2.4 单摆（知识解读）-2026-2027学年高二物理上学期同步知识点解读与专题训练（人教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦高中物理单摆核心知识点，从单摆的理想化模型定义及装置要求入手，系统阐述回复力的来源与推导，通过实验探究周期与摆长关系，最终落脚于周期公式的理解与应用，构建完整知识支架。 资料以模型建构为核心，通过弹簧振子与单摆对比表格培养科学思维，实验环节含误差分析与图像法处理数据提升科学探究能力，典例结合振动图像分析速度、拉力变化强化物理观念。课中辅助教师实验教学，课后通过变式题与检测帮助学生查漏补缺。

2.4单摆（知识解读）（解析版） •知识点1 单摆 •知识点2 单摆的回复力 •知识点3 探究单摆的周期与摆长的关系 •知识点4 单摆的周期 •作业 随堂检测 知识点1 单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 2、对单摆的装置要求 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 3、单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小； （2）空气阻力可以忽略不计。 4、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略。 5、弹簧振子与单摆 弹簧振子（水平） 单摆 模型示意图 条件 忽略弹簧质量、无摩擦等阻力 细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力 周期公式 T=2π（不作要求） T=2π 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能 守恒 【典例1】一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】D 【详解】AC．由题图可知，在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，悬线的拉力最小，故AC错误； BD．在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线的拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。 故选D。 【变式1-1】如图所示，小球通过轻质细线悬挂于O点。将小球向左拉至A点由静止释放。B为小球摆动的最低点，C点和A点在同一水平线上。忽略空气阻力，则小球（　　） A．从A运动到C的过程，所受重力的冲量为零 B．从A运动到C的过程，所受细线拉力的冲量为零 C．从A到B和从B到C的过程，所受重力冲量相等 D．从A到B和从B到C的过程，所受细线拉力冲量相等 【答案】C 【详解】A．重力是恒力，方向竖直向下。小球从A到C经历了一段时间，重力冲量，故A错误； B．小球在A、C两点速度均为零，从A到C的动量变化为零。根据动量定理，合外力的冲量为零，即重力冲量与拉力冲量等大反向。重力冲量不为零，因此拉力冲量也不为零，故B错误； C．A和C等高，单摆摆角相同，故从A到B与从B到C的时间相等，均为四分之一周期。重力是恒力，冲量，两段时间相等，重力冲量大小相等、方向相同（竖直向下），因此相等，故C正确； D．细线拉力是变力，大小和方向均变化。从A到B与从B到C的过程对称，拉力冲量的大小相等，但方向不同，A到B的冲量方向偏左，B到C的冲量方向偏右，矢量不相等，故D错误。 故选C。 【变式1-2】（多选）关于单摆的摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力作用 B．摆球的回复力为0时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线的拉力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 【答案】AB 【详解】A. 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确； B. 在平衡位置处，回复力为0，速度最大，向心力最大，故B正确； C. 重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为0，向心力为0，则拉力小于重力，故C错误； D.在平衡位置处，回复力为0，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误。 故选AB。 【变式1-3】（多选）下列有关单摆的说法正确的是（　　） A．在做单摆实验时，要尽可能选择质量小、体积大的球 B．同一个单摆在赤道和两极的周期不相同 C．单摆的周期与摆球质量和振幅无关 D．摆角很大时，单摆也可以看成做简谐运动 【答案】BC 【详解】A．在做单摆实验时，为了减小空气阻力的影响，要尽可能选择质量大、体积小的球，故A错误； BC．根据单摆周期公式，由于赤道和两极的重力加速度不同，所以同一单摆的周期不同；单摆的周期与摆球质量和振幅无关，故BC正确； D．当摆线小于时，单摆可以看成做简谐运动；摆角很大时，就不满足简谐运动规律，故D错误。 故选BC。 知识点2 单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 摆角θ 正弦值 弧度值 1° 0.01754 0.01745 2° 0.03490 0.03491 3° 0.05234 0.05236 4° 0.06976 0.06981 5° 0.08716 0.08727 6° 0.10453 0.10472 7° 0.12187 0.12217 8° 0.13917 0.13963 注意： （1）单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。 （2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力。 （3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零。 【典例2】关于简谐运动的回复力的说法错误的是（     ） A．单摆的回复力就是小球所受的合外力 B．单摆的回复力是重力在运动方向的分力 C．放在光滑水平面上的弹簧振子回复力由弹簧弹力提供 D．弹簧振子经过平衡位置时回复力为零 【答案】A 【详解】简谐运动的回复力是使物体回到平衡位置的效果力，方向指向平衡位置。 A．单摆做小角度简谐运动时，合外力沿径向的分力提供圆周运动的向心力，仅沿切向（运动方向）的分力提供回复力，因此回复力不等于小球所受的合外力，故A错误； B．单摆做小角度简谐运动时，其重力沿切向（运动方向）的分力提供回复力，故B正确； C．光滑水平面上的弹簧振子，竖直方向重力与支持力平衡，水平方向仅受弹簧弹力，该弹力充当回复力，故C正确； D．弹簧振子经过平衡位置时弹簧形变量，由回复力公式可知，此时回复力为零，故D正确。 本题选错误的，故选A。 【变式2-1】如图甲所示，单摆固定悬点为，将摆球拉至点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的、之间来回摆动，摆角，点为运动中的最低位置。从点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 C．点处于摆球运动的平衡位置，回复力最大 D．在的时间内，摆球从点向点运动 【答案】A 【详解】A．由图乙可知周期，由，代入得，故A正确； B．回复力是重力的切向分力，故B错误； C．平衡位置回复力为零，故C错误； D．内位移从零向正方向最大变化，对应从向运动，故D错误。 故选A。 【变式2-2】（多选）如图（a），一单摆悬挂在O点，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。通过固定在O点力传感器得到细线上拉力大小F随时间t变化的图像如图（b）所示，重力加速度g。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．摆球的质量为 C．～时间内摆球的速度先增加后减小 D．摆球经过B点时的加速度为零 【答案】AC 【详解】A．由乙图可知，单摆每个周期经过两次最低点，即每个周期细线的拉力出现两次最大值，则单摆的周期为，故A正确； B．由图像可知弹力最小值为，此时摆球位于A或C处，由受力分析可知此时 所以 故B错误； CD．～时间内，摆球由A到C，或者由C到A运动一次，速度先增加后减小，经过B点时速度最大，回复力为零，但摆球做圆周运动，向心力不为零，故实际的加速度不为零，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式2-3】（多选）如图所示单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球在A点和C点处，速度为零，故细线拉力为零，但回复力不为零 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，但回复力减小 C．摆球在B点处，重力势能最小，合力为零 D．摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大 【答案】BD 【详解】假设摆动过程中，细线与竖直方向夹角为，重力沿细线方向分力为，垂直于细线方向分力为。 A．摆球在A点和C点处，速度为零，沿细线方向的合力为零，有 即细线的拉力与重力沿细线方向分力等大，不为零，回复力与重力沿切向方向的分力等大，也不为零。故A错误； B．摆球由A点向B点摆动过程中，速度变大，根据 可得细线拉力增大，回复力减小。故B正确； CD．摆球从最高点摆到B点过程中，重力做正功，其重力势能一直在减小，动能一直在增加，所以摆球在B点处，重力势能最小，动能最大。在B点处对摆球受力分析，可得 可知，此时细线拉力最大，合力不为零。故C错误；D正确。 故选BD。 知识点3 探究单摆的周期与摆长的关系 1、实验目的 （1）知道把单摆的运动看做简谐运动的条件。 （2）会探究与单摆的周期有关的因素。 （3）会用单摆测定重力加速度。 2、实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到；因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 3、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线（约1米）、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。 （2）把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图。 （3）用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l=l′+r。 （4）把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即（N为全振动的次数），反复测3次，再算出周期。 （5）根据单摆振动周期公式T＝2π计算当地重力加速度。 （6）改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值。 （7）将测得的重力加速度值与当地重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因。 5、数据处理 处理数据有两种方法：（1）公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后代入公式求重力加速度。 （2）图象法：由单摆周期公式不难推出：，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率，即可利用g=4π2k=求得重力加速度值，如图所示。 6、误差分析 （1）系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等。 （2）偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数。 【典例3】如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究周期与摆长的关系”的实验。 (1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间为t，请写出周期的表达式T =________。 (2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T =________。 (3)在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（）图线，并根据图线拟合得到方程T2=kL+b，，由此可得摆球半径r =________：（用k、b、π表示）。 【答案】(1) (2)2.0 (3) 【详解】(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝ 。 (2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0 s，故单摆的摆动周期为2.0 s。 (3)根据 得 而 联立得，图线拟合得到方程T2＝kL＋b 有， 因此摆球半径r＝ 。 【变式3-1】某实验小组用单摆测量重力加速度。实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应周期T的数据，作出l -T2图像，如图所示。用l -T2图像计算重力加速度时，同学们发现，该图像的延长线不过坐标原点。关于图像不过原点的可能原因及对结果的影响，同学们提出以下四个观点，正确的是（　　） A．只用细线长度作为摆长，对实验结果有影响 B．只用细线长度作为摆长，对实验结果没有影响 C．用细线长度加摆球直径作为摆长，对实验结果有影响 D．用细线长度加摆球直径作为摆长，对实验结果没有影响 【答案】B 【详解】设为真实摆长，根据单摆周期公式 可得 AB．设小球半径为r，若只用细线长度作为摆长，根据单摆周期公式 整理得 图像与题中图像符合，此时图线是斜率仍为，因此通过斜率计算出的重力加速度不受影响，对实验结果无影响，故A错误，B正确； CD．若用细线长度加摆球直径作为摆长，根据单摆周期公式 整理得 图像与题中图像不符，由于斜率不变，可知计算重力加速度结果没有影响，故CD错误。 故选B。 【变式3-2】某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用智能手机和一个磁性小球进行了如下实验： （1）将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。 （2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得磁性小球的直径如图2所示，则直径d=_______cm，算出摆长L。 （3）将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，测量磁感应强度的变化。 （4）将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示试回答下列问题： ①由图3可知，单摆的周期为____（用t0表示）。 ②改变摆线长度l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的图像T2-l如图4所示，图像的斜率为k，则重力加速度g的表达式为_______。（用题中物理量的符号表示）。 ③图4中图像不过原点，对g的测量结果_______（选填“有影响”或“无影响”）。 【答案】 0.97 无影响 【详解】（2）[1]游标卡尺的精确度为0.1mm，读数为 （4）①[2] 磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度B最大，根据图3有 解得周期为 ②[3]根据周期公式有 解得 结合图像有 解得 ③[4]结合上述可知，重力加速度的求解是根据图像的斜率计算所得，实验中，虽然没有考虑磁性小球的半径，但对斜率没有影响，即对g的测量结果无影响。 【变式3-3】研究如图所示的“杆线摆”摆动周期与等效重力加速度的关系。“杆线摆”的摆球被轻杆和细线约束在一个倾斜的平面内，且可以绕着固定立柱来回摆动。重力加速度为g，具体操作步骤如下： （1）组装“杆线摆”，把铁架台底座的一侧垫高，使立柱倾斜，测得摆球静止时轻杆与重垂线的夹角为，则“斜面”的倾角________； （2）根据“斜面”倾角，求出等效重力加速度（即重力加速度沿斜面向下的分量）________ （3）尽量减小轻杆与立柱之间的摩擦，将摆球拉开一个较小的角度，由静止释放。用停表测量摆球全振动20次所用的时间t，求得单摆的周期为T=________； （4）改变立柱的倾斜程度，重复实验，所得实验数据记录如下表所示； 序号 1 11.0 2.52 1.84 0.738 2 14.5 2.11 2.45 0.639 3 19.0 1.83 3.19 0.560 4 22.5 1.73 3.83 0.511 5 25.5 1.62 4.22 0.487 6 29.0 1.50 4.75 0.459 （5）以T为纵坐标，以为横坐标建立坐标系，在坐标系中标注对应点迹，依据点迹作出图线______； （6）通过图线，可以得到“杆线摆”在摆长一定的情况下，周期T与________成正比。 【答案】 或 或 等效重力加速度平方根的倒数 【详解】（1）[1]摆杆与重垂线的夹角为β，θ为摆杆与水平方向的夹角，根据几何关系可知θ=90°-β （2）[2]根据题图可知等效重力加速度为a=gsinθ （3）[3]单摆的周期为； （5）[4]根据单摆周期公式 以T为纵坐标，以为横坐标建立坐标系，作出的图线应该是一条经过原点的倾斜直线，如下图所示 （6）[5]通过图线，可以得到“杆线摆”在摆长一定的情况下，周期T与等效重力加速度平方根的倒数成正比。 知识点4 单摆的周期 1、单摆振动的周期影响因素：单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 （1）荷兰物理学家惠更斯研究发现，单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅摆球质量无关。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 2、对单摆周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 3、计算单摆的周期的两种方法 （1）依据T＝2π，由单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。 （2）根据：周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响，是粗测周期的一种方法。 【典例4-1】一单摆的摆长为40cm，摆球在时刻正从平衡位置向右运动，若g取，则在1s时（　　） A．摆球正向左做减速运动，回复力正在增大 B．摆球正向左做加速运动，回复力正在减小 C．摆球正向右做减速运动，回复力正在增大 D．摆球正向右做加速运动，回复力正在减小 【答案】D 【详解】AB．由，代入数据得，则1s时，摆球正处于第四个内，由左侧最大位移处向平衡位置运动，故摆球正在向右运动，故AB错误； CD．摆球从最大位移处向平衡位置运动，回复力正在减小，速度正在增加，故C错误，D正确。 故选D。 【典例4-2】（多选）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．单摆的摆长为0.8m C．摆球的质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度为0.5m/s 【答案】AC 【详解】AB．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得单摆的摆长为，故A正确，B错误； CD．小球在最高点时 小球在最低点时 从最高点到最低点根据机械能守恒定律 解得，，故C正确，D错误。 故选AC。 【典例4-3】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 【详解】（1）单摆的周期为 由单摆的周期 得 （2）设AO与竖直面的夹角为θ，由图可知 在A点时 在B点 由A到B，机械能守恒 由以上三式解得， 【变式4-1】一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（　　） A． B． C．2T D．4T 【答案】B 【详解】单摆做简谐运动的周期公式为，其中l为摆长，g为当地重力加速度，若将摆长缩短为原来的，则周期应变为原来的，即新的周期为 故选B。 【变式4-2】（多选）如图所示，以O点为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动 B．摆球经过平衡位置时所受合力为零 C．从A点计时，经过一个周期小球重力的冲量一定不为零 D．从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小 【答案】CD 【详解】A．摆球从A点经O点运动到B点，然后从B点再经过O点返回A点，摆球完成一次全振动，A错误； B．单摆摆动到O点时，只受重力和绳子的拉力，回复力为零，但是拉力大于重力，摆球具有向上的向心加速度，摆球经过平衡位置时所受合力不为零，B错误； C．根据重力冲量 重力和时间均不为零，所以经过一个周期小球重力的冲量一定不为零，C正确； D．从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力 速度不断增大，逐渐减小，不断增大； 回复力 位移不断减小，回复力不断减小，D正确。 故选CD 。 【变式4-3】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。 (1)求单摆的振动周期。 (2)求单摆的摆长。 (3)求摆球的质量。 【详解】（1）由图可知，单摆的振动周期 （2）根据单摆周期公式 可知摆长 （3）在A点细线拉力最小，有Fmin=mgcosθ 在B点细线拉力最大，有 从A到B由机械能守恒定律 联立可得 1．一个单摆做简谐运动的周期为T。如果将其摆长增加为原来的4倍，振幅变为原来的二分之一，则其周期变为（    ） A．2T B． C． D． 【答案】A 【详解】单摆做简谐运动的周期公式为，可知单摆周期仅与摆长、当地重力加速度有关，与振幅无关。当摆长增加为原来的4倍时，新周期 故选A。 2．在成都的某茶馆墙上挂着一只老式机械摆钟，其计时核心是一个做简谐运动的单摆。某日，茶馆老板发现这只摆钟走得慢了。为了校准时间，茶馆老板对单摆进行了调整。下列调整方法正确的是（　　） A．适当增加摆锤的质量 B．适当减小摆锤摆动的幅度 C．适当增长摆长 D．适当缩短摆长 【答案】D 【详解】单摆小角度做简谐运动的周期公式为，周期仅与摆长、当地重力加速度有关，和摆锤质量、摆动幅度无关。摆钟走慢说明其振动周期偏大，相同时间内摆动次数少于标准值，需要减小周期校准。 A．单摆周期与摆锤质量无关，调整质量无法改变走时快慢，故A错误； B．小角度摆动时单摆周期与振幅无关，调整摆动幅度无法改变走时快慢，故B错误； C．由周期公式可知，摆长增长会使周期变大，摆钟走时更慢，故C错误； D．缩短摆长会使周期减小，相同时间内摆动次数增加，可校准走慢的摆钟，故D正确。 故选D。 3．图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动。以、分别表示摆球A、B的质量，则（　　） A．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧与右侧 【答案】D 【详解】根据周期公式可知，两单摆的周期相同与质量无关，所以相撞后两球分别经过时间后回到各自的平衡位置．这样必然是在平衡位置相遇；所以不管AB的质量如何，下一次碰撞都在平衡位置。 故选D。 4．图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．单摆周期为1s B．细线的长度为 C．小球经过最低点时速度大小为 D． 【答案】D 【详解】AB．小球每经过最低点时动能最大，细线拉力最大，由图乙可知，两次经过最低点的时间间隔是，则单摆的周期是，根据单摆的周期公式 解得摆长 小球的直径 则细线的长度，故AB错误； CD．设单摆最大摆角为，在最低点速度大小为，则在最低点有 从最高点运动至最低点，由动能定理有 最高点小球速度为零，有 联立解得、，故C错误，D正确。 故选D。 5．如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 【答案】C 【详解】A．摆球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，因此摆球在右侧上升的高度与左侧开始下落的高度相同，故A错误； B．摆球经过最低点B时虽然回复力（沿摆动方向的分力）为零，但此时小球具有向心加速度，需要向心力，合力不为零，故B错误； C．结合题意可知，摆球从A点到B点时间和从B点到C点时间都是对应周期的，根据单摆得出周期公式可知，摆球从A点到B点的周期大于从B点到C点的周期，因此摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间，故C正确； D．摆球经过最低点时，摆线与钉子接触前后的瞬时速度相等，根据牛顿第二定律，则有 接触钉子后，摆线长（圆周运动的半径）变小，绳子的拉力变大，故D错误。 故选C。 6．如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，用长为的轻质绝缘细线将质量为的带正电小球（视为点电荷）悬挂于点，小球静止时位于点，细线与竖直方向的夹角为（）。现将小球拉至点正下方的点（细线绷直）由静止释放，小球运动的最高点为点（图中未画出）。重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动的周期为 B．小球经过点时的加速度为0 C．小球相邻两次经过点的过程中受到重力的冲量大小为 D．小球相邻两次经过点的过程中受到电场力的冲量大小为 【答案】C 【详解】A．小球静止时位于点，小球受到的重力和电场力的合力方向由点指向点，该合力可视为等效重力，其大小 将小球拉至点正下方的点（细线绷直）由静止释放，小球做单摆运动的周期 故A错误； B．小球经过点时仍做圆周运动，有向心加速度，故B错误； C．小球相邻两次经过点所用的时间 小球受到重力的冲量大小 故C正确； D．小球受到的电场力大小 小球相邻两次经过点的过程中受到电场力的冲量大小 故D错误。 故选C。 7．（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 【答案】BC 【详解】A．单摆的周期为，A错误； B．根据，可得单摆的摆长，B正确； CD．因振幅，初相位，可知单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式，C正确，D错误。 故选BC。 8．（多选）下列关于单摆的说法正确的是（　　） A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A（A为振幅），从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为0 B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C．单摆摆球经过平衡位置时加速度为0 D．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力 【答案】AD 【详解】A．单摆的位移默认以平衡位置为参考点，不是以运动的起点为参考点，从任何位置运动到平衡位置时的位移都为0，A正确； B．单摆的回复力仅为重力的切向分力，在向心加速度不为零时，单摆摆球的回复力不等于合力，B错误； C．单摆的平衡位置是回复力为零的位置，不是合外力为零的位置，此处存在向心加速度，C错误； D．在最高点速度为零、向心力为零，单摆摆球的回复力等于合力，D正确。 故选 AD。 9．（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为 C．从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 【答案】BC 【详解】A．根据图乙可知，故A错误； B．图乙可知单摆周期为T=2s 根据 联立解得摆长，故B正确； C．从到的过程中，位移在减小，根据 可知回复力逐渐减小，故C正确； D．从到的过程中，摆球靠近平衡位置，速度变大，根据牛顿第二定律可知摆球所受绳子拉力逐渐增大，故D错误。 故选BC。 10．如图甲，置于水平长木板上的滑块用细绳跨过定滑轮与钩码相连，拖动固定其后的纸带一起做匀加速直线运动，一盛有红色液体的小漏斗，用较长的细线系于纸带正上方的O点，当滑块运动的同时，漏斗在垂直于滑块运动方向的竖直平面内做摆角很小（小于）的摆动。漏斗中漏出的红色液体在纸带上留下如图乙所示的痕迹。测得漏斗摆动时细线中拉力的大小F随时间t的变化图像如图丙所示，重力加速度为g。 (1)根据图丙可知漏斗振动的周期T=___________，及摆长l=___________。 (2)图乙中测得A、B两点间距离为x1，D、E两点间距离为x2，则滑块加速度的大小a=___________。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）[1]根据图丙可知，漏斗振动的周期为 [2]根据单摆的周期公式 可得摆长为 （2）根据逐差相等公式可知 解得 11．如图所示，一质量为m的小钢珠，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为。静止释放小球后，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放时小球回复力的大小； (2)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量。 【详解】（1）释放时小球回复力的大小 （2）单摆周期 从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量 12．如图所示，AB为半径很大的一段光滑小圆弧轨道，圆心位于B点正上方，最低点B与水平轨道BC平滑连接，圆弧A点距水平面高度h=0.128 m。现从A点由静止开始释放一质量m=2 kg的小滑块（可视为质点），小滑块滑至圆弧最低点B时，测得小滑块对B点的压力为F=20.128 N，滑过B点后，接着在水平面上滑过x=0.26 m时与静止在C点的另一个完全相同的小滑块发生碰撞并粘在一起，碰撞时间极短。已知小滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.3，g取10 m/s2。求： (1)两滑块碰撞中损失的机械能； (2)小滑块自A点释放到碰撞前经历的时间。 【详解】（1）从A到B，由机械能守恒 代入数据得 在B点，由牛顿第三定律，支持力 由牛顿第二定律可得 代入数据解得圆弧半径 滑块从B到C做匀减速直线运动，加速度大小 由运动学公式 代入数据得 碰撞时间极短，设碰撞后共同速度为，由动量守恒可得 解得 碰撞损失的机械能 代入数据得 （2）AB为半径很大的光滑小圆弧，小滑块运动可视为单摆的四分之一周期运动（小角度简谐运动），单摆周期 从A到B的时间 代入得 水平匀减速运动，由 得 总时间 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4单摆（知识解读）（原卷版） •知识点1 单摆 •知识点2 单摆的回复力 •知识点3 探究单摆的周期与摆长的关系 •知识点4 单摆的周期 •作业 随堂检测 知识点1 单摆 1、单摆的定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。 2、对单摆的装置要求 （1）对摆线：一是要求无弹性；二是要求轻质细线，其质量相对小球可忽略不计；三是其长度远大于小球的半径。 （2）对小球：一是要求质量大；二是体积小，即小球要求是密度大的实心球。 3、单摆做简谐运动的条件 （1）最大摆角很小； （2）空气阻力可以忽略不计。 4、单摆是实际摆的理想化模型 （1）摆线质量m远小于摆球质量 M，即m << M 。 （2）摆球的直径d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。 （3）摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略。 （4）摆线的伸长量很小，可以忽略。 5、弹簧振子与单摆 弹簧振子（水平） 单摆 模型示意图 条件 忽略弹簧质量、无摩擦等阻力 细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力 周期公式 T=2π（不作要求） T=2π 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能 守恒 【典例1】一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最小 B．t2时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球的速度为零，悬线对它的拉力最大 D．t4时刻摆球的速度最大，悬线对它的拉力最大 【变式1-1】如图所示，小球通过轻质细线悬挂于O点。将小球向左拉至A点由静止释放。B为小球摆动的最低点，C点和A点在同一水平线上。忽略空气阻力，则小球（　　） A．从A运动到C的过程，所受重力的冲量为零 B．从A运动到C的过程，所受细线拉力的冲量为零 C．从A到B和从B到C的过程，所受重力冲量相等 D．从A到B和从B到C的过程，所受细线拉力冲量相等 【变式1-2】（多选）关于单摆的摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　） A．摆球受重力、摆线的拉力作用 B．摆球的回复力为0时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线的拉力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 【变式1-3】（多选）下列有关单摆的说法正确的是（　　） A．在做单摆实验时，要尽可能选择质量小、体积大的球 B．同一个单摆在赤道和两极的周期不相同 C．单摆的周期与摆球质量和振幅无关 D．摆角很大时，单摆也可以看成做简谐运动 知识点2 单摆的回复力 1、回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 2、回复力的特点：在摆角很小时（θ＜50），摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 推导：F回=mgsinθ，θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等即sinθ ≈ θ≈。 则：F = mgsinθ≈ mgθ≈。 位移方向与回复力方向相反F = −。 可以写成：F = −k x 摆角θ 正弦值 弧度值 1° 0.01754 0.01745 2° 0.03490 0.03491 3° 0.05234 0.05236 4° 0.06976 0.06981 5° 0.08716 0.08727 6° 0.10453 0.10472 7° 0.12187 0.12217 8° 0.13917 0.13963 注意： （1）单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。 （2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力。 （3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零。 【典例2】关于简谐运动的回复力的说法错误的是（     ） A．单摆的回复力就是小球所受的合外力 B．单摆的回复力是重力在运动方向的分力 C．放在光滑水平面上的弹簧振子回复力由弹簧弹力提供 D．弹簧振子经过平衡位置时回复力为零 【变式2-1】如图甲所示，单摆固定悬点为，将摆球拉至点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的、之间来回摆动，摆角，点为运动中的最低位置。从点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 C．点处于摆球运动的平衡位置，回复力最大 D．在的时间内，摆球从点向点运动 【变式2-2】（多选）如图（a），一单摆悬挂在O点，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。通过固定在O点力传感器得到细线上拉力大小F随时间t变化的图像如图（b）所示，重力加速度g。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．摆球的质量为 C．～时间内摆球的速度先增加后减小 D．摆球经过B点时的加速度为零 【变式2-3】（多选）如图所示单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球在A点和C点处，速度为零，故细线拉力为零，但回复力不为零 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，但回复力减小 C．摆球在B点处，重力势能最小，合力为零 D．摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大 知识点3 探究单摆的周期与摆长的关系 1、实验目的 （1）知道把单摆的运动看做简谐运动的条件。 （2）会探究与单摆的周期有关的因素。 （3）会用单摆测定重力加速度。 2、实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到；因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 3、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线（约1米）、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。 4、实验步骤 （1）让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。 （2）把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图。 （3）用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l=l′+r。 （4）把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即（N为全振动的次数），反复测3次，再算出周期。 （5）根据单摆振动周期公式T＝2π计算当地重力加速度。 （6）改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值。 （7）将测得的重力加速度值与当地重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因。 5、数据处理 处理数据有两种方法：（1）公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后代入公式求重力加速度。 （2）图象法：由单摆周期公式不难推出：，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率，即可利用g=4π2k=求得重力加速度值，如图所示。 6、误差分析 （1）系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等。 （2）偶然误差主要来自时间的测量上，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数。 【典例3】如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究周期与摆长的关系”的实验。 (1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间为t，请写出周期的表达式T =________。 (2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T =________。 (3)在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（）图线，并根据图线拟合得到方程T2=kL+b，，由此可得摆球半径r =________：（用k、b、π表示）。 【变式3-1】某实验小组用单摆测量重力加速度。实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应周期T的数据，作出l -T2图像，如图所示。用l -T2图像计算重力加速度时，同学们发现，该图像的延长线不过坐标原点。关于图像不过原点的可能原因及对结果的影响，同学们提出以下四个观点，正确的是（　　） A．只用细线长度作为摆长，对实验结果有影响 B．只用细线长度作为摆长，对实验结果没有影响 C．用细线长度加摆球直径作为摆长，对实验结果有影响 D．用细线长度加摆球直径作为摆长，对实验结果没有影响 【变式3-2】某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用智能手机和一个磁性小球进行了如下实验： （1）将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。 （2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得磁性小球的直径如图2所示，则直径d=_______cm，算出摆长L。 （3）将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，测量磁感应强度的变化。 （4）将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示试回答下列问题： ①由图3可知，单摆的周期为____（用t0表示）。 ②改变摆线长度l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的图像T2-l如图4所示，图像的斜率为k，则重力加速度g的表达式为_______。（用题中物理量的符号表示）。 ③图4中图像不过原点，对g的测量结果_______（选填“有影响”或“无影响”）。 【变式3-3】研究如图所示的“杆线摆”摆动周期与等效重力加速度的关系。“杆线摆”的摆球被轻杆和细线约束在一个倾斜的平面内，且可以绕着固定立柱来回摆动。重力加速度为g，具体操作步骤如下： （1）组装“杆线摆”，把铁架台底座的一侧垫高，使立柱倾斜，测得摆球静止时轻杆与重垂线的夹角为，则“斜面”的倾角________； （2）根据“斜面”倾角，求出等效重力加速度（即重力加速度沿斜面向下的分量）________ （3）尽量减小轻杆与立柱之间的摩擦，将摆球拉开一个较小的角度，由静止释放。用停表测量摆球全振动20次所用的时间t，求得单摆的周期为T=________； （4）改变立柱的倾斜程度，重复实验，所得实验数据记录如下表所示； 序号 1 11.0 2.52 1.84 0.738 2 14.5 2.11 2.45 0.639 3 19.0 1.83 3.19 0.560 4 22.5 1.73 3.83 0.511 5 25.5 1.62 4.22 0.487 6 29.0 1.50 4.75 0.459 （5）以T为纵坐标，以为横坐标建立坐标系，在坐标系中标注对应点迹，依据点迹作出图线______； （6）通过图线，可以得到“杆线摆”在摆长一定的情况下，周期T与________成正比。 知识点4 单摆的周期 1、单摆振动的周期影响因素：单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 （1）荷兰物理学家惠更斯研究发现，单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅摆球质量无关。 （2）公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 2、对单摆周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 （1）摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度，即l=l'+，l'为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：图1中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l•sinα，这就是等效摆长。其周期T=2π。图2中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效﹔乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 （2）重力加速度g：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是不同的，所以g 也不同，g=9.8 m/s只是在地球表面附近时的取值。 （3）等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。如下图所示，此场景中的等效重力加速度g'=gsinθ。球静止在О点时，FT=mgsin θ，等效加速度g'==gsinθ。 3、计算单摆的周期的两种方法 （1）依据T＝2π，由单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。 （2）根据：周期的大小虽然不取决于t和N，但利用该种方法计算周期，会受到时间t和振动次数N测量的准确性的影响，是粗测周期的一种方法。 【典例4-1】一单摆的摆长为40cm，摆球在时刻正从平衡位置向右运动，若g取，则在1s时（　　） A．摆球正向左做减速运动，回复力正在增大 B．摆球正向左做加速运动，回复力正在减小 C．摆球正向右做减速运动，回复力正在增大 D．摆球正向右做加速运动，回复力正在减小 【典例4-2】（多选）如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。下列说法正确的是（　　） A．单摆的振动周期为 B．单摆的摆长为0.8m C．摆球的质量为0.05kg D．摆球运动过程中的最大速度为0.5m/s 【典例4-3】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 (1)求单摆的振动周期和摆长。 (2)求摆球的质量和摆球运动过程中的最大速度。 【变式4-1】一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（ ） A． B． C．2T D．4T 【变式4-2】（多选）如图所示，以O点为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动 B．摆球经过平衡位置时所受合力为零 C．从A点计时，经过一个周期小球重力的冲量一定不为零 D．从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小 【变式4-3】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。 (1)求单摆的振动周期。 (2)求单摆的摆长。 (3)求摆球的质量。 1．一个单摆做简谐运动的周期为T。如果将其摆长增加为原来的4倍，振幅变为原来的二分之一，则其周期变为（    ） A．2T B． C． D． 2．在成都的某茶馆墙上挂着一只老式机械摆钟，其计时核心是一个做简谐运动的单摆。某日，茶馆老板发现这只摆钟走得慢了。为了校准时间，茶馆老板对单摆进行了调整。下列调整方法正确的是（　　） A．适当增加摆锤的质量 B．适当减小摆锤摆动的幅度 C．适当增长摆长 D．适当缩短摆长 3．图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动。以、分别表示摆球A、B的质量，则（　　） A．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C．如果，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧与右侧 4．图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中的最大值。已知小球质量，小球的直径，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．单摆周期为1s B．细线的长度为 C．小球经过最低点时速度大小为 D． 5．如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 6．如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，用长为的轻质绝缘细线将质量为的带正电小球（视为点电荷）悬挂于点，小球静止时位于点，细线与竖直方向的夹角为（）。现将小球拉至点正下方的点（细线绷直）由静止释放，小球运动的最高点为点（图中未画出）。重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动的周期为 B．小球经过点时的加速度为0 C．小球相邻两次经过点的过程中受到重力的冲量大小为 D．小球相邻两次经过点的过程中受到电场力的冲量大小为 7．（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 8．（多选）下列关于单摆的说法正确的是（　　） A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A（A为振幅），从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为0 B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C．单摆摆球经过平衡位置时加速度为0 D．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力 9．（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取，对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 B．单摆的摆长约为 C．从到的过程中，摆球所受的回复力逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 10．如图甲，置于水平长木板上的滑块用细绳跨过定滑轮与钩码相连，拖动固定其后的纸带一起做匀加速直线运动，一盛有红色液体的小漏斗，用较长的细线系于纸带正上方的O点，当滑块运动的同时，漏斗在垂直于滑块运动方向的竖直平面内做摆角很小（小于）的摆动。漏斗中漏出的红色液体在纸带上留下如图乙所示的痕迹。测得漏斗摆动时细线中拉力的大小F随时间t的变化图像如图丙所示，重力加速度为g。 (1)根据图丙可知漏斗振动的周期T=___________，及摆长l=___________。 (2)图乙中测得A、B两点间距离为x1，D、E两点间距离为x2，则滑块加速度的大小a=___________。 11．如图所示，一质量为m的小钢珠，用长为l的细丝线悬挂在水平天花板上（l远大于小钢球的半径），初始时，摆线和竖直方向的夹角为。静止释放小球后，求：（不计空气阻力，重力加速度为g） (1)释放时小球回复力的大小； (2)从小球释放到第一次运动到最低点过程中重力的冲量。 12．如图所示，AB为半径很大的一段光滑小圆弧轨道，圆心位于B点正上方，最低点B与水平轨道BC平滑连接，圆弧A点距水平面高度h=0.128 m。现从A点由静止开始释放一质量m=2 kg的小滑块（可视为质点），小滑块滑至圆弧最低点B时，测得小滑块对B点的压力为F=20.128 N，滑过B点后，接着在水平面上滑过x=0.26 m时与静止在C点的另一个完全相同的小滑块发生碰撞并粘在一起，碰撞时间极短。已知小滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.3，g取10 m/s2。求： (1)两滑块碰撞中损失的机械能； (2)小滑块自A点释放到碰撞前经历的时间。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $