2026-2027学年人教A版高二数学选择性必修第一册第二章《圆与圆的位置关系》教学设计

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的五种位置关系及判断方法，通过复习直线与圆的位置关系，以问题引导学生回顾判定方法，搭建知识支架，自然过渡到圆与圆位置关系的探究。 本资料亮点在于融合数形结合思想，通过图形直观认知与代数方程联立分析，培养学生数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力），如探究环节对比几何法与代数法优劣，小组合作归纳判断步骤。多元评价体系关注学生动态表现，助力教师优化教学，提升学生分析解决问题能力。

《圆与圆的位置关系》教学设计 一、课题：圆与圆的位置关系 二、第5学时 三、教学内容分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆与圆的位置关系。“圆与圆的位置关系”是继“圆的基本性质”学习的基础上，作为延续和发展，在几何中占有重要的地位。近几年对本章的考察方式以及题目的难度变化不大，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考察最值问题。 针对本章的知识特点，备考时要注意突出重点和细化考点，和其他知识的融会贯通应予以重点关注，例如与基本不等式、函数等知识相结合的最值问题等，同时注重数形结合思想、等价转化等思想方法的应用。本章不仅仅学习数学知识，更要带学生探索两圆在运动中的变化，学会数形结合的思考方法。 四、学情分析 学生在本章学习之前刚刚学习过“直线与圆的位置关系”。并对于圆心距和半径描述位置关系有了初步的认识，同时，高一的学生对于两圆之间的位置关系的经验也有一定的积累，具备一定的自我探究能力。但是，对于两圆运动中的变化情况，以及两圆圆心距，半径的数量关系上的探索依旧存在一定的问题，在考虑问题时，可能存在漏解，分析不全面的情况。 五、教学目标 1.知识与技能：理解圆与圆的五种位置关系。利用两点间的距离公式求两圆的连心线长。会用连心线长判断两圆的位置关系。通过用代数法和几何法分析圆与圆的位置关系，培养学生分析问题、解决问题的能力，并进一步体会数形结合的思想。 2.过程与方法：通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。师生共同探索圆与圆位置关系的变化，培养学生用运动变化的观点来分析和解决问题的能力。 3:情感态度与价值观：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。 六、教学重点、难点 重点：判断圆与圆的位置关系，两圆的圆心距、半径与两圆位置之间的关系。 难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系。 七、评价设计 诊断性评价：课前通过圆的标准方程的掌握情况，了解学生对圆的已有认知，调整课堂导入深度。过程性评价：聚焦学生在“知识生成、能力提升、思维发展”中的动态表现，通过“即时反馈、分层评价、多元互动”实现 “以评促学”，激发学习主动性。表现性评价：通过“任务驱动+成果展示+多维评估”，考查学生对圆的标准方程的深层理解与应用能力。通过多元化评价，全面检测学生对“圆与圆位置关系”的知识掌握、能力表达及情感态度，同时反馈教学效果，优化教学过程，使得学生更加直观感受圆与圆的位置关系突出教学重难点，激励学生对数学的兴趣和爱好，探索新事物的能力。 八、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 复习引入 问题一：前面同学们学习过直线与圆的位置关系，回顾一下，直线与圆的位置关系有几种？如何判断呢？ 问题二：圆与圆的位置关系呢？如何判断呢？ 老师和学生一起回忆直线与圆的位置关系，以及判断方法。 回顾直线与圆之间的位置关系以及直线与圆之间的位置关系，并回忆如何判断。 结合前面所学直线与圆的位置关系，来初步推导圆与圆的位置关系和判定方法 3分钟 探究新知 探究出圆与圆的位置关系 画出五种圆与圆之间的位置关系，启发学生由图形获取判断圆与圆之间的位置关系的直观认知。如何判断圆与圆之间的这五种位置关系。 如何判断圆与圆之间的这五种位置关系。 引导学生利用类比、归纳的方法总结出圆与圆之间的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 探究判断两圆之间位置关系的方法。 思考一下，我们根据已经画出的图形可以直观的看出两圆之间的位置关系，那我们怎么用数学的语言来表示呢？ 代数法：教师引导学生观察图形，找到两圆之间的交点、半径之间的关系。指出交点可以看成是联立两圆方程的根。 从方程的角度来看：由两个圆的方程组成的方程组 方程组有两个解，则两圆相交；方程组有一个解，则两圆相切（内切或外切）；方程组没有解，则两圆外离或内含。 这个方法不容易求解，并且不好判断圆与圆的位置关系，比如没有解时难以判断是外离还是内含。 几何法：引导学生观察两圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置。 ①当时，圆与圆相离； ②当时，圆与圆外切； ③当时，圆与圆相交； ④当时，圆与圆相切； ⑤当时，圆与圆内含。 实际做题中，我们的解题步骤应该是怎么样的呢？ ①计算出两圆的半径； ②计算出两圆心之间的距离； ③根据之间的关系，判断两圆之间的位置关系。 通过图形直观判断两圆之间存在的位置关系，并思考求解位置关系的方法。 运用数形结合的思想，把方程组的根与两圆交点联系起来，从而判断两圆位置关系。思考代数法求解的优缺点。 观察两圆在不同位置下，圆心距与两圆半径之和与半径之差的关系，并进行归纳总结。 结合直线与圆的位置关系的判定，通过解两个圆的方程组成的方程组来体会判断圆的位置关系的数形结合的思想。 通过比较两圆圆心之间的距离和两圆半径之间的关系，判断两圆之间的位置关系。体会几何法的优点。 8分钟 应用举例 设圆：,圆:,使判断圆与圆之间的关系。 让学生在同一个坐标系中画出两个圆，直观判断两圆的位置关系。观察图形并思考，用数学语言给出自己的解题方法。 分析：代数法：圆与圆有几个公共点，由方程组有几个解来确定；方法二：根据两圆心之间的线段长与两半径之和及两半径之差的绝对值进行比较，从而判断两圆的位置关系。 解：代数法：联立方程得 ①—②得 ③ ∴, 把上式代入①，整理后得 ∵根据根的判别式 Δ= ∴方程有两个不相等的实数根，分别代入方程，可得。 ∴圆与圆相交，有两个不相同的公共点A,B。 教师启发学生利用方程，用代数的方法来解决几何问题。学生通过观察思考，发现两圆的交点可以转化为方程组的根。 几何法：把两圆的方程化为标准方程， 圆:=25， 圆:=10， ∴圆的圆心是，半径长=5 圆的圆心是，半径长=， 两圆心之间的距离 =5，=5， ∵5即 ∴圆与圆相交。 学生在老师的引导下，计算两圆心之间的距离并与两半径之和、两半径之差进行比较，判断两圆之间的位置关系。 跟随老师思路，学习两种方法求解圆与圆之间位置关系。规范做题步骤，比较两种方法的优劣。 通过例题将知识点融入题目，巩固知识。用例题更直观地比较两种求解方法，训练学生数形结合的思想。 10分钟 小组交流 学生分小组交流，如何从具体到一般地判断两圆之间的位置关系。判断两种求解方法的优劣，并进行归纳总结。 分组合作，讨论在一般情况下求解问题，判断两种求解方法的优缺点。 在合作中学习，让学生在讨论中完善思路，体会合作学习的重要性。 5分钟 归纳总结 判断圆与圆之间的位置关系有两种方法，代数法与几何法。两方法各有优劣，几何法直观，但是无法求出交点；代数法能求出交点，但Δ＜0时，无法判断两圆是内含还是外离，同样当Δ等于0时,也无法判断两圆是内切还是外切。 5分钟 练习巩固 例2．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1) 相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？ 1、 教师让学生定时训练，并巡视发现学生问题。 2、 请一位学生给出他的解题思路、解题过程。 3、 和同学一起评析答题情况，根据实际情况进行点评。 根据本堂课学习的知识，独立完成课堂练习，分别用两种方法求解。积极回答问题，分享自己的解题思路。老师讲评之后，查缺补漏。 此题让学生独立解答，训练解题能力，考察学生对于知识点的掌握。让教师对于学生的掌握情况有所了解。 4分钟 课堂回顾 本堂课我们学习了圆与圆的位置关系共有五种。分别为外离、相交、外切、内切、内含。并且利用数形结合的思想，学习了两种求解圆与圆位置关系的方法，分别为代数法和几何法。两种方法各有优劣，做题时需要根据实际情况来进行选择。 跟随老师思路回顾本堂课知识点，加深印象。 回顾本节学习过的内容，加深学生对于知识点的理解，让学生掌握判断圆与圆位置关系的两种方法。 4分钟 课后作业 1、教材98页习题。 2、思考两圆相交时，两公共点之间的z如何求解。 课后认真完成练习题和思考题。自主探究学习，在巩固中学习新知识。 布置课后习题，让学生在练习中深化理解，在巩固中学习新知。 1分钟 九、板书设计 圆与圆的位置关系 1.三种位置关系：相交，相切，相离 2.位置关系的判断：1）几何法；2）代数法 3.公共弦的求法 十、作业设计 基础巩固题和能力提升题通过基础巩固题和能力提升题的训练，依托于教材例题，和教材课后习题，提炼教材知识点，并在课后用习题加深对知识点的理解，并鼓励学生结合已有知识推导规律，对思路清晰、结论正确的作业给予表扬，对存在困惑的学生进行针对性讲解。 十一、教学反思和改进 学生在本章学习之前刚刚学习过直线与圆、但是，对于两圆运动中的变化情况，以及两圆圆心距，半径的数量关系上的探索依旧存在一定的问题，在考虑问题时，可能存在漏解，分析不全面的情况。本节课在给学生回顾直线与圆的位置关系后，再引入圆与圆的位置关系比较直接和直观，学生能够更好的接受和吸收新的知识点，五种关系，更需要学生课后巩固，所以布置作业也是回顾的一种形式之一。 改进策略：强化难点针对性教学，设计“找错误”环节，让学生加深对难点的理解；丰富课堂互动形式；融入实际案例，让学生感受知识的实用价值和解决实际问题的能力。 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $