25.2 降次——解一元二次方程学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的降次解法，涵盖配方法、公式法、因式分解法及降次转化思想。课堂导入通过联系一元一次方程转化经验，以“已会解的方程”设问连接旧知，结合平方根、完全平方公式等预习知识链接搭建学习支架。 以探究过程为主线，通过实例推导和步骤归纳培养运算能力与推理意识，分层作业设计助力方法选择优化，结合实际问题（如物体上抛）发展模型意识与应用意识，提升学生解决问题的能力和数学思维品质。

学案 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1. 经历将一元二次方程"降次"为一元一次方程的探究过程，理解配方法、公式法、因式分解法的基本原理，发展运算能力与推理意识。 2. 掌握配方法的一般步骤，能用配方法解数字系数的一元二次方程；理解求根公式的推导过程，掌握根的判别式 ，能用公式法解一元二次方程。 3. 掌握因式分解法解一元二次方程的条件与步骤，能根据方程特征灵活选择适当的解法，体会"降次"转化思想和方法选择的最优化。 学习重点：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的原理与步骤；求根公式及根的判别式的应用。 学习难点：配方法中"配方"的技巧（常数项的确定）；求根公式的推导；根据方程特征灵活选择解法。 ► 预习自测 一、知识链接 1. 平方根的意义：如果 x² = p（p≥0），那么 x = ±√p。 2. 完全平方公式：；。 3. 因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。 4. 若 ab=0，则 或 （两个因式的积为0，则至少有一个因式为0）。 自学自测 1. 方程 的根是______。 2. 方程 的根是______。 3. 将 配成完全平方式，需要加上的常数是______，配成 。 4. 一元二次方程 的求根公式是____________，根的判别式 Δ=______。 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为"x=m"的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要"降次"，即把二次方程转化为一次方程。本节我们研究如何通过"降次"解一元二次方程。 【思考】我们已经会解什么样的一元二次方程？（提示：形如 x²=p 或 (x+n)²=p 的方程） 二、合作交流、新知探究 探究一：配方法 1. 直接开平方法（降次的基本途径） 先看简单方程 ：根据平方根的意义，得 ，即 。 一般地，对于方程 ： （1）当 p>0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x₁=x₂=0； （3）当 p<0 时，方程无实数根。 【探究】怎样解方程 (x+3)²=5？ 由 ，根据平方根的意义降次，得 ， 即 或 。 所以方程的两个根为 ，。 实质：根据平方根的意义，把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程。 2. 配方法 【探究】怎样解方程 x²+6x+4=0？ 关键：将方程左边转化为完全平方式。 移项，得 。 两边同加，即 9，得 。 左边写成完全平方式，得 。 以下用直接开平方法求解（同上）。 【定义】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 【例1】用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）。 解：（1）移项，得 x²-8x=-1。 配方，得 ，即 。 由此可得 ，所以 ，。 （2）移项，得 2x²-3x=-1。 二次项系数化为1，得 x² - (3/2)x = -1/2。 配方，得 ， 即 。 由此可得 ，所以 x₁=1，x₂=1/2。 （3）移项，得 3x²-6x=-4。 二次项系数化为1，得 x²-2x=-4/3。 配方，得 。 因为实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根。 【配方法步骤归纳】 ① 移项：将常数项移到方程右边； ② 化1：二次项系数不为1时，两边同除以二次项系数； ③ 配方：两边同加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式； ④ 开方：若右边非负，用直接开平方法降次求解；若右边为负，方程无实数根。 探究二：公式法 1. 求根公式的推导 任何一元二次方程都可化为一般形式 ，能否用配方法得出它的解？ 移项，得 。 二次项系数化为1，得 x² + (b/a)x = -c/a。 配方，得 。 ① 因为 a≠0，所以 4a²>0。式子 的值有三种情况： （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 时，方程无实数根。 2. 根的判别式与求根公式 式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 "Δ" 表示，即 。 当 Δ≥0 时，方程 的实数根可写为： 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 【例2】用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）a=1，b=-4，c=-7。 Δ = ，方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式：。 所以 ，。 （2）a=2，b=-2√2，c=1。 Δ = ，方程有两个相等的实数根。 x₁=x₂ = 。 （3）方程化为 5x²-4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1。 Δ = ，方程有两个不相等的实数根。 x = ，所以 x₁=1，x₂=-1/5。 （4）方程化为 x²-8x+17=0，a=1，b=-8，c=17。 Δ = ，方程无实数根。 【公式法步骤归纳】 ① 化为一般形式 ax²+bx+c=0，确定 a、b、c 的值（注意符号）； ② 计算判别式 Δ=b²-4ac； ③ 若 Δ≥0，代入求根公式求解；若 Δ<0，方程无实数根。 探究三：因式分解法 【问题】把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，物体经过 x s 后的离地高度约为 10x-5x²。物体经过多少秒落回地面？ 设物体经过 x s 落回地面，此时高度为0，即 。 将左边分解因式，得 。 根据"若 ab=0，则 a=0 或 b=0"，得 x=0 或 10-5x=0。 所以方程的两个根是 x₁=0，x₂=2。 （x₁=0 表示抛出时刻，x₂=2 表示落回地面时刻） 【定义】先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 【例3】用因式分解法解下列方程： （1）； （2）。 解：（1）左边分解因式，得 (x-2)(x+1)=0。 于是 x-2=0 或 x+1=0，所以 x₁=2，x₂=-1。 （2）移项、合并同类项，得 4x²-1=0。 左边分解因式（平方差），得 (2x+1)(2x-1)=0。 于是 2x+1=0 或 2x-1=0，所以 x₁=-1/2，x₂=1/2。 【因式分解法步骤归纳】 ① 移项：将方程右边化为0； ② 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 探究四：三种解法的比较与选择 【思考】配方法、公式法、因式分解法各有什么特点？如何选择？ • 配方法：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础，但步骤较多； • 公式法：适用于所有一元二次方程，直接代入公式，是最通用的方法； • 因式分解法：仅适用于左边易于分解因式的方程（如缺常数项、平方差、完全平方等），步骤简便快捷。 解一元二次方程的基本思路：先将二次方程降次为两个一次方程，再分别求解。优先选择简便方法（因式分解法），不具备分解条件时用公式法。 三、课堂练习、巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）。 2. 用配方法解下列方程： （1）； （2）。 3. 用公式法解下列方程： （1）； （2）。 4. 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）。 【知识技能类作业】选做题： 1. 关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。 2. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）。 3. 已知关于 x 的方程 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根。 【综合拓展类作业】 1. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4。求小圆形场地的半径。 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1. 降次思想：解一元二次方程的核心是"降次"——将二次方程转化为一次方程。三种方法（配方法、公式法、因式分解法）都是降次的具体途径。 2. 配方法：步骤为移项→化1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方。关键是正确配方，即 配成 。 3. 公式法：求根公式为 ；判别式 ，Δ>0 两不等实根，Δ=0 两相等实根，Δ<0 无实根。 4. 因式分解法：依据"若 ab=0，则 a=0 或 b=0"，将方程左边分解为两个一次因式乘积，右边为0，再分别令因式为0。适用于易于分解的方程。 5. 方法选择：优先因式分解法（简便），其次公式法（通用），配方法多用于推导和特定需求。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】必做题： 1. 用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）。 2. 用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）。 3. 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）。 4. 不解方程，判别方程 的根的情况。 【知识技能类作业】选做题 1. 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 2. 已知 x=1 是方程 的一个根，求 b 的值及方程的另一个根。 3. 选择适当方法解方程：(x-2)²=(2x+3)²。 【综合拓展类作业】 1. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg。设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）若月销售利润为8000元，销售单价应定为多少元？（列出方程并求解） 答案 自学自测： 1. x₁=3，x₂=-3 2. x₁=3，x₂=-1 3. 9；3 4. ； 【课堂练习】 【知识技能类作业】必做题 1.（1）x₁=3，x₂=-3；（2）x₁=-3，x₂=-9 2.（1）；（2），（即 x=-1±√21/3） 3.（1）x₁=2，x₂=-3；（2）Δ=-12<0，无实数根 4.（1）x₁=0，x₂=-1；（2）x₁=9/2，x₂=-9/2 【知识技能类作业】选做题 1. m>1/4 且 m≠1 2.（1）x₁=1/2，x₂=-3；（2）x₁=1，x₂=3 3. m=1，方程为 ，x₁=x₂=1 【综合拓展类作业】 1. 设小圆半径为r m，π(r+5)² : πr² = 9:4，即 (r+5)²/r² = 9/4，解得 r=10（r=-2舍去）。小圆半径为10 m。 【作业布置】 【知识技能类作业】必做题 1.（1），；（2）；（3）x₁=x₂=-1 2.（1）；（2）x₁=0，x₂=3/2；（3） 3.（1）x₁=0，x₂=2√3；（2）x₁=x₂=1；（3）x₁=-1/2，x₂=2/3 4. Δ=9+32=41>0，有两个不相等的实数根 【知识技能类作业】选做题 1. k<2 且 k≠0 2. b=1，另一个根为 x=-2 3. x₁=-1/3，x₂=-5 【综合拓展类作业】 1.（1）y=(x-40)[500-10(x-50)] = -10x²+1400x-40000 （2）令 y=8000，得 ，即 ，解得 x₁=60，x₂=80。销售单价应定为60元或80元。 2 学科网（北京）股份有限公司 $