阶段检测）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______. 【答案】 【解析】因为， 所以， 则， 所以该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 12．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为函数在区间上存在增区间， 所以在上有解， 即不等式在上有解， 当，时，由可得，不满足要求， 所以，解得， 所以的取值范围是. 13．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 因为函数在处取得极小值， 所以，即，解得， 又因为，则有，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取极小值，在处取极大值， 令，即， 化为，解得， 令，即， 化为，解得或， 所以函数图像大致如图： 又因为函数在处取得极小值， 若满足定义域为，值域为，则有，. 故答案为： 14．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 三、解答题 15．（25-26高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)单调增区间为和，单调递减区间为 【解析】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【解析】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 （3）因为，所以当时，且，即， 所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． $专题01 一元函数的导数及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01导数的概念 考点02导数的运算 考点03导数与函数的单调性 考点04导数与函数的极值、最值 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01过定点的多切线问题 难点解读02函数的隐零点问题 难点解读03极值点偏移问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01导数综合应用 ▶重点突破・考法深研 重点01含参函数的单调性讨论 重点02单变量不等式恒成立问题 重点03双变量不等式恒成立问题 重点04导数与函数的零点问题 重点05导数构造法解函数不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01导数定义在极限中的应用 技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题 技法点拨03曲线“过”某点的切线问题 技法点拨04两曲线的公切线问题 技法点拨05已知函数的单调性求参数 技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点 技法点拨07已知函数的极值求参数 技法点拨08利用导数研究函数的最值 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错 易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系 易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系 易错点04误解导数正负与函数图象升降关系 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 【新题对点练】（24-25高三上·北京·阶段检测）函数在处的瞬时变化率等于______． 考点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． 【新题对点练】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 考点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 【新题对点练】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 考点04 导数与函数的极值、最值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． 【新题对点练】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 难点解读01 过定点的多切线问题 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解． 【典例1】（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 【典例2】（2025·河北·三模）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________. 难点解读02 函数的隐零点问题 导函数的零点不可求时的应对策略： 1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决． 2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【典例2】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 难点解读03 极值点偏移问题 极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。 证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将两个变量化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式． 【典例1】已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)若有两个实数解，，证明：. 【典例2】（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 素养进阶·答题技法突破 题型01 导数综合应用 考情定位：常为填空和解答题的压轴题，其中解答题分层梯度设问；以指对、分式函数为主要载体，侧重代数推理，弱化极值点偏移、复杂放缩套路；融合单调性、极值最值、零点、不等式证明、参数范围，区分度最高． 核心考法：①含参函数单调性分类讨论、极值与最值分析；②零点个数判定、结合零点存在定理分析参数；③不等式恒成立 / 存在性问题求参数范围；④构造辅助函数证明函数不等． 解题要点：先标明函数定义域；含参讨论优先理清导函数零点大小次序；恒成立问题可参变分离或分类讨论；零点问题结合单调性、极值符号与零点存在定理；证明不等式优先构造差函数，隐零点合理代换；严谨书写逻辑，单调区间禁止使用并集符号． 【典例1】（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【典例2】（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 重点01 含参函数的单调性讨论 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 【典例1】已知函数．讨论的单调区间； 【典例2】已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 重点02 单变量不等式恒成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、，． 【典例1】若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数． (1)若，求的图象过原点的切线方程： (2)若恒成立，求的取值范围． 重点03 双变量不等式恒成立问题 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【典例1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 重点04 导数与函数的零点问题 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【典例1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为_____. 重点05 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造． 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 技法点拨01 导数定义在极限中的应用 瞬时变化率的变形形式 ． 【典例1】（24-25高二下·北京顺义·期中）函数，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数，则________． 技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【典例1】（24-25高三上·北京房山·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（    ） A．1 B． C． D．-1 技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【典例1】（24-25高二下·北京西城·阶段检测）已知函数（是自然对数的底数），则过原点且与曲线相切的直线方程为__________． 【典例2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 技法点拨04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【典例2】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（    ） A． B．1 C． D． 技法点拨05 已知函数单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点． 【典例1】（25-26高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点 利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【典例1】（24-25高三上·北京朝阳·阶段检测）已知函数，且是的极小值点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段检测）如图所示，直线与曲线相切于两点，其中．若当时，，则函数在上的极大值点个数为（    ）    A． B． C． D． 技法点拨07 已知函数的极值求参数 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数： ①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围； ②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围； ③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【典例1】（24-25高二下·北京·阶段检测）若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 【典例2】（24-25高二下·北京·期中）写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为_________. 技法点拨08 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【典例1】（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 【典例2】（24-25高三下·北京·开学考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错 辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写． 【典例1】已知，则______． 【典例2】（25-26高三上·河北·开学考试）设函数的导数为，且，则___________. 易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系 辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号． 【典例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．为的极小值 B．恰有两个极值点 C．为的极大值 D．恰有一个极值点 【典例2】若函数在处可导，下列说法正确的是（    ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为函数的极值时，则有 易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系 辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件． 【典例1】（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是____． 易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系 辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负． 【典例1】如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数为定义在R上的偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为8，则（    ） A．12 B．4 C． D． 4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 5．（24-25高二下·北京·期中）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 6．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（    ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 7．已知函数，下面表述不正确的为（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 8．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （    ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 二、填空题 9．（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为__________. 10．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 11．（24-25高三上·北京·阶段检测）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______. 12．（24-25高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数在区间上存在增区间，则的取值范围是______. 13．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处取得极小值，且，若的定义域为，值域为，则的取值范围是______________. 14．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题 15．（25-26高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． $