13.3 三角形的内角与外角- 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形内角与外角，涵盖内角和定理、直角三角形性质与判定、外角性质及角平分线等模型，通过拼角操作与平行线转化证明导入，构建从基础定理到综合应用的递进式学习支架。 其亮点在于以操作探究和多种证明思路培养推理意识，借“飞镖”“五角星”等模型及一题多解发展创新意识，结合零件检测等生活情境题提升应用意识。学生能深化逻辑思维，教师可获得系统教学资源与方法支持。

13.3 三角形的内角与外角 第十三章 三角形 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 知识点 三角形的内角和定理 1 知1－讲 特别解读 1. 三角形的内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系. 2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或一个直角，或者说至少有两个锐角. 3. 三角形中最大的内角不小于60° . 知1－讲 3 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图13.3 -1 ① ②，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 知1－讲 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 图示 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 知1－讲 证明思路 图示 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 知1－讲 特别解读 1. 三角形内角和定理的证明主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再证明这个角或这两个角的和是180°. 2. 为了帮助解答几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有较大价值的直线或线段被称为辅助线. 知1－讲 7 ∠A，∠B，∠C分别是△ABC的三个内角. 例1 知1－练 解题秘方：若已知一个角的度数及另外两个角之间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和是180°”列方程(或方程组)求解. 8 (1)若∠A=40°，∠B=∠C，求∠B的度数； 知1－练 解：∵在△ABC中，∠B= ∠C，∠A+ ∠B+ ∠C=180°， ∴∠B= ∠C= ==70°. 9 (2)若∠A= ∠B= ∠C，求∠A，∠B，∠C的度数； 知1－练 解：∵∠A= ∠B= ∠C，∴∠B=3∠A，∠C=8∠A. 又∵在△ABC中，∠A+ ∠B+ ∠C=180°， ∴∠A+3 ∠A+8 ∠A=180°，解得∠A=15°. ∴∠B=3 ∠A=45°，∠C=8 ∠A=120°. 10 (3)若∠A=60°，∠B-∠C=58°，求∠B的度数. 知1－练 解：∵ 在△ABC中，∠A=60°， ∴∠B+ ∠C=120°. 又∵∠B- ∠C=58°， ∴ 2 ∠B=178°，∴∠B=89°. 11 1-1.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. (1)若∠A=95 °，∠B=40°，求∠C的度数； 知1－练 解：∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-95°-40°=45°. (2)若∠A∶∠B∶∠C=4∶5∶9，求∠C的度数； 知1－练 解：设∠A=4x°,则∠B=5x°,∠C=9x°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴4x+5x+9x=180,解得x=10. ∴∠C=9x°=90°. (3)若∠A=2∠B=6∠C，求∠B的度数. 知1－练 解：设∠C=x°,则∠B=3x°,∠A=6x°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴x+3x+6x=180,解得x=18. ∴∠B=3x°=54°. [母题 教材P12 例1]如图13.3-2，在△ ABC 中，∠ A= 46 °，∠C=74°，BD平分∠ABC交AC于点D，求∠BDC的度数. 知1－练 例2 15 解题秘方：先求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后求出∠BDC的度数. 知1－练 解：∵∠A=46°，∠C=74°， ∴∠ABC=180°- ∠A- ∠C=180°-46°-74°=60°. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°. ∴∠BDC=180°- ∠CBD- ∠C=180°-30°-74°=76°. 16 2-1.如图，在ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，DE∥BC，∠DBE=30°，∠EBC=25°，求∠BDE的度数. 知1－练 解：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC=25°. ∴∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-30°-25°=125°. 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 知识点 直角三角形的性质与判定 2 知2－讲 2. 直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°，即△ABC是直角三角形 知2－讲 特别解读 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，则可结合两个锐角互余求出每个锐角的度数. 知2－讲 如图13.3-3，AB，CD 相交于点O，AC⊥CD 于点C， 若∠ BOD＝35°，则∠ A＝______ . 55° 知2－练 例3 解题秘方：根据直角三角形中两锐角互余求角的度数. 解：∵∠ BOD＝35°，∴∠ AOC＝35°. ∵ AC ⊥ CD，∴∠ ACD＝90°. ∴ ∠ A＝90°－∠ AOC＝90°－35°＝55°. 知2－练 3-1.[中考·德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° B 知2－练 [一题多解]如图13.3-4，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ACD=∠B. 求证：△CDB是直角三角形. 知2－练 例4 解题秘方：要证明一个三角形是直角三角形，可以证明三角形中有两个内角互余，也可以证明有一个内角等于90°. 证明：方法一 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+ ∠DCB=90°. ∵∠ACD= ∠B，∴∠B+ ∠DCB=90°. ∴△CDB是直角三角形. 方法二 ∵∠ACB=90°，∴∠A+ ∠B=90°. 又∵∠ACD= ∠B，∴∠ACD+ ∠A=90°.∴∠ADC=90°. ∴∠CDB=180°- ∠ADC=90°.∴△CDB是直角三角形. 知2－练 4-1. 如图，AB ∥ CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F， ∠ BEF 的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形. 知2－练 证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°. ∵EP平分∠BEF,FP平分∠DFE, ∴∠PEF=12∠BEF,∠PFE=12∠DFE. ∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°.∴△EFP是直角三角形. 知2－练 1. 三角形的外角：如图13.3 -5，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 知识点 三角形的外角 3 知3－讲 特别提醒：如图13.3 -6，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 知3－讲 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图13.3 -5，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 知3－讲 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 °. 如图13.3 -7，∠1＋∠2＋ ∠3＝360 °. 知3－讲 特别提醒 1.三角形的外角和它相邻的内角互为邻补角. 2.三角形的外角在三角形的外部，但是不能错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角. 知3－讲 拓宽视野 1. 性质推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 2. 当三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，这个三角形是直角三角形；当三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时，这个三角形是锐角三角形；当三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，这个三角形是钝角三角形. 知3－讲 [一题多解]如图13.3-8，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于点D，∠B＝35 °，∠DAE＝60°，求∠ACD 的度数. 知3－练 例5 知3－练 思路导引： 解：方法一 ∵ AD 平分∠ CAE，∠ DAE=60°， ∴∠CAE=2 ∠DAE=2×60°=120°. ∴∠BAC=180°- ∠CAE=180°-120°=60°. ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD= ∠BAC+ ∠B=60°+35°=95°. 知3－练 方法二 ∵∠DAE=60°，∠B=35°， ∴∠D= ∠DAE- ∠B=60°-35°=25°. ∵AD平分∠CAE，∴∠CAD= ∠DAE=60°. ∴∠ACD=180°-(∠CAD+ ∠D)=180°-(60°+25°)=95°. 知3－练 方法三 ∵AD平分∠CAE，∠DAE=60°， ∴∠EAC=2 ∠DAE=2×60°=120°. ∵∠EAC是△ABC的一个外角，∴∠EAC= ∠ B+ ∠BCA. ∴∠BCA=120°-35°=85°. ∴∠ACD=180°- ∠BCA=180°-85°=95°. 知3－练 5-1. 如图，在△ ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE ⊥BC于点E，已知∠C=80°，∠B=24°.求∠CAD和∠P的度数. 知3－练 解:由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-24°-80°=76°.∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=12∠BAC=12×76°=38°. ∴∠ADB=∠C+∠CAD=80°+38°=118°. ∵PE⊥BC于点E，∴∠PED=90°. ∴∠ADB=∠P+∠PED=∠P+90°,∴∠P=118°-90°=28°. 知3－练 三角形的内角与外角 三角 形的 内角 与外 角 内角 内角和定理 直角三角形的性质与判定 外角 性质 特殊情形 模型 三 角形内、外角平分线模型 1 在△ABC中，∠A=40°. 例6 解题秘方：利用角的平分线的定义、三角形的内角和定理及三角形外角的性质探究待求角与已知角之间的关系. (1)如图13.3-9①，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数； 解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB. ∴∠BOC=180°-( ∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ ABC+ ∠ACB)=180°- (180°- ∠A)=90°+ ∠A=110°. (2)如图13.3-9②，已知∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACD的平分线交于点O，求∠BOC的度数； 解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点O， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCD= ∠ACD. ∴ ∠ BOC= ∠ OCD- ∠ OBC= (∠ ACD- ∠ ABC)= ∠A=20°. (3)如图13.3-9 ③，已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线交于点O，求∠BOC的度数. 解：∵∠CBD与∠BCE的平分线交于点O， ∴∠CBO= ∠CBD，∠BCO= ∠BCE. ∴ ∠ BOC=180 °- (∠ CBO+ ∠ BCO)=180 °- (∠ CBD+ ∠BCE)=180°-(∠A+180°)=90°- ∠A=70°. 归纳总结 与三角形角平分线有关的结论： (1)由(1)可知，三角形中任意两个内角的平分线相交所成的角(简记为内夹角)等于90°加上第三个角的一半，即∠ B OC =90 °+∠ A ； (2)由(2)可知，三角形中任意一个内角的平分线和与该内角不相邻的一个外角的平分线相交所成的角(简记为内外夹角)等于另外一个不与此外角相邻的内角的一半，即∠ BOC=∠ A； (3)由(3)可知，三角形中任意两个外角的平分线相交所成的角(简记为外夹角)等于90 ° 减去不与这两个外角相邻的内角的一半，即∠ BOC=90°-∠A. 模型 三角形角平分线与高线夹角模型 2 如图13.3-10，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是角平分线.若∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数. 试猜想：若∠B=α，∠C=β(β>α)，则∠EAD 的度数是多少？(用含α，β 的式子表示) 例7 思路导引： 解：∵∠B=50°，∠C=70°， ∴∠ BAC=180°- ∠ B- ∠ C=180°- 50°- 70°=60°. ∵AD是边BC上的高，∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=90°- ∠B=90°- 50°=40°.∵AE是角平分线， ∴∠BAE= ∠BAC= ×60°=30°. ∴∠EAD= ∠BAD- ∠BAE=40°-30°=10°. 猜想：∠EAD= (β-α). 详解 ∵ AD 是边BC 上的高，∴∠ ADB=90°. 又∵∠ B=α，∴∠ BAD=90°-α.易知∠BAC=180 ° -∠B-∠C=180° - α- β，∵AE是角平分线， ∴∠BAE =∠BAC=(180°-α-β)=90°-α-β.∴ ∠ EAD=∠ BAD-∠BAE=90 ° -α- 9 0 ° -α-β =(β-α). 模型 “ 8字”形模型 3 如图13.3-11①，AC与BD相交于点O，连接AB，CD. 例8 解题秘方：利用基本图形法将复杂图形分解成基本图形进行探究. (1)求证：∠A+∠B=∠C+∠D； 证明：∵∠BOC= ∠A+ ∠B，∠BOC= ∠C+ ∠D， ∴∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D. (2)如图13.3-11 ②，AP平分∠ BAC，DP 平分∠ BDC，求证：2 ∠P=∠B+∠C. 解：由(1)的结论可知，∠ 1+ ∠B= ∠ 3+ ∠P， ∠ 4+ ∠C= ∠ 2+ ∠P. ∴∠ 2+ ∠ 3+ ∠P+ ∠P= ∠ 1+ ∠ 4 + ∠B+ ∠C. ∵AP，DP分别平分∠BAC，∠BDC， ∴∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4.∴ 2 ∠P= ∠B+ ∠C. 剖图 图13.3-11 ① 中，∠BOC 既是△ AOB 的外角，又是△ COD 的外角. 图13.3-11 ②可以解剖出两个“8 字”形图形(如图13.3-12 ① ②)，则可得到∠ 1+ ∠ B=∠ 3+ ∠ P，∠ 4+ ∠ C=∠ 2+∠ P. 模型 “ 五角星”形模型 4 [一题多解]如图13.3-13，在五角星中，求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数. 例9 解题秘方：求多个角的和需将这些角转化到一个三角形中. 解: 方法一 ∵∠AGF是△GCE的外角， ∴∠AGF= ∠ACE+ ∠E. 同理∠AFG= ∠B+ ∠ADB. 在△AFG中，∠A+ ∠AFG+ ∠AGF=180°， ∴∠A+ ∠B+ ∠ACE+ ∠ADB+ ∠E=180°. 方法二 如图13.3-13，连接CD， 则∠B+ ∠E= ∠BDC+ ∠ECD. ∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E= ∠A+(∠ECD+∠ ACE )+(∠ ADB+ ∠ BDC )= ∠ A+ ∠ ACD+ ∠ ADC=180°. 解题通法 本题两种解法充分体现了化分散为集中的转化思想，即先运用三角形外角的性质或“8 字”形图形的特征将分散在不同三角形中的几个角集中到同一个三角形中，再利用三角形的内角和定理解决问题. 模型 “ 飞镖”模型 5 [情境题 生活应用]一个零件的形状如图13.3-14所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？ 例10 思路导引： 解：如图13.3-15，延长DC交AB于点M. ∵∠BCD是△BCM的一个外角， ∴∠BCD= ∠B+ ∠BMD. ∵∠BMD是△ADM的一个外角， ∴∠BMD=∠A+∠D.∴∠BCD=∠B+∠A+∠D=20°+90°+ 30°=140°≠ 142°. ∴这个零件不合格． 模型解读：“飞镖”模型 图示 结论 总结 ∠ CDB= ∠ A+∠ B+ ∠ C 通过作辅助线把不规则图形转化为三角形，然后借助三角形的内角和定理或三角形外角的性质解决问题 另解 如图13.3-16，连接AC 并延长. ∵∠ 1 是△ ACD 的一个外角，∠ 2 是△ ACB的一个外角， ∴ ∠ 1= ∠ D+∠ DAC， ∠ 2= ∠ B+∠ BAC. ∴∠BCD=∠1+∠2=∠ D+ ∠ B+ ∠ BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠BAD=30 ° +20 ° +90 ° =140 ° ≠142° . ∴这个零件不合格. 易错点 三角形的形状不确定导致高的位置不确定，忽略分类讨论而出错 1 在△ ABC 中，BD 是AC边上的高，∠ ABD=30 °，则∠BAC的度数是___________. 例9 60°或120° 错解：60° 正解：当∠BAC为锐角时，如图13.3-17 所示. ∵∠ABD=30°，BD⊥AC， ∴∠BAC=90°-30°=60°. 当∠BAC为钝角时， 如图13.3-18 所示. ∵∠ABD=30°，BD⊥AC，∴∠BAC=90°+30°=120°. 综上，∠BAC的度数为60°或120°. 诊误区： △ ABC 的形状不确定，可分∠ BAC 为锐角和∠ BAC 为钝角两种情况，分别画图计算. 考法 利用三角形的内角和定理判断三角形的形状 1 [中考·遂宁]若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是_______三角形. 例12 试题评析：本题考查了三角形的内角和定理和三角形的按角分类，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 直角 解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两个内角的度数分别是2x°，3x°.根据三角形的内角和定理, 得x+2x+3x=180，解得x=30.∴ 3x°=3×30°=90°. ∴这个三角形是直角三角形． 考法 利用平行线的性质与三角形的内角和定理求角的度数 2 [中考·长沙]如图13.3-19，在△ABC中，∠BAC=60 °，∠B=50 °，AD∥BC，则∠ 1 的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 例13 试题评析：本题主要考查平行线的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和定理． 解： ∵ 在△ ABC 中，∠ BAC=60 °，∠B=50°， ∴∠ C=180°- ∠ BAC- ∠ B=70°. ∵AD∥BC，∴∠ 1= ∠C=70°． 答案：C 考法 利用平行线的性质与三角形外角的性质求角的度数 3 [中考·福建]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图13.3-20所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上， ∠BAC= ∠EDF=90 °，∠ B= 45 °，∠ DEF=60 ° . 当AD ∥ BC 时，∠ADE的大小为( ) A.5° B.15° C.25° D.35° 例14 试题评析：本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，根据平行线的性质得到∠DAE的度数，再根据三角形外角的性质进行求解. 解：∵∠BAC=90°, ∠B=45°，∴∠ACB=90°-45°=45°. ∵AD∥BC，∴∠DAE= ∠ACB=45°.∵∠DEF= ∠DAE+ ∠ADE，∴ ∠ ADE= ∠ DEF- ∠ DAE=60 ° -45°=15°. 答案：B 1. [情境题 过程分析型]如下是一道习题，需要填写★，■，①，②处的内容， 已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明：如图，过点C作DE∥AB. ∵DE∥AB(已知)，∴∠B=★，∠A=■(①). ∵∠ 1+∠ 2+∠ACB=180°(②)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 下列说法正确的是( ) A. ★为∠ 2 B. ■为∠ 1 C. ①为内错角相等，两直线平行 D. ②为平角的定义 D 2. 如图，直线m ∥ n，一块含有30 °角的直角三角尺按如图所示的方式放置. 若∠ 1=40°，则∠ 2 的大小为( ) A.70° B.60° C.50° D.40° A 3. [中考· 陕西]如图，点D，E 分别在线段BC，AC 上，连接AD，BE. 若∠ A=35°，∠ B=25°，∠ C=50°，则∠ 1 的大小为( ) A.60° B.70° C.75° D.85° B 4. 在△ABC中，有下列条件： ①∠A+ ∠B= ∠C； ②∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2； ③∠A= ∠B= ∠C； ④∠A=90°- ∠B. 能确定△ABC是直角三角形的有(　　) A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ B 5.[江苏高邮中学教改班招生]如图，把三角形纸片ABC 沿DE折叠，当点A 落在四边形BCDE的内部的A′处时，∠A与∠ 1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.这个数量关系是( ) A. ∠A= ∠ 1+ ∠ 2 B. 2 ∠A= ∠ 1+ ∠ 2 C. 3 ∠A=2(∠ 1+ ∠ 2) D. 4 ∠A=3(∠ 1+ ∠ 2) B 6.[中考· 连云港]如图，直线a ∥ b，直线l ⊥ a，∠ 1=120°，则∠ 2= ______°． 30 7. [新趋势 跨学科]如图，从地面AB上点B处射向平面镜AC上点D的光线经过反射后的光线是DE，根据光的反射原理可知，∠ADB= ∠CDE. 若∠ A=70 °，∠ABD=40°，则∠BDE的度数是__________． 40° 8. [情境题 实物模型]为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图， 图②是其部分结构示意图， 其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=60°，∠BAC=50°， 当∠MAC=______°时，AM∥ BE． 70 9. [新考向 知识情境化]下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变. 为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110 °，则图中∠D应________ (填“增加” 或“减少”) ________ °. 减少 10 10. 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠ A= ∠C.求证：AB⊥CD. 证明：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°. ∴∠C+∠D=90°. 又∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°. ∴∠ABD=90°.∴AB⊥CD. 11. [母题 教材P17 习题T7]如图，有一艘渔船上午九点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶到B处时，测得灯塔C在北偏东15°方向上，求∠C和∠DBC的度数. 解：∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上， ∴∠MAC=60°. ∴∠CAB=90°-∠MAC=90°-60°=30°. ∵在B处测得灯塔C在北偏东15°方向上， ∴∠NBC=15°,∴∠DBC=90°-∠NBC=90°-15°=75°, ∠ABC=90°+∠NBC=90°+15°=105°. ∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-105°=45°. 12.[期中·扬州邗江区]如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在线段AE上取点F，连接DF，使∠ 1= ∠D. (1)求证：DF∥BC； 证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠1. 又∵∠1=∠D，∴∠DCB=∠D.∴DF∥BC. (2)当∠A=36°，∠DFE=34°时，求∠ 2的度数． 解：∵DF∥BC，∠DFE=34°，∴∠B=∠DFE=34°. ∵在△ABC中，∠A=36°，∠B=34°， ∴∠ACB=180°-36°-34°=110°. ∵CD平分∠ACB，∴∠1=12∠ACB=55°. ∴∠2=180°-∠A-∠1=180°-36°-55°=89°. 13. [新视角 新定义题]已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点( A，B，C不与点O重合)，连接AB，AC，AC交射线OE于点D，设∠BAC=α ． (1)如图①，AB∥ON. ①∠ABO的度数是________. ②当∠ BAD= ∠ ABD 时，∠ OAC 的度数是________；当∠BAD= ∠BDA时，∠OAC的度数是________. 20° 120° 60° (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2 倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”. 如图②，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α 的值． 解：①当∠BDC=2∠BFC时，如图①所示. ∵∠MON=40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB=∠BON=20°. ∵AB⊥OM，∴∠BFC=90°-∠MON=50°， ∠ABO=90°-∠AOB=70°. ∴∠BDC=2∠BFC=100°. ∵∠BDC=∠ABO+∠BAC， ∴∠BAC=∠BDC-∠ABO=100°-70°=30°.∴α=30°. ②当点C在点F左边，且∠DBF=2∠DCF时，如图②所示.∵∠MON=40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB=∠BON=20°. ∵AB⊥OM，∴∠BFC=90°-∠MON=50°，∠DBF=90°+∠AOB=110°. ∵∠DBF=2∠DCF，∴∠DCF=12∠DBF=55°. ∵∠BAC+∠AFC+∠ACF=180°，∴∠BAC=180°-∠AFC-∠ACF=180°-50°-55°=75°.∴α=75°. ③当点C在点F右边，且∠DBF=2∠DCF时，如图③所示.∵∠MON=40°，OE平分∠MON，∴∠AOB=∠BON=20°. ∵AB⊥OM，∴∠BFO=90°-∠MON=50°， ∠ABO=90°-∠AOB=70°. ∴∠DBF=∠ABO=70°.∴∠DCF=12∠DBF=35°. ∵∠BFO=∠DCF+∠BAC，∴∠BAC=∠BFO-∠DCF=50°-35°=15°.∴α=15°.综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°． $