13.3 三角形的内角与外角 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及应用，通过课前检测巩固三角形内角和知识，结合灰太狼拦截懒羊羊的情境问题导入，引导学生从已有认知出发，逐步抽象出外角定义，搭建“旧知—情境—新知”的学习支架。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过内角和推导、平行线证明等方式发展数学思维，设置一题多解和拓展练习提升应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可借助清晰的问题链和分层练习提高教学效率。

13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 素养目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念 重点 2.会利用三角形的外角性质解决问题（重点） 3.三角形的外角的性质及其应用（难点） 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 48 ° 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° 一、课前检测（5分钟） B D C A O ● 40 ° 70 ° 问题：发现懒羊羊独自在O处游玩，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 二、展示交流 ● ● ● ？ 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 所以∠BCD=180°－∠BCA=110° B D C A O ● 40 ° 70 ° ● ● ● ？ 由三角形内角和易得 ∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70° 思考：像∠BCD这样的角我们称作什么角？ 二、展示交流 三角形的外角的概念 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 三角形的外角应具备的条件 ② 角的一边是三角形的一边 ① 角的顶点是三角形的顶点 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 二、展示交流 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？ ∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； ∠BCE是△ABC的一个外角， ∠DCE不是△ABC的一个外角. C B A D E 二、展示交流 A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 二、展示交流 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？ ∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 针对练习 A B C D E F A C B D 三角形的外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互为邻补角 三角形的外角 不相邻的内角 相邻的内角 二、展示交流 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B) 有什么关系？ A C B D ∵∠A+∠B+∠ACB=180° ∠BCD+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 二、展示交流 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠A （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. A C B D E 1 2 二、展示交流 三角形内角和定理的推论 D 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 知识要点 应用格式： ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B A B C 针对练习：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D 80 ° 60 ° 2 1 (1) A B C 2 1 50 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 如图，试比较∠2 、∠1的大小； 如图，试比较∠3 、∠2、∠1的大小. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 图 B A C D 1 2 图 A B C D E 1 2 3 解：∵∠2=∠1+∠B ∴∠2＞∠1 解：∵∠2=∠1+∠B ∠3=∠2+∠D ∴∠3＞∠2＞∠1 二、展示交流 三角形的外角和 例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它 们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3 ∠CBF=∠1+∠3 ∠ACD=∠1+∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180 ° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)=360 ° 二、展示交流 A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法二 如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ∠CBF +∠2=180 ° ② ∠ACD +∠3=180 ° ③ 又知∠1+∠2+∠3=180 ° ①+②+③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540 ° 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 °-180°=360° 二、展示交流 4 过A作AM∥BC， ∴∠3＝∠4 B C 1 2 3 A ∵∠2＝∠BAM ∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360° M ∴∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM， 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 解法三 结论：三角形的外角和等于360°. 二、展示交流 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角 ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 二、展示交流 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°， ∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． A B C P E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角 ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE ∠PEC＝∠ABE＋∠A ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120° ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100° 二、展示交流 例3 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°， 求∠BDC的度数. A B C D ( 51 ° ( 20 ° ( 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. E 解法一 连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3 1 2 3 4 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4 ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2 ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° 三、拓展提高 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 解法二 延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° 解法三 三、拓展提高 解：∵∠1是△FBE的外角 ∴∠1=∠B+ ∠E ∴∠2=∠A+∠D 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º. 例4 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. A B C D E 1 2 F G ∵∠2是△GAD的外角 三、拓展提高 B A C P N M D E F 例5.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 1 2 3 三、拓展提高 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 四、课堂练习 × √ × √ × √ 五、课堂小结 课后作业 1.A组：课本P16练习第1、2题 2.B组： 3.C组： 课本P17复习巩固第5、6、8、11题。 课本P17复习巩固第5、6、8、11题。课本P22复习巩固第4、5题。 $