25.3实际问题与一元二次方程（第3课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第3课时）（导学案） 一、学习目标 1.能正确列出关于循环赛问题的一元二次方程。 2.进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决循环赛问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 2.要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,组织者应该邀请多少支球队参赛？ 分析 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x−1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行 场， 所以可列得方程 ， 整理并化简，得 . 解方程，得 . 因此，比赛组织者应邀请 支球队参赛. （二）合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析 双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 . 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 . 解方程，得 . 归纳总结 n支球队进行单循环比赛，比赛总场数为 . n支球队进行双循环比赛，比赛总场数为 . （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2026湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A．n(n−1)=136 B．n(n−1)=136 C．n(n+1)=136 D．n(n+1)=136 中考演练（2026四川凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A．x(x−1)=72 B．x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x+1)=72 中考模拟（2024广东）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A．2x(x+1)=79800 B．2x(x−1)=79800 C．x(x−1)=79800 D．x(x+1)=79800 （四）巩固练习 1.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人? 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明理由. 3. 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有x人，根据题意列方程并化为一般形式： ． 4. 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有 人． （五）当堂检测 1.若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点A，B，C，则可以确定 条线段， 条射线； (2)若平面上有四个点A，B，C，D，则可以确定 条线段， 条直线； 2.某项科技取得突破，将两两互通的信息连接转化为借助中转进行信息连接，节省了连接的通道．例如有五个用户，按图1两两连接时需建立10个通道，而按图2借助中转点O连接时，只需5个通道（通道指的是图中的线段）． (1)若有6个用户，则两两连接比中转连接多用 条通道； (2)若某网络空间有若干个用户采用中转点连接比两两连接少了135个通道，求该空间的用户数． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第3题. B组题：习题25.3：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第3课时）（导学案） 一、学习目标 1.能正确列出关于循环赛问题的一元二次方程。 2.进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决循环赛问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 2.要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,组织者应该邀请多少支球队参赛？ 分析 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x−1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行 x(x−1) 场， 所以可列得方程 x(x−1)=28 ， 整理并化简，得 x2−x−56=0 . 解方程，得 x1=8，x2=−7(不合题意，舍去) . 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. （二）合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析 双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 n(n−1) . 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 n(n−1)=300 . 解方程，得 n= . 解释1 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 解释2 由总场数为n(n−1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，…，240，272，306，…. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 归纳总结 n支球队进行单循环比赛，比赛总场数为 n(n−1) . n支球队进行双循环比赛，比赛总场数为 n(n−1) . （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2026湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（  A   ） A．n(n−1)=136 B．n(n−1)=136 C．n(n+1)=136 D．n(n+1)=136 中考演练（2026四川凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（  B   ） A．x(x−1)=72 B．x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x+1)=72 中考模拟（2024广东）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（   C  ） A．2x(x+1)=79800 B．2x(x−1)=79800 C．x(x−1)=79800 D．x(x+1)=79800 （四）巩固练习 1.n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人? 解：根据题意列方程，得 n(n−1)=10， 解得 n1=−4（舍去），n2=5. 答：共有5人. 2.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在，它是几边形?如果不存在，说明理由. 解：设n边形共有20条对角线，根据题意列方程，得 n(n−3)=20， 解得 n1=−5（舍去），n2=8. 所以八边形共有20条对角线. 设m边形共有18条对角线，根据题意列方程，得 m(m−3)=18， 解得 m=（结果不是整数，舍去）. 所以不存在有18条对角线的多边形. 3. 某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有x人，根据题意列方程并化为一般形式：_x2−x−90=0_． 4. 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有 9 人． （五）当堂检测 1.若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题： (1)若直线l上有三个点A，B，C，则可以确定__3__条线段，__6__条射线； (2)若平面上有四个点A，B，C，D，则可以确定 6 条线段， 1或4或6 条直线； 2.某项科技取得突破，将两两互通的信息连接转化为借助中转进行信息连接，节省了连接的通道．例如有五个用户，按图1两两连接时需建立10个通道，而按图2借助中转点O连接时，只需5个通道（通道指的是图中的线段）． (1)若有6个用户，则两两连接比中转连接多用 9 条通道； (2)若某网络空间有若干个用户采用中转点连接比两两连接少了135个通道，求该空间的用户数． 解：设该空间的用户数为x人， 则两两连接时需建立的通道数为+x，中转连接时需建立的通道数为x， 可列方程，+x−x=135， 整理得：x2−3x−270=0，即(x−18)(x+15)=0， 解得：x1=18，x2=−15（舍去）， 答：该空间的用户数为18人． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第3题. B组题：习题25.3：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $