第二十五章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册一元二次方程单元卷，立足单元复习，融合基础巩固、能力提升与创新应用，通过赵爽几何解法、舞麒麟文创等情境及“邻根方程”“快乐方程”等创新题型，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|定义、根与系数关系、判别式|基础概念辨析，如第9题“邻根方程”创新定义| |填空题|6题|系数识别、根的应用、整数根问题|第15题两位数问题，第16题整数根探究| |解答题|7题|解法（配方法等）、实际应用（利润）、文化情境（赵爽解法）|第22题舞麒麟销售利润模型，第20题赵爽几何解法，第23题“快乐方程”创新探究|

第二十五章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、选择题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于 的方程 有一个根为-1，则另一个根为（　　） A．2 B．-2 C．5 D．-5 3．若方程中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，则的值为（　　） A． B． C．3 D．5 4．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。 A． B． C． D． 5．已知方程的两个实数根分别为，，则（ ） A． B．8 C． D．3 6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　） A．4 B．1 C． D．0 7．关于x的一元二次方程( 的一个解是1，则m 的值为(　　) A．±2 B．2 C．-2 D． 8．如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（　　）． A． B． C． D． 10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（　　） A． B．1 C． D．2 二、填空题 11．一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是　 　. 12．已知是方程的一根，则　 　． 13．若关于x的一元二次方程( 中不含x的一次项，则m的值是　 　。 14．若一元二次方程x2+2x-m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m-1的图象不经过第　 　象限． 15．一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为　 　. 16．设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为　 　． 三、解答题 17．解方程： （1）； （2）． 18．若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 19．已知关于的一元二次方程（m2-m）x2-2mx+1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若m为整数且m＜3，a是方程的一个根，求代数式的值. 20．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以一元二次方程 ，即x(x+2)=35为例.三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图1所示的大正方形，其中，大正方形的面积是( 它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4 据此易得. （1）在下面的四个构图中，能够说明 的构图是（　　）. A． B． C． D． （2）小刚用此方法解关于x 的一元二次方程. 时，构造出同样的图形，如图2，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，通过计算，求关于x 的一元二次方程. 的正数解. 21．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． （2）若是“二倍根方程”，求的值． （3）若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 22．坪山是客家人的聚居地，有舞麒麟的传统.这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩.坪山区文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售. 如何设计商品销售方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数. 素材 2 该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y(个)与销售单价x(元/个)满足一次函数：y=-2x+400.当积木玩具的售价为140元/个时，日销售利润为2 400元. 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价. 任务 2 探究商品售价 商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具日销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元? 设计方案 任务3 该商店决定使日销售利润为3200元，请问方案是否可行?如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由. 23．若关于x的一元二次方程（）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为_________； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出的值是_________． 参考答案 1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．B 7．C 8．B 9．D 10．B 11．2 12． 13．2 14．一 15．24或15 16．7 17．（1）解：x2-1=0， 移项，得x2=1， 开平方，得x=±1， 即x1=-1，x2=1． （2）解：x2-3x-4=0， 因式分解，得(x-4)(x+1)=0， ∴x-4=0或x+1=0， 解得x1=4，x2=-1． 18．（1） （2） 19．（1）（2）1 20．（1）B （2）解：如图， 根据构图得大正方形的面积为（x＋x＋m）2，小正方形的面积为m2. ∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25， ∴m2＝25，（x＋x＋m）2＝81，∴m＝5（负值舍去）， ∴（x＋x＋5）2＝81，解得x＝2（负值舍去）， 即关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0的正数解为x＝2 21．（1）18 （2）或 （3） 22．（任务1）120元. （任务2）150元. （任务3）可行 23．（1）； （2），； （3）或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $