25.2 解一元二次方程（1）直接开方法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的直接开方法”，通过“知识链接”回顾平方根求法及方程解等旧知，搭建从平方根意义到解方程的学习支架，引导学生逐步理解形如x²=p（p≥0）的方程解法。 资料以“自主探究—合作交流—当堂检测”为主线，分层设计从x²=p到(ax+b)²=p的方程转化训练，结合实际应用题培养抽象能力和模型意识，学习小结强调“降次”转化思想，助力学生形成推理意识，提升问题解决能力。

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第1课时）——直接开方法 【学习目标】 ① 理解平方根的意义，能用直接开平方法解形如 ＝p （p≥0） 的一元二次方程； ② 掌握把方程化为 ＝p 或 （ax＋b＝p 的形式后用直接开方法求解的思路，体会“降次”的转化思想； ③ 能根据 p 的取值判断方程根的情况，感受分类讨论的思想。 【学习重难点】 重点：用直接开方法解形如 x²＝p（p≥0）的一元二次方程。 难点：将方程化为 x²＝p 或 (ax＋b)²＝p 的形式（移项、系数化为1）；根据 p 的符号判断方程根的情况。 【知识链接】（旧知回顾，直接填空） 1. 求平方：5²＝________；(－5)²＝________；＝________；＝________。 2. 求平方根：25 的平方根为________；3 的平方根为________。 3. 方程的解：方程 ＝25 的解为________；方程 ＝4 的解为________。 （想一想：求一个正数的平方根，与解形如 x²＝p 的方程，有什么联系？） 【自主探究】 ◆ 探究1　从“平方根”到“解方程” （1）25 的平方根是________，方程 ＝25 的解是________。 （2）一般地，若 ＝p （p≥0），则 x＝________（即对两边直接开平方）。 （3）求方程 ＝p （p≥0） 的解，就是求________的平方根。 ◆ 探究2　形如 ＝p 的方程（知识点1） 例1　用直接开方法解方程： （1）＝9，解：x＝________； （2）＝3，解：x＝________； （3）＝，解：x＝________； （4）＝，解：x＝________。 变式1　用直接开方法解方程： （1）＝36，解：x＝________； （2）－20＝0，解：移项，得 x²＝________，开平方，得 x＝________； （3）＝，解：x＝________； （4）＋4＝0，解：移项，得 x²＝________，∵________＜0，∴原方程________。 （思考：当 p＞0、p＝0、p＜0 时，方程 ＝p 的根的情况分别是________、________、________。） ◆ 探究3　形如 a＝p 的方程（知识点2） 例2　用直接开方法解方程： （1）4＝9，解：两边同除以4，得 x²＝________，开平方，得 x＝________； （2）2－8＝0，解：移项，得 2x²＝________，x²＝________，x＝________； （3）＝12，解：x²＝________，x＝________。 变式2　用直接开方法解方程： （1）4＝81，解：x²＝________，x＝________； （2）5－1＝0，解：移项，得 5x²＝________，x²＝________，x＝________； （3）（易错）9＋5＝1，解：∵9x²＝________＜0，∴原方程________。 ◆ 探究4　形如 （ax＋b＝p 的方程（知识点3） 例3　用直接开方法解方程： （1）2（x＋1＝200，解：（x＋1＝________，x＋1＝________，x₁＝________，x₂＝________； （2）（2x－1－64＝0，解：（2x－1＝________，2x－1＝________，x₁＝________，x₂＝________； （3）（x－2＝0，解：开平方，得 x－2＝________，x₁＝x₂＝________。 变式3　用直接开方法解方程： （1）（x＋6－9＝0，解：（x＋6＝________，x＋6＝________，x₁＝________，x₂＝________； （2）3（x－1－6＝0，解：3（x－1＝________，（x－1＝________，x－1＝________，x₁＝________，x₂＝________。 【合作交流】（请完整写出解题过程，完成后对照文末参考答案） 例1　解方程 2（x＋1＝200： 解：________________ ________________ 例2　解方程 （x－4＝（5－2x： 解：________________ ________________ 【当堂检测】 1.（选择题）若方程 （x－1＝a 有实数解，则 a 的取值范围是（　） A．a≤0　　B．a≥0　　C．a＞0　　D．a＜0 2.（填空题）已知 1 是一元二次方程 ＋p＝0 的一个根，则该方程的另一个根是________。 3. 解下列方程： （1）（2x－1－8＝0； （2）（x－4＝（5－2x。 解：（1）________　（2）________ 4.（填空题）若 （＋－3＝16，则 ＋＝________。（提示：把 ＋ 看作一个整体） 5.（应用题）一桶油漆可刷的面积为 1 500 dm²，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 　 　 【学习小结】（补全下面的填空） 1. 解一元二次方程的基本思路：通过________（填“降次”或“升次”），把一元二次方程转化为________方程来解。 2. 用直接开方法解方程，要先把它化为 ＝p 或 （ax＋b＝p 的形式，再开平方求解： （1）当 p＞0 时，方程 ＝p 有两个________的实数根：x₁＝________，x₂＝________； （2）当 p＝0 时，方程有两个________的实数根：x₁＝x₂＝________； （3）当 p________0 时，因为对任意实数 x，都有 x²≥0，所以方程无实数根。 3. 用直接开方法前常用的变形有________、________（如移项、系数化为1）；解题时要先判断________的符号。 【拓展延伸】 思考：解方程 （x＋2＝（3x－1 时，能否两边直接开平方？开平方后如何转化为一元一次方程求解？试试看。 　 　 【参考答案与解析】 【知识链接】 1. 25，25，，；　2. ±5，±；　3. x＝±5，x＝±2。 【自主探究】 探究1：（1）±5，x＝±5；　（2）x＝±；　（3）p（即 x²＝p 中的 p）。 探究2·例1：（1）x＝±3；（2）x＝±；（3）x＝±；（4）x＝±。 变式1：（1）x＝±6；（2）x²＝20，x＝±2；（3）x＝±；（4）x²＝－4，－4＜0，无实数根。 思考：两个不相等的实数根；两个相等的实数根；无实数根。 探究3·例2：（1）x²＝，x＝±；（2）2x²＝8，x²＝4，x＝±2；（3）x²＝18，x＝±3。 变式2：（1）x²＝，x＝±；（2）5x²＝1，x²＝，x＝±；（3）9x²＝－4＜0，无实数根。 探究4·例3：（1）（x＋1＝100，x＋1＝±10，x₁＝9，x₂＝－11；（2）（2x－1＝64，2x－1＝±8，x₁＝，x₂＝－；（3）x－2＝0，x₁＝x₂＝2。 变式3：（1）（x＋6＝9，x＋6＝±3，x₁＝－3，x₂＝－9；（2）3（x－1＝6，（x－1＝2，x－1＝±，x₁＝1＋，x₂＝1－。 【合作交流】 例1　2（x＋1＝200，（x＋1＝100，x＋1＝±10，∴x₁＝9，x₂＝－11。 例2　（x－4＝（5－2x，两边开平方，得 x－4＝±(5－2x)，即 x－4＝5－2x 或 x－4＝－5＋2x，解得 x₁＝3，x₂＝1。 【当堂检测】 1. B（因为对任意实数 x，都有 （x－1≥0，要使方程有实数解，须 a≥0。） 2. 另一个根是 －1（把 x＝1 代入，得 1＋p＝0，p＝－1，方程为 x²－1＝0，解得 x＝±1。） 3.（1）（2x－1＝16，2x－1＝±4，x₁＝，x₂＝－； 　（2）x－4＝±(5－2x)，即 x－4＝5－2x 或 x－4＝－5＋2x，x₁＝3，x₂＝1。 4. 7（设 ＋＝t，则 （t－3＝16，t－3＝±4，t＝7 或 t＝－1。∵＋≥0，故舍去 －1，t＝7。） 5. 设其中一个盒子的棱长是 x dm。根据题意，得 10×6x²＝1 500，即 60x²＝1 500，x²＝25，解得 x＝±5。∵x＞0，∴x＝5。答：盒子的棱长是 5 dm。 【学习小结】 1. 降次，一元一次；　2.（1）不相等，x₁＝－，x₂＝；（2）相等，0；（3）＜；　3. 移项、系数化为1，p。 【拓展延伸】 能。两边直接开平方，得 x＋2＝±(3x－1)，即 x＋2＝3x－1 或 x＋2＝－3x＋1，解得 x₁＝，x₂＝－。当方程两边都是完全平方式时，可直接开平方，转化为两个一元一次方程。 学科网（北京）股份有限公司 $