专题14.2（1） 全等三角形的判定（5种判定方法）（培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形的判定，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，在全等三角形性质基础上构建判定体系，通过12类分层题型（含直接证明、间接应用、性质综合等）搭建学习支架，为后续几何证明奠定基础。 资料以“考点整理-题型归纳-探究学习-课后检测”为逻辑主线，特色在于结合生活实例（如测量池塘距离、三角板摆放）培养数学眼光，通过规范证明步骤强化推理意识，课中助力教师分层教学，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

简一数理 初中专题讲义 专题14.2（1） 全等三角形的判定（5种判定方法） （新教材人教版） 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 25 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 反例：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和． 【题型1 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】如图， 在和中， 、， 添加下列条件中（    ） ， 可利用“”的办法判定 与 全等． A． B． C． D． 【题型2 用SAS间接证明三角形全等（SAS）】 【例2】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【变式2-1】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【变式2-2】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【变式2-3】下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【题型3 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例3】如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型4 用AAS（或ASA）证明三角形全等（AAS或ASA）】 【例4】如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【题型5 全等的性质和AAS（或ASA）综合（AAS或ASA）】 【例5】如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 【变式5-1】如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【变式5-3】如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 【题型6 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例6】如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 【变式6-3】如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【题型7 用SSS间接证明三角形全等（SSS）】 【例7】如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-1】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式7-2】为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 【变式7-3】如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【题型8 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例8】如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A．◇代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．代表 【题型9 用HL证明三角形全等（HL）】 【例9】如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型10 全等的性质和HL综合（HL）】 【例10】如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【变式10-1】如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式10-2】如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型11 添加条件使得三角形全等（全等三角形的判定综合）】 【例11】如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【变式11-2】如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式11-3】如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【题型12 灵活选用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 【例12】下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式12-1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【变式12-2】如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【探究式学习】 1．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 2．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【课后检测】 1．如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 2．如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 12．如图，点是直线上一点，在点的左上方任取一点，连接，用尺规按以下程序作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接； ②以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧； ③以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧，与②中所画的弧交于点（点在点的右边），连接，过点，作直线． 则线段与线段的关系是________． 13．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 14．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 15．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 16．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 17．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 18．证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 19．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等，这两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？说说你的想法和理由． 20．如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【复盘笔记】 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题14.2（1） 全等三角形的判定（5种判定方法） （新教材人教版） 【题型1 用SAS证明三角形全等（SAS）】 3 【题型2 用SAS间接证明三角形全等（SAS）】 5 【题型3 全等的性质和SAS综合（SAS）】 8 【题型4 用AAS（或ASA）证明三角形全等（AAS或ASA）】 10 【题型5 全等的性质和AAS（或ASA）综合（AAS或ASA）】 12 【题型6 用SSS证明三角形全等（SSS）】 16 【题型7 用SSS间接证明三角形全等（SSS）】 19 【题型8 全等的性质和SSS综合（SSS）】 23 【题型9 用HL证明三角形全等（HL）】 26 【题型10 全等的性质和HL综合（HL）】 28 【题型11 添加条件使得三角形全等（全等三角形的判定综合）】 30 【题型12 灵活选用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 34 【探究式学习】 37 【课后检测】 43 【复盘笔记】 56 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 反例：在等腰中，BC边上任取一点D，连接AD，观察和． 【题型1 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 【变式1-2】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 【变式1-3】如图， 在和中， 、， 添加下列条件中（    ） ， 可利用“”的办法判定 与 全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理“”，理解“”的证明方法是解题的关键． 通过已知条件，得到，，而“”定理中的角为两组对应边的夹角，故可判断出正确选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴，结合， 若需要通过“”证明全等， 则需要添加的等量关系为两组对应边的夹角相等， 即， 故选B． 【题型2 用SAS间接证明三角形全等（SAS）】 【例2】在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 【变式2-1】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 【变式2-2】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 【变式2-3】下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 【题型3 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例3】如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 【变式3-1】如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“”证明，从而得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【详解】解：， 即， ， 在和中， ， ， ， 是的一个外角， ． 【变式3-2】如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析条件可知，，根据三角形全等判定条件确定． 【详解】解：根据题意知，， A，，满足，可证全等，不符合题意； B，，则，满足，不符合题意； C，，满足，可证全等，不符合题意； D，，不满足任一判定条件，不能证全等，符合题意． 【变式3-3】如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 【题型4 用AAS（或ASA）证明三角形全等（AAS或ASA）】 【例4】如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 【变式4-1】如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 【变式4-2】如图，太阳光线和是平行的，同一时刻两根木杆、的影子一样长，由全等图形的性质可得两根木杆的高度也相同，则判定的合理依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，且，即可得通过使得． 【详解】解：由题意得 ， ， 又， 在和中 【变式4-3】如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（、、三点共线），过点作，使得点、、在同一直线上，得到，测得的长就是、两点之间的距离，这里判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 【题型5 全等的性质和AAS（或ASA）综合（AAS或ASA）】 【例5】如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】过点作于点，证明出，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分， ， ，， ， 又， ， ， 的面积． 【变式5-1】如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 【变式5-3】如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ∴的周长为． 【题型6 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例6】如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由尺规作图可知， ,且． 在和中 ． ， ∴． 【变式6-1】如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、、），并明确不能作为判定三角形全等的依据是解题的关键． 已知，且公共边，逐一分析各选项添加条件后能否满足全等三角形的判定定理（、、、等），从而判断是否能判定． 【详解】解：在和中，已知，． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵，，， ∴不满足全等三角形的判定定理（不能判定全等）， ∴不能判定． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵， ∴（）． 故选：． 【变式6-2】如图，已知直线及直线外一点C，李明同学现进行如下操作： ①过点C作一条直线与直线相交于点E； ②以E为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，连接； ③以C为圆心，为半径作弧，在点C的上方交于点F； ④以F为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D； ⑤作直线．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，连接，由作图可得，，，证明，得出，再逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， 由作图可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴，故能由上述操作结果得出， ∴，故能由上述操作结果得出； 若，则，故能由上述操作结果得出； 是等边三角形，不能由上述操作结果得出，故符合题意； 故选：C． 【变式6-3】如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 【题型7 用SSS间接证明三角形全等（SSS）】 【例7】如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B． 【变式7-1】如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 【变式7-2】为证明等腰三角形的两底角相等，下面作辅助线的方法中正确的是（    ） A．作边上的中线 B．作的平分线，经过的中点 C．过点作的垂直平分线 D．作的平分线，使得 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，作辅助线的方法等知识点，根据等腰三角形的性质和全等三角形来判断每个选项作辅助线的方法是否能证明等腰三角形两底角相等即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、作边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，这种作辅助线的方法正确，符合题意； B、作的平分线，经过的中点，作角平分线不能同时保证经过的中点，该选项错误，不符合题意； C、过点A作 的垂直平分线，不能同时保证通过点A，该选项错误，不符合题意； D、作的平分线，作角平分线不能同时保证经过，该选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式7-3】如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 【题型8 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例8】如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 【变式8-1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 【变式8-2】如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理及角度比例求出的度数，然后根据作图步骤得出，，进而判定，利用全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：， 设，，， ， ， 解得， ， 由作图步骤可知：，， 在 和中， ， ， ． 【变式8-3】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A．◇代表对应边 B．※代表 C．@代表 D．代表 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出各符号分别表示的对象并判断，即可解题． 【详解】解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的对应角相等）． ，， ． ． 故可得◇代表对应角，※代表，@代表，代表． 【题型9 用HL证明三角形全等（HL）】 【例9】如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式9-1】如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 【变式9-2】如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 【变式9-3】如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 【题型10 全等的性质和HL综合（HL）】 【例10】如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 【变式10-1】如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-3】如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型11 添加条件使得三角形全等（全等三角形的判定综合）】 【例11】如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 【变式11-1】如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 【变式11-2】如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 【变式11-3】如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 【题型12 灵活选用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 【例12】下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、能判定和全等； B、不能判定和全等； C、能判定和全等； D、能判定和全等． 【变式12-1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 【变式12-2】如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 【变式12-3】如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 【探究式学习】 1．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】 （1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 2．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【课后检测】 1．如图所示，，，则图中全等三角形共有（     ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【分析】先利用证出，得出，再利用证出，得出，最后利用证出 ． 【详解】解：在和中 在和中 即 在和中 ∴共有3对全等三角形 ． 2．如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知，且． 选项A中，根据可判定，不符合题意； 选项B中，根据可判定，不符合题意； 选项C中，此时为边边角（），不能判定，符合题意； 选项D中，根据可判定，不符合题意． 3．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 4．如图，，添加下列条件，能用“”判断 的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、添加可利用证明，故此选项不合题意； B、添加可利用证明，故此选项不合题意； C、添加可利用证明，故此选项符合题意； D、添加不能证明，故此选项不合题意． 5．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在中，，D，E分别是，上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H．下列结论正确的有（     ） ①线段是的高；②与的面积相等；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，是的高；②点为的中点，底边在同一直线上，等高且等底，故面积相等；③平分角且，可证三角形全等，得到，代入线段差即可推出；④利用外角性质将得，结合直角三角形两锐角互余，等量代换可证三个角相加等于。 【详解】解：①于点， 线段为△的高， 故结论①不正确，不符合题意； ②点为的中点， ， △的边上的高与△的边上的高相同， 与△面积相等， 故结论②正确，符合题意； ③平分， ， 于点， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； ④， 于点， ， ， 故结论④正确，符合题意； 结论正确的有3个． 7．如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项A符合题意； ∵， ∴， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项B不符合题意； ∵， ∴，即， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项C不符合题意； 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项D不符合题意． 8．如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， A．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； B．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； C．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； D．添加，是，不能证明，故该选项符合题意． 9．如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 10．如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解题关键是通过添加辅助线，利用一线三等角证全等三角形求解．作轴于点C，轴于点D，通过证明求解． 【详解】解：作轴于点C，轴于点D，如图 ∴， ， ∴， 在与中， ， ． 又点的坐标是， ， ∴点的坐标为． 11．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 12．如图，点是直线上一点，在点的左上方任取一点，连接，用尺规按以下程序作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接； ②以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧； ③以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧，与②中所画的弧交于点（点在点的右边），连接，过点，作直线． 则线段与线段的关系是________． 【答案】平行且相等 【分析】由步骤①得：；由步骤②得：；确定，由步骤③得：；再利用全等三角形的判定和性质得出，即可得出结果． 【详解】解：由步骤①得：； 由步骤②得：； ∴， 由步骤③得：； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段的关系是平行且相等． 13．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 14．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题已经给了和（隐藏条件），所以添加即可用来判定． 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． 15．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 16．在中，，，，三点都在直线上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 【答案】(1)①，； ②，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴； (2)或 【分析】（1）①推出，然后证明，即可得到，； ②同①证明，即可得到，，进而求解即可； （2）设运动时间为，根据题意分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ②略 （2）解：设运动时间为， ∵， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴， ∴， 综上所述，或． 17．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 18．证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 19．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等，这两个滑梯的倾斜角与的大小有什么关系？说说你的想法和理由． 【答案】解：，理由如下： 由题意，可得，， ∴， ∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据题意得出，，，进而利用定理得出，继而求解即可． 【详解】略 20．如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 【复盘笔记】 第 2 页 共 57 页 第 1 页 共 57 页 学科网（北京）股份有限公司 $