专题14.2 三角形全等的判定（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题14.2 三角形全等的判定 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握三角形全等的四个基本事实和判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS 掌握直角三角形全等的特殊判定方法：HL 能灵活运用各种判定方法证明三角形全等，并解决相关的线段、角相等问题 了解尺规作图的基本原理，能根据条件作三角形 2.过程与方法 经历"操作—观察—猜想—验证—归纳"的探究过程，体会分类讨论思想 通过对三角形全等条件的探索，培养几何直观和推理能力 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的性质是判定的基础，判定的目的是证明全等，从而得到边、角相等 三角形的三边关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 探究SSS判定时，需要理解三边确定则三角形形状大小唯一确定 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 由ASA可推导出AAS，因为两个角对应相等则第三个角也对应相等 对顶角、公共角、公共边 对顶角相等；公共角、公共边是两个三角形共有的元素 证明全等时，常需要挖掘这些隐含的相等条件 知识点1：三角形全等的判定——边边边（SSS） 1.基本事实 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边边边"或"SSS"）。 2.数学语言表达 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS） 3.应用说明 SSS是三角形全等的第一个基本事实，也是最基础的判定方法 只要三边长度确定，三角形的形状和大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性 证明时要注意对应边的顺序，对应顶点的字母写在对应位置上 知识点2：三角形全等的判定——边角边（SAS） 1.基本事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边角边"或"SAS"）。 2.数学语言表达 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 3.易错警示 "两边及夹角"中的角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角 "边边角（SSA）"不能判定两个三角形全等，这是常见易错点 书写时按照"边—角—边"的顺序排列条件，突出夹角的位置 知识点3：三角形全等的判定——角边角（ASA）与角角边（AAS） 1.角边角（ASA）基本事实 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"角边角"或"ASA"）。 2.角角边（AAS）判定定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 3. ASA与AAS的区别与联系 判定方法 "S"的意义 书写格式 图例 联系 ASA "S"是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，AAS与ASA可互相转化 AAS "S"是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 4.找等角的常用途径 公共角相等 对顶角相等 等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等 同角或等角的余（或补）角相等 由角平分线的定义得出角相等 由垂直的定义得出角相等 由平行线得到同位角或内错角相等 知识点4：直角三角形全等的判定——斜边、直角边（HL） 1.判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 2.数学语言表达 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 3.说明 HL只适用于直角三角形，是直角三角形全等的特殊判定方法 对于直角三角形，既可以用一般三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），也可以用HL 使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形 【基础巩固题型】 【题型1】直接应用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的SSS判定方法；全等三角形的性质；证明的书写规范 2.解题方法技巧 ①条件梳理法：先找出题目中已知的边相等条件，再看是否有公共边 ②对应确定法：根据边的长短或位置，确定两个三角形的对应顶点 ③规范书写法：按照SSS的顺序排列三个条件，用大括号括起，注明判定依据 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为：． 【变式题1-2】.（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 解：， ， 即． 在和中， ， ． 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】略 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型2】直接应用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的SAS判定方法；夹角的识别；全等三角形的性质应用 2.解题方法技巧 ①夹角确认法：确认已知的角是两边的夹角，而非其中一边的对角 ②条件挖掘法：从已知条件中推导边或角相等，如公共角、对顶角等 ③顺序排列法：按照"边—角—边"的顺序书写证明过程，突出夹角位置 【例题2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形中边角边的证明方法即可得到全等的两个直角三角形． 【详解】解：①③两条直角边分别为1与2，满足边角边的证明方法， ②中一条直角边为1，一条斜边为2，不满足边长对应相等， 故全等的两个直角三角形是①③． 【变式题2-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用“”证明即可． 【详解】略 【变式题2-3】.（2026·云南昆明·三模）如图，点E、F在上，，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在与中， ∴． 【分析】先说明、，再利用“边角边”即可证明结论． 【详解】略 【题型3】直接应用ASA或AAS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的ASA判定；三角形全等的AAS判定；两角相等的常用推导方法 2.解题方法技巧 ①条件分析法：先梳理已知的角相等条件，再看是否有夹边或对边相等 ②方法选择法：若边是两角的夹边则用ASA，若边是其中一角的对边则用AAS ③角的推导法：利用平行线、对顶角、公共角、角平分线等推导角相等 【例题3】.（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件，，结合公共角，利用全等三角形判定定理即可判断； 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，再利用得出． 【详解】证明：略． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后利用角角边进行证明全等三角形． 【详解】证明：略． 【题型4】直接应用HL证明直角三角形全等 1.核心知识点 直角三角形全等的HL判定；直角三角形的识别；全等直角三角形的性质应用 2.解题方法技巧 ①直角确认法：先确认两个三角形都是直角三角形，再考虑使用HL判定 ②条件对应法：找出斜边和一条直角边分别对应相等，注意对应关系 ③方法对比法：直角三角形既可用一般判定方法，也可用HL，灵活选择最简方法 【例题4】.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 【答案】 【分析】用数学方法解决生活中有关的实际问题，转化为全等三角形解决问题． 【详解】解：由题可知，,,, , 在和中， , , 【变式题4-2】.（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【题型5】角平分仪中的全等原理 1.核心知识点 三角形全等的SSS判定；角平分线的定义；全等三角形的对应角相等 2.解题方法技巧 ①实物抽象法：将角平分仪的结构抽象为两个三角形，找出对应边 ②原理分析法：用SSS证明三角形全等，再由全等得到对应角相等 ③联系实际法：理解角平分仪的工作原理，体会数学的应用价值 【例题5】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 【变式题5-2】.（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A． 【培优提升题型】 【题型6】添加条件的开放性问题 1.核心知识点 三角形全等的各种判定方法；条件与结论的逻辑关系；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①逆向思考法：从结论出发，思考需要添加什么条件才能用某种判定方法 ②分类讨论法：分别考虑用SSS、SAS、ASA、AAS判定时各需要添加什么条件 ③排除验证法：将每个选项代入原题，验证是否能判定三角形全等 【例题6】.（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 （或或） 【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 又， ∴； 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴， 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴. 【变式题6-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，且，要使，则可以添加的条件是______．（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（或或写一个即可，答案不唯一） 【分析】由则，根据，可得，所以，然后通过全等三角形的判定方法和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 添加，则； 添加，则； 添加，则； 添加， ∴， ∴； 综上可得：可以添加的条件是（或或写一个即可，答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【答案】解：①添加， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ②添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ③添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ④添加为的角平分线， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 为的角平分线， ， 在和中， ， ． 【分析】①添加，利用角角边证明三角形全等；②添加点为中点，利用边角边证明三角形全等；③添加点为中点，利用边边边证明三角形全等；④添加为的角平分线，利用角边角证明三角形全等． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______． 【答案】，见解析（答案不唯一） 【分析】理解题意，结合得，再根据以及全等三角形的判定方法进行添加条件，即可作答． 【详解】解：添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 或当添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 或当添加的条件是，证明过程如下： ， 在与中， ， ． 【题型7】线段和差的全等证明 1.核心知识点 线段的和差运算；三角形全等的SAS或SSS判定；等式的性质 2.解题方法技巧 ①和差转化法：由线段的和或差推出新的相等线段，作为全等的条件 ②等式性质法：利用等式的性质，在等号两边同时加或减同一条线段 ③图形观察法：结合图形分析线段之间的位置关系和数量关系 【例题7】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【答案】与相等，，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【详解】略 【变式题7-1】.（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，C，E在同一直线上，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质 ．由，易证，再根据平行线的性质推出，结合，证明，即可证明． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ∵，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行线的性质得到，根据线段的和差得到，证明，即可证明． 【详解】略． 【压轴素养题型】 【题型8】多次全等证明 1.核心知识点 三角形全等的判定与性质；逻辑推理能力；复杂图形的分析能力 2.解题方法技巧 ①目标倒推法：从要证明的结论出发，逆向分析需要证明哪两个三角形全等 ②条件顺推法：从已知条件出发，先证明第一对三角形全等，得到新的相等条件 ③中间过渡法：第一次全等得到的边或角相等，作为第二次全等的条件 【例题8】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【答案】，理由如下： 平分 ， ． 又 ． ， 又 ， 同理： 又， ． 【分析】先证明，得出，进而证明，再根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 【变式题8-2】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知． (1)请利用直尺、圆规和铅笔按照以下的步骤作出相应的图形，要求保留作图痕迹； 第一步：以点为圆心，以的长为半径作弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在直线的上方相交于点； 第三步：连接，，与相交于点． (2)在（1）的基础上，求证：． 【答案】(1) (2)证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据对应步骤，作图即可； （2）先证明，再证明，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-3】.（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在上截取，连接，证明，得到，则可证明；证明，则可证明，得到；根据，得到，则可证明，得到，即；②过点E作于点T，证明，得到；可证明，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型9】实际测量中的全等建模 1.核心知识点 三角形全等的判定方法；数学建模思想；全等三角形的实际应用 2.解题方法技巧 ①模型建立法：将实际测量问题抽象为三角形全等的数学模型 ②方案设计法：根据全等判定原理，设计合理的测量方案 ③原理解释法：用三角形全等的知识解释测量方案的合理性 【例题9】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 及示意图 ①在教学楼外水平地面上选一点C．测得教学楼顶点A的视线与水平地面夹角，； ②放置一根长为的标杆，使垂直于水平地面，且B，C，D三点共线．测得标杆顶部E的视线与水平地面夹角，． 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ． ， ． ∵， ． ， ， ． 答：教学楼的高度为． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是掌握证明三角形全等． 先利用证明，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵当D，B，P在同一条直线上时，A，B，C在同一条直线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 答：湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）【问题背景】小娜想测量她家门口水塘两个端点的距离（如图1），但又不能下水测量，于是小娜便寻求哥哥的帮助． 【实际操作】小娜实际测量时发现：由于房屋的阻挡，认为不可测量．哥哥提出可以利用我们学过取长补短的方法计算出的长，方法如下：①过点作房屋边线的垂线，垂足为；②在房屋的墙边上找一点，使；③在院子里找一点，使，此时发现；④测量出点到房屋的墙的距离，；⑤测量出点到的距离，即，．经过以上的方法可以计算出的长．小娜画出了图示如图2，请根据哥哥的思路提示，帮助小娜计算出的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，如图，延长至点F，使得，连接， 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，再根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图，延长至点F，使得，连接， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， ． ， ， ， 的长为． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东日照·期末）项目背景，在学习了全等三角形后，综合实践小组的同学围绕“路灯高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 路灯高度的测量与计算 驱动问题 如何测量路灯的高度 活动内容 通过实地操作，运用全等三角形的知识计算路灯的高度 活动过程 操作过程及测量数据 ①．在路灯前选定一点P，使，并测量出． ②．将竖直的竿子在的延长线上左右移动，调整位置使，此时测量．（图中所有点都在同一平面内） 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算路灯的高度， 【答案】路灯的高度是． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定．根据三角形的内角和定理易得，进而得到，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：， ． 在和中， ， ， ． ， ，即． 答：路灯的高度是． 【题型10】构造辅助线证全等 1.核心知识点 三角形全等的判定与性质；辅助线的添加方法；转化思想 2.解题方法技巧 ①截长补短法：证明线段的和差关系时，在长边上截取或延长短边 ②倍长中线法：遇到中线问题时，将中线延长一倍，构造全等三角形 ③角平分线法：遇到角平分线时，向两边作垂线，构造全等直角三角形 【例题10】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【答案】(1) (2)解：（1）中结论不成立，应为，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． (3)6 (4)所有满足条件的的长为或或 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）同（1）思路求解即可； （3）根据求出，则．过点A作，交的延长线于点E，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （4）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到．若以点、、为顶点的三角形与全等，分点B，F均在点C上方，和点B，F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：∵与均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 过点A作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点B，F均在点C上方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． ②若点B，F均在点C下方， ∵， ∴存在或． 若，如图， 则， ∴． 若，如图 则， ∴． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 易错点 1、混淆"边角边（SAS）"与"边边角（SSA）"，误认为SSA能判定全等 2、证明全等时对应顶点字母顺序写错，导致对应边、对应角判断错误 3、使用HL判定时，未先说明两个三角形是直角三角形 4、找错夹角或夹边，把非夹角、非夹边当作夹角、夹边使用 5、忽略图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等 重点 1、三角形全等的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2、根据已知条件灵活选择合适的判定方法证明三角形全等 3、全等三角形的性质与判定的综合应用 难点 1、复杂图形中全等三角形的识别与对应关系的确定 2、添加辅助线构造全等三角形解决问题 3、动点问题中的全等三角形分类讨论 4、多次全等证明的逻辑推理与书写规范 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 三角形全等的判定 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握三角形全等的四个基本事实和判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS 掌握直角三角形全等的特殊判定方法：HL 能灵活运用各种判定方法证明三角形全等，并解决相关的线段、角相等问题 了解尺规作图的基本原理，能根据条件作三角形 2.过程与方法 经历"操作—观察—猜想—验证—归纳"的探究过程，体会分类讨论思想 通过对三角形全等条件的探索，培养几何直观和推理能力 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形的性质是判定的基础，判定的目的是证明全等，从而得到边、角相等 三角形的三边关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 探究SSS判定时，需要理解三边确定则三角形形状大小唯一确定 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 由ASA可推导出AAS，因为两个角对应相等则第三个角也对应相等 对顶角、公共角、公共边 对顶角相等；公共角、公共边是两个三角形共有的元素 证明全等时，常需要挖掘这些隐含的相等条件 知识点1：三角形全等的判定——边边边（SSS） 1.基本事实 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边边边"或"SSS"）。 2.数学语言表达 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS） 3.应用说明 SSS是三角形全等的第一个基本事实，也是最基础的判定方法 只要三边长度确定，三角形的形状和大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性 证明时要注意对应边的顺序，对应顶点的字母写在对应位置上 知识点2：三角形全等的判定——边角边（SAS） 1.基本事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边角边"或"SAS"）。 2.数学语言表达 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 3.易错警示 "两边及夹角"中的角必须是两边的夹角，不能是其中一边的对角 "边边角（SSA）"不能判定两个三角形全等，这是常见易错点 书写时按照"边—角—边"的顺序排列条件，突出夹角的位置 知识点3：三角形全等的判定——角边角（ASA）与角角边（AAS） 1.角边角（ASA）基本事实 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"角边角"或"ASA"）。 2.角角边（AAS）判定定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 3. ASA与AAS的区别与联系 判定方法 "S"的意义 书写格式 图例 联系 ASA "S"是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，AAS与ASA可互相转化 AAS "S"是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 4.找等角的常用途径 公共角相等 对顶角相等 等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等 同角或等角的余（或补）角相等 由角平分线的定义得出角相等 由垂直的定义得出角相等 由平行线得到同位角或内错角相等 知识点4：直角三角形全等的判定——斜边、直角边（HL） 1.判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 2.数学语言表达 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 3.说明 HL只适用于直角三角形，是直角三角形全等的特殊判定方法 对于直角三角形，既可以用一般三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），也可以用HL 使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形 【基础巩固题型】 【题型1】直接应用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的SSS判定方法；全等三角形的性质；证明的书写规范 2.解题方法技巧 ①条件梳理法：先找出题目中已知的边相等条件，再看是否有公共边 ②对应确定法：根据边的长短或位置，确定两个三角形的对应顶点 ③规范书写法：按照SSS的顺序排列三个条件，用大括号括起，注明判定依据 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【变式题1-2】.（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【题型2】直接应用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的SAS判定方法；夹角的识别；全等三角形的性质应用 2.解题方法技巧 ①夹角确认法：确认已知的角是两边的夹角，而非其中一边的对角 ②条件挖掘法：从已知条件中推导边或角相等，如公共角、对顶角等 ③顺序排列法：按照"边—角—边"的顺序书写证明过程，突出夹角位置 【例题2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 【变式题2-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【变式题2-3】.（2026·云南昆明·三模）如图，点E、F在上，，，．求证． 【题型3】直接应用ASA或AAS证明三角形全等 1.核心知识点 三角形全等的ASA判定；三角形全等的AAS判定；两角相等的常用推导方法 2.解题方法技巧 ①条件分析法：先梳理已知的角相等条件，再看是否有夹边或对边相等 ②方法选择法：若边是两角的夹边则用ASA，若边是其中一角的对边则用AAS ③角的推导法：利用平行线、对顶角、公共角、角平分线等推导角相等 【例题3】.（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如下图，已知点C，D都在线段上，，，．试说明：； 【变式题3-3】.（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【题型4】直接应用HL证明直角三角形全等 1.核心知识点 直角三角形全等的HL判定；直角三角形的识别；全等直角三角形的性质应用 2.解题方法技巧 ①直角确认法：先确认两个三角形都是直角三角形，再考虑使用HL判定 ②条件对应法：找出斜边和一条直角边分别对应相等，注意对应关系 ③方法对比法：直角三角形既可用一般判定方法，也可用HL，灵活选择最简方法 【例题4】.（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）你一定玩过跷跷板吧如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点上下转动，立柱与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．根据________判定，所以________． 【变式题4-2】.（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【题型5】角平分仪中的全等原理 1.核心知识点 三角形全等的SSS判定；角平分线的定义；全等三角形的对应角相等 2.解题方法技巧 ①实物抽象法：将角平分仪的结构抽象为两个三角形，找出对应边 ②原理分析法：用SSS证明三角形全等，再由全等得到对应角相等 ③联系实际法：理解角平分仪的工作原理，体会数学的应用价值 【例题5】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【变式题5-2】.（2026·山西运城·三模）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 【培优提升题型】 【题型6】添加条件的开放性问题 1.核心知识点 三角形全等的各种判定方法；条件与结论的逻辑关系；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①逆向思考法：从结论出发，思考需要添加什么条件才能用某种判定方法 ②分类讨论法：分别考虑用SSS、SAS、ASA、AAS判定时各需要添加什么条件 ③排除验证法：将每个选项代入原题，验证是否能判定三角形全等 【例题6】.（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【变式题6-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，且，要使，则可以添加的条件是______．（写出一个你认为正确的即可） 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【变式题6-3】.（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______． 【题型7】线段和差的全等证明 1.核心知识点 线段的和差运算；三角形全等的SAS或SSS判定；等式的性质 2.解题方法技巧 ①和差转化法：由线段的和或差推出新的相等线段，作为全等的条件 ②等式性质法：利用等式的性质，在等号两边同时加或减同一条线段 ③图形观察法：结合图形分析线段之间的位置关系和数量关系 【例题7】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【变式题7-1】.（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点A，C，E在同一直线上，．求证：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 【压轴素养题型】 【题型8】多次全等证明 1.核心知识点 三角形全等的判定与性质；逻辑推理能力；复杂图形的分析能力 2.解题方法技巧 ①目标倒推法：从要证明的结论出发，逆向分析需要证明哪两个三角形全等 ②条件顺推法：从已知条件出发，先证明第一对三角形全等，得到新的相等条件 ③中间过渡法：第一次全等得到的边或角相等，作为第二次全等的条件 【例题8】.（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知． (1)请利用直尺、圆规和铅笔按照以下的步骤作出相应的图形，要求保留作图痕迹； 第一步：以点为圆心，以的长为半径作弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在直线的上方相交于点； 第三步：连接，，与相交于点． (2)在（1）的基础上，求证：． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【题型9】实际测量中的全等建模 1.核心知识点 三角形全等的判定方法；数学建模思想；全等三角形的实际应用 2.解题方法技巧 ①模型建立法：将实际测量问题抽象为三角形全等的数学模型 ②方案设计法：根据全等判定原理，设计合理的测量方案 ③原理解释法：用三角形全等的知识解释测量方案的合理性 【例题9】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 及示意图 ①在教学楼外水平地面上选一点C．测得教学楼顶点A的视线与水平地面夹角，； ②放置一根长为的标杆，使垂直于水平地面，且B，C，D三点共线．测得标杆顶部E的视线与水平地面夹角，． 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，使得在同一条直线上，且，当在同一条直线上时，只需测量的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】求湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）【问题背景】小娜想测量她家门口水塘两个端点的距离（如图1），但又不能下水测量，于是小娜便寻求哥哥的帮助． 【实际操作】小娜实际测量时发现：由于房屋的阻挡，认为不可测量．哥哥提出可以利用我们学过取长补短的方法计算出的长，方法如下：①过点作房屋边线的垂线，垂足为；②在房屋的墙边上找一点，使；③在院子里找一点，使，此时发现；④测量出点到房屋的墙的距离，；⑤测量出点到的距离，即，．经过以上的方法可以计算出的长．小娜画出了图示如图2，请根据哥哥的思路提示，帮助小娜计算出的长． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山东日照·期末）项目背景，在学习了全等三角形后，综合实践小组的同学围绕“路灯高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 路灯高度的测量与计算 驱动问题 如何测量路灯的高度 活动内容 通过实地操作，运用全等三角形的知识计算路灯的高度 活动过程 操作过程及测量数据 ①．在路灯前选定一点P，使，并测量出． ②．将竖直的竿子在的延长线上左右移动，调整位置使，此时测量．（图中所有点都在同一平面内） 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算路灯的高度， 【题型10】构造辅助线证全等 1.核心知识点 三角形全等的判定与性质；辅助线的添加方法；转化思想 2.解题方法技巧 ①截长补短法：证明线段的和差关系时，在长边上截取或延长短边 ②倍长中线法：遇到中线问题时，将中线延长一倍，构造全等三角形 ③角平分线法：遇到角平分线时，向两边作垂线，构造全等直角三角形 【例题10】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·江西九江·期末）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的两个全等结构（如图与图），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． (2)如图，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点在边上，分别作于点，于点．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【转化应用】 (3)如图，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，．求． (4)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图），直接写出所有满足条件的的长度值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 易错点 1、混淆"边角边（SAS）"与"边边角（SSA）"，误认为SSA能判定全等 2、证明全等时对应顶点字母顺序写错，导致对应边、对应角判断错误 3、使用HL判定时，未先说明两个三角形是直角三角形 4、找错夹角或夹边，把非夹角、非夹边当作夹角、夹边使用 5、忽略图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等 重点 1、三角形全等的五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 2、根据已知条件灵活选择合适的判定方法证明三角形全等 3、全等三角形的性质与判定的综合应用 难点 1、复杂图形中全等三角形的识别与对应关系的确定 2、添加辅助线构造全等三角形解决问题 3、动点问题中的全等三角形分类讨论 4、多次全等证明的逻辑推理与书写规范 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $