13.3.2三角形的外角【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形外角的核心知识点，系统梳理外角定义（一边与另一边延长线夹角，每个顶点两个对顶角外角）及性质（等于不相邻两内角和、大于不相邻内角、与相邻内角互补、外角和360°），前承三角形内角和，后接8字模型等复杂几何问题，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型多样（12类含翻折、三角板、角平分线综合等），结合侧压腿动作抽象几何图形培养数学眼光，通过性质推导与证明题（如角平分线综合题）发展推理意识，分层次练习（基础到中考链接）助力学生用数学语言解决问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

13.3.2三角形的外角 学习目标与重难点 1、理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角（每个顶点处有两个外角，它们是对顶角）。 2、掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3、能利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明，体会“转化”的数学思想（将外角转化为内角）。 教学重点：三角形外角性质的理解和应用（特别是“外角等于不相邻两内角之和”）；利用外角性质解决几何计算题。 教学难点：灵活利用外角性质解决较复杂的几何证明题（如“8字模型”、“飞镖模型”中的角度关系）；区分“相邻内角”与“不相邻内角”，避免在计算中出现错误。 教材核心知识解读 知识点01 三角形的外角 1. 三角形外角的定义： 如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。 知识点02 三角形的外角定理 1. 三角形的外角性质： ①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。 即∠1= ∠2+∠3 。 ②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。 ③三角形的外角与相邻的内角 互补 。 ④三角形的外角和都等于 360° 。 核心题型◆归纳 题型1 三角形的外角定义 题型2 由三角形的外角性质求角的度数 题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型07 利用三角形的外角定理求角度 题型08 比较角度的大小关系 题型09 三角形的外角与直角三角板 题型10 三角形的两条内角平分线 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 题型12 三角形的两条外角平分线 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型1 三角形的外角定义 【典例1】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 【变式1】如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【详解】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 题型2 由三角形的外角性质求角的度数 【典例2】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据三角形的外角性质和已知条件判断即可. 【详解】解：∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为 ∴2×此外角=180° 此外角=90° 故与此外角相邻的内角为：180°－90°=90° 故选：A． 【点睛】此题考查的是三角形外角的性质和直角三角形的判定，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和及直角三角形的定义是解决此题的关键. 【变式2】如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：135． 题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 【典例3】如图，，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 【典例4】如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 【变式4】等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数． 【详解】解：如图： 由题意知：， ∵， ∴，即， ∴． 故选：D． 题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 【例5】某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【变式5】如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与三角板有关的计算以及三角形外角性质，先根据，，得出，结合是的外角，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合 【典例6】如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可求出，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求出；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解的度数即可； 【详解】解：，为 的平分线， ， ， 为 的平分线， , 故结论Ⅰ正确； ， 又 为 的平分线， ， 为 的平分线， ， ， 故结论Ⅱ正确； 故选：C． 【变式6】如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型07 利用三角形的外角定理求角度 【典例7】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵直角三角板， ∴α＝90+60°＝150°， 故选：D． 【变式7】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：由图可得∠1＝30°+45°＝75°， 故选：C． 题型08 比较角度的大小关系 【典例8】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠B+∠A， ∴∠B＜∠ACD． 故选：C． 【变式8】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝∠1+∠ABD，∠3＝∠2+∠CBD，∠ABD＞0°，∠CBD＞0°， ∴∠1＜∠2＜∠3，即∠1，∠2，∠3的大小关系是∠1＜∠2＜∠3， 故选：A． 题型09 三角形的外角与直角三角板 【典例9】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠EAD＝45°， ∴∠FBA＝∠EAD﹣∠FBA＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 【变式9】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵图中是一副三角板叠放， ∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠α是△ACE的外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°． 故选：D． 题型10 三角形的两条内角平分线 【典例10】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ＝180°﹣2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BDC） ∴∠BDC＝90°∠A， ∴∠A＝2（130°﹣90°）＝80°， 故选：D． 【变式10】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBC＝　ABC　 （角平分线定义）． 同理：∠DCB＝　ACB　 ． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 　三角形的内角和等于180°　 ）， ∴∠D＝　180°﹣（∠DBC+∠DCB）　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBCABC（角平分线定义）， 同理：∠DCBACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°）， ∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°A（等式性质）， 即：∠D＝90°∠A， 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 【典例11】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示. ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE． 又∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D， ∴∠A＝2∠D， 又∵∠D＝40°， ∴∠A＝80°． 故选：D． 【变式11】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 　　 ．（用含α的式子表示） 【答案】． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O， ∴， ∵CE为△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴， ∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠ABC+∠1）＝∠1+∠ABC，∠ECD＝180°﹣∠ECB＝180°﹣（180°﹣∠EBC+∠1）＝∠EBC+∠2， ∴； 故答案为：． 题型12 三角形的两条外角平分线 【典例12】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（　　） A．47° B．57° C．67° D．77° 【答案】C 【解答】解：∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠FCA＝∠B+∠BAC， ∴∠DAC+∠FCA＝∠B+∠ACB+∠BAC+∠B＝180°＝46°＝226°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠CAE∠DAC，∠ACE∠ACF， ∴∠CAE+∠ACE（∠DAC+∠ACF）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣113°＝67°． 故选：C． 【变式12】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 【答案】B 【解答】解：∵AP、CP分别是△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线， ∴，， ∵∠P＝70°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣70°＝110°， ∴∠CAF+∠ACE＝2（∠PAC+∠PCA）＝220°， ∵∠FAC+∠BAC＝180°，∠ECA+∠ACB＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°+180°﹣（∠FAC+∠ECA）＝140°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝40°，故B正确． 故选：B． 1．如图，点D在的延长线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的定义.根据三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选C． 2．如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 3．如图，， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据是的一个外角可知，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意可知：是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A 4．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它不相邻的两个内角的度数． 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选:D． 6．如图，图中的等于________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 7．侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 【答案】22 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故答案为：22． 8．如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 【答案】，三角形的内角和等于，， ，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质．根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：在中， ∵（ 三角形的内角和等于）， 又∵（已知）， ∴  ．                            ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）．                      又∵是的外角（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴． 9．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， 故选C． 10．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，由角的和差关系求得，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 11．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 故选：B． 13．如图，，与交于点，，，则______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由三角形外角性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，是的边上一点，，，，则_______°. 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理，直接求出的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：. 15．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则_____________度（用含x、y的代数式表示）． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 16．如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 17．如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 18．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：，， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不存在）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或． 19．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）； （3） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、加减消元法 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 20．【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）设，由角平分线定义得，，， ，由三角形外角定理得，，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，，并交于点，延长，，并交于点，先求出，，再得出，根据（1）得出，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：； （2）和是邻补角， ． 平分，平分， ，， ， 即， ． 由（1），可知， ． （3）如图，延长，，并交于点，延长，，并交于点． ，， ． 由（1），可知， ， ． 链接中考 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，设直线与截线的夹角为 ， 是三角形的外角 ． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 【答案】/100度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2三角形的外角 学习目标与重难点 1、理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角（每个顶点处有两个外角，它们是对顶角）。 2、掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3、能利用三角形外角的性质进行角度的计算和证明，体会“转化”的数学思想（将外角转化为内角）。 教学重点：三角形外角性质的理解和应用（特别是“外角等于不相邻两内角之和”）；利用外角性质解决几何计算题。 教学难点：灵活利用外角性质解决较复杂的几何证明题（如“8字模型”、“飞镖模型”中的角度关系）；区分“相邻内角”与“不相邻内角”，避免在计算中出现错误。 教材核心知识解读 知识点01 三角形的外角 1. 三角形外角的定义： 如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。 知识点02 三角形的外角定理 1. 三角形的外角性质： ①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。 即∠1= ∠2+∠3 。 ②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。 ③三角形的外角与相邻的内角 互补 。 ④三角形的外角和都等于 360° 。 核心题型◆归纳 题型1 三角形的外角定义 题型2 由三角形的外角性质求角的度数 题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合 题型07 利用三角形的外角定理求角度 题型08 比较角度的大小关系 题型09 三角形的外角与直角三角板 题型10 三角形的两条内角平分线 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 题型12 三角形的两条外角平分线 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型1 三角形的外角定义 【典例1】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    题型2 由三角形的外角性质求角的度数 【典例2】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【变式2】如图，在中，，，则外角的度数为 ． 题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 【典例3】如图，，，且．若，求的度数． 【变式3】如图，已知，，，，求的度数． 题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 【典例4】如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【变式4】等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 【典例5】某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5】如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合 【典例6】如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【变式6】如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 题型07 利用三角形的外角定理求角度 【典例7】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式7】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 题型08 比较角度的大小关系 【典例8】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【变式8】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 题型09 三角形的外角与直角三角板 【典例9】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式9】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 题型10 三角形的两条内角平分线 【典例10】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式10】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：∵BD平分∠ABC（已知）， ∴∠DBC＝　 （角平分线定义）． 同理：∠DCB＝　 　 ． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 　 　 ）， ∴∠D＝　 　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． 题型11 三角形的内角平分线与外角平分线 【典例11】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式11】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 　 　 ．（用含α的式子表示） 题型12 三角形的两条外角平分线 【典例12】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（　　） A．47° B．57° C．67° D．77° 【变式12】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（　　） A．42° B．40° C．38° D．35° 1．如图，点D在的延长线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的外角，若，，则等于（       ） A． B． C． D． 3．如图，， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，图中的等于________． 7．侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 8．如图，在中，平分交于点D． ，，求的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：在中， （ ）,        又∵，（已知）， ． 平分（已知）， （角平分线定义）．               是的外角（已知）， + （ ）, ． 9．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 10．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，，与交于点，，，则______． 14．如图，是的边上一点，，，，则_______°. 15．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则_____________度（用含x、y的代数式表示）． 16．如图，已知，，，，求的度数． 17．如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 18．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 19．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 20．【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数． 链接中考 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为______． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $