第21讲 解三角形最值与范围问题（8个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形最值与范围这一高考核心专题，涵盖周长、面积、线段和差、夹角等八大题型，按“核心知识-方法技巧-经典例题-巩固练习”的逻辑架构组织内容，通过考点系统梳理、解题方法分层指导、真题实战训练等环节，帮助学生构建完整的解题框架，突破高考难点。 讲义创新采用“题型-方法-素养”三维教学策略，如在求面积最值时，引导学生用外接圆模型观察动点轨迹（数学眼光），通过正弦定理边角互化转化为三角函数值域问题（数学思维），结合分层练习实现从基础到综合的能力提升。设置课后过关检测，确保复习效果，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师提供精准复习节奏把控的实用工具。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第21讲 解三角形最值与范围问题 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求周长的最值与范围 核心知识 周长 正弦定理 余弦定理 基本不等式 三角形两边之和大于第三边 内角和 方法技巧 1.已知一角及其对边时先用余弦定理建立边长等式再结合基本不等式求出最大值 2.正弦换元法将边长全部转化为角的三角函数再利用三角恒等变换转化为型函数求值域 3.范围问题注意两边之和大于第三边得到下界 4.定角定底边模型可用外接圆辅助画图分析 【经典例题1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【详解】（1）∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 【经典例题2】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 【巩固练习1】（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 【巩固练习2】（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. (2)6 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 【巩固练习3】（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 【题型2】 求面积的最值与范围 核心知识 三角形面积公式 基本不等式 余弦定理建立边与角的约束关系 方法技巧 1.已知一角时面积表达式优先保留该角的正弦值再求两条邻边乘积的最值 2.定角对定边模型借助外接圆观察动点轨迹判断高的最值 3.边角互化转化为三角函数值域问题求解 4.范围问题最后检验内角取值边界能否取等 【经典例题1】（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 【经典例题2】（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 【巩固练习1】（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【详解】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 【巩固练习2】（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． 【巩固练习3】（2026·广西桂林·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和正弦的半角公式进行求解；选择条件②：利用正弦定理和正弦的和角公式进行求解；选择条件③：利用正弦定理和余弦定理进行求解. （2）利用三角形面积公式和正弦定理，结合锐角三角形角度的大小进行求解. 【详解】（1）选条件①： 由正弦定理得， 又， 所以 ， 又，所以， 解得，或， 因为，所以，即. 选条件②: 由正弦定理得， 所以， 因为在中，， 所以，即， 则，因为，所以. 选条件③： ， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）已知，，则面积， 由正弦定理得，其中. 化简得： ， 为锐角三角形，且， 所以，得， 所以，，即， 因此 所以面积的取值范围是. 【题型3】 求线段和差的最值与范围 核心知识 三角形三边关系 正弦定理边长与内角互相转化 三角函数值域 方法技巧 1.线段和的最值常转化线段差最值转化 2.换元为三角函数时先求出内角的取值区间 3.利用三角函数单调性求出目标式取值范围 4.两边之差小于第三边用于快速限定下界上界 【经典例题1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 【经典例题2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式和向量数量积的定义化简即可求得； （2）利用正弦定理边化角，再由辅助角公式以及正弦函数的性质可求的最大值． 【详解】（1）由可得， 故，而为三角形内角，故． （2）由正弦定理，，故， 所以 ，其中， 当且仅当，即时，的最大值为． 【巩固练习1】（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理实现边角互化，结合三角形内角和公式与三角恒等变换，将已知条件转化为关于的方程，求解出角． （2）利用正弦定理将边的线性表达式转化为关于角的三角函数，再通过辅助角公式化简，结合锐角三角形中角的取值范围，最终求出目标式的取值范围． 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，解得或（舍去）， ∴，∴． （2）∵，，∴， ∴，，∴， ∵为锐角三角形，∴， ∴ ， 又由，得，∴，∴． 【巩固练习2】（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理 ，推导出，再根据的取值范围求值； （2）由正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将化简为关于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，所以， 即，由，所以； （2）因为，所以，， 所以 又，所以， 所以 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，， 所以 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据正弦定理得到，再代入计算，再求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）已知，由（1）知， 由余弦定理， 得， ，即， 　当且仅当时取等号， . 【题型4】 求夹角的最值与范围 核心知识 余弦定理 在区间单调递减余弦值越大角度越小余弦值越小角度越大 内角范围 方法技巧 1.把目标角的余弦写成边长表达式借助基本不等式求出的最值 2.根据余弦函数单调性反向推出角的范围 3.正弦值求角范围时要区分锐角钝角防止出现多解 4.定边模型可画图观察动点轨迹判断夹角临界位置 【经典例题1】（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可； （2）根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 【经典例题2】（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1) 因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 【巩固练习1】（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【答案】(1) ∵，∴， ∴，即， ∴， 由得，， 由正弦定理及余弦定理得，， ∴. (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论. （2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形. 由得，. ∴的面积为. 【巩固练习2】（23-24高三上·河南信阳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化边为角化简即得三角方程，解之即得； （2）先用三角降幂公式降次，再通过（1）求得的进行消元，化简得到余弦型函数，再利用锐角三角形条件，求得角的范围，最后利用余弦型函数的值域即得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理，， 整理得： ， 又由正弦定理，，而A为三角形内角，故， 故，而C为锐角三角形内角，故 （2）由（1）知， ， 因为三角形为锐角三角形，故，解得：， 则，故，所以. 故的取值范围是. 【巩固练习3】（2023·四川宜宾·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知是和的等比中项.则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】根据等比中项的应用和正、余弦定理可得，则，.令，，利用导数讨论函数的性质求出函数的最值，即可求解. 【详解】因为是和的等比中项，所以，即， 由余弦定理可得，故，即， 由正弦定理可得， 即 ， 又，所以，即. 所以，解得，， 由， 令， 令，得，得，即在区间上单调递增； 令，得，得，即在区间上单调递减. 因为，，， 故，即的取值范围为. 故答案为：. 【题型5】 比值类的最值与范围 核心知识 正弦定理 边长之比可以直接转化为对应内角正弦之比 三角恒等变换公式 方法技巧 1.边的比值优先边化角转化成两个内角正弦的比值 2.利用内角和消掉一个变量只剩单角函数 3.确定剩余内角的取值区间再求三角函数值域 4.出现齐次分式也可全部转化为正弦处理 【经典例题1】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到 ，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 【经典例题2】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 【巩固练习1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积； （2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围. 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 【巩固练习2】（2026·重庆·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以 ， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 【巩固练习3】（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一、由正弦定理结合三角恒等变形化简可得，进而得到；法二、利用余弦定理代入，整理得，再求即可求解； （2）先根据锐角三角形得到，再利用余弦定理求的范围，再结合进行求解． 【详解】（1）解：方法一、因为，则. 由正弦定理得： 则，因为，则. 所以，所以. 法二、由余弦定理：， 代入，得，又， 故， 整理得，故， 又，故； （2）在锐角中，由，可得. 又， 又，则，故. 又，设，设， 又在上单调递减，在上单调递增，所以 又因为，所以，故的取值范围为． 【题型6】 与角平分线有关的最值与范围 核心知识 角平分线长公式 角平分线定理 面积分割 方法技巧 1.将大三角形拆分为两个小三角形利用面积相加建立等式 2.选用角平分线长公式列出目标表达式 3.通过边角互化或者基本不等式求最值 4.注意角平分线分出的两个小角相等 【经典例题1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知内角的对边分别为， ． (1)求A； (2)A的平分线交于点，，求的最大值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再结合余弦定理可得，即可得结果； （2）根据题意结合面积关系可得，再利用基本不等式分析求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 且，所以. （2）因为为A的角平分线，则， 由， 可得 整理得， 又因为， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 【经典例题2】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． (1)求角的大小． (2)若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理将题设等式化简，借助于特殊角的三角函数即得； （2）①由正弦定理将边表示成关于的三角函数，借助于三角形面积公式与三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，根据角的范围与正弦函数的性质即可求其范围； ②由等面积求得，由（1）的结论，结合基本不等式与三角形边的关系推得，化简的表达式，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因的面积为，又， 由余弦定理，，则得， 代入上式得，，即， 又，所以； （2）①由正弦定理得，，， 因是锐角三角形，则，解得， 所以 ， 由得，所以， 所以， 所以S的取值范围是； ②由. 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为，所以． ， 因为在上递增， 所以，即的最大值为3， 故线段长度的最大值为． 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若是的角平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）利用三角形面积公式及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）在△ABC中，由及正弦定理，得 ，整理得， 而，则，即， 解得，又，所以. （2）由是的角平分线，及， 得，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若． （ⅰ）求A； （ⅱ）已知的面积为，求b，c． (2)设的角平分线交于点D，若，求的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式求值. （ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式列式求值. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式列式，可得，再利用基本不等式可求的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）由正弦定理（R为外接圆的半径）， 得， 又，所以． 所以原式化为． 整理得，又，， 所以，又，所以． （ⅱ）因为的面积，所以． 又由余弦定理知，即， 所以，即，所以． （2）因为为的角平分线，所以． 由面积公式得， 化简得，即． 又由余弦定理得， 即． 化简得（*）． 由基本不等式得，解得． 当且仅当时等号成立． 又由得，即． 所以． 代入（*）得， 又，有， 解得，当A点与B，C两点无限趋于共线时，无限逼近． 综上，的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 【题型7】 与中线有关的最值与范围 核心知识 阿波罗尼斯中线长公式 向量中线公式 方法技巧 1.中线最值优先选用中线长公式转化为两条邻边平方和的关系式 2.已知一边对角条件下用余弦定理+基本不等式求解 3.向量法平方展开可以快速得到边长关系 4.定底边时中线端点轨迹可以用圆辅助分析 【经典例题1】（25-26高一下·广东汕头·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角A； (2)若，的面积为，求； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式，结合辅助角公式求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦公式求解即可. （3）根据向量的平行四边形法则及向量数量积运算律，结合正余弦定理、两角和的正弦公式及辅助角公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得， 又， 所以， 即，也即， 因为，所以，所以， 即，即， 又，则，所以，则. （2）由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得，，即，所以. 联立整理得，所以，又，所以. （3）因为为的中点，所以， 则， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，则， 所以，即，所以， 所以中线的取值范围是. 【经典例题2】（24-25高一下·吉林·阶段检测）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则 ， 所以边上中线的范围是. 【巩固练习1】（25-26高一下·河北·阶段检测）已知的三内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为线段的中点，当中线最短时，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长，即可求解. 【详解】（1）在中，已知， 由正弦定理得. 因为，，所以.     所以， 即.     又，，则， 所以. （2）由（1）知， 则，所以.     在中，由余弦定理， 得， 当且仅当，即，时，等号成立.     所以， 故，即，       所以当中线最短时，的周长为. 【题型8】 几何图形中的最值与范围 核心知识 多边形四边形内拆分多个三角形 正弦定理余弦定理面积公式基本不等式 动点轨迹外接圆模型 方法技巧 1.将复杂几何图形分割成若干三角形标记已知边角 2.选定一个三角形作为突破口求出公共边长 3.建立目标量关于单变量的函数表达式 4.画出动点轨迹找到取到最值时的临界位置 5.检验边界取值能否成立 【经典例题1】（25-26高一下·广东广州·期末）在中，已知，的面积满足：． (1)求的大小； (2)如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记． （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）求三角形与四边形面积比值的最大值． 【答案】(1) (2) （i），.（ii） 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将面积比值转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【详解】（1）设，. 因为，所以，化简得. 又因为，解得. （2）（i）已知，， 则. 因为，，则，则. 因为， 则. 展开得. 在中，由余弦定理和正弦定理得， . 则，化简得. （ii）四边形面积，其中， 代入得. 设比值为，根据（2）（i）得. 令，化简得. 因为，，故. 则当时，取最大值，最大值为8. 要使最大，需最大，则最大值. 故的最大值为. 【经典例题2】（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）. A．若                B．若 (1)求角的大小； (2)若在内部且满足，，求线段的长度； (3)求锐角的内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再整理出余弦定理标准式求，由内角范围锁定角度； （2）向量和为零向量是重心，重心分中线2:1，先用面积求出，再用中线公式算中线长，按比例得； （3）面积两种表达联立（为半周长），边角互化结合锐角约束求范围，进而求最值. 【详解】（1）选A填入，因为 ，所以， 即， 因为，所以； 选B填入，因为， 所以， 因为，所以， 则， 因为，所以， 则. （2）因为在内部且满足，所以为的重心， 延长交于，有，， 则， 由（1）可知，代入得， 因为， 所以代入得， 则. （3）设的内切圆半径为，由得， 由（1）可知， 代入得； 由可得， 则； 因为为锐角三角形，所以， 所以， 则. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，且． (1)求； (2)若角的平分线交于，，求的周长； (3)若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系将余弦函数转化为正弦函数，再利用正弦定理进行角化边，最后利用余弦定理进行求解； （2）等面积法求出a，b的关系式，再联立（1）中所得边的关系式求出，从而求得三角形的周长； （3）利用内心性质求出，设角变量，正弦定理表示边长，然后代入面积公式写出面积的表达式，利用三角恒等变换进行化简，由锐角三角形条件确定面积表达式的定义域，最后根据正弦函数的图像与性质求值域. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）因为为角的平分线，可得， 因为，且， 所以，即，①   由（1）知，所以，② 联立①②，解得或（舍去）， 所以的周长为． （3）因为为的内心，，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以，， 所以 因为，为锐角三角形，所以即， 所以，即， 则， 所以的面积的取值范围为． 课后过关检测 一、填空题 1．（25-26高一下·云南丽江·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若边上的高为，当取得最大值时，____________． 【答案】/ 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，再结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得， 则 ， 因为，所以， 则，即时，取得最大值， 此时. 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得 ，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，， 由，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以. 3．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【答案】 【分析】设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值. 【详解】设，，因为，则，， 由余弦定理，可得， 因为，则. 在中，，则. 在中，由余弦定理，， 代入得， ， ， 由，则， 所以当，即时，取最大值， 此时取最大值为. 4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据正弦定理求外接圆半径；将边化为角，运用辅助角公式化简，根据三角函数性质求最值得的取值范围. 【详解】已知，， ，. . 设，则，其中， 若即，不妨设， 因为，故，则， 所以，则，解不等式得. 若即，， 而，此时不存在最大值， 若即，不妨设， 因为，故，则， 故此时不存在最大值， 综上. 二、解答题 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，当时，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理边化角，结合正弦和角公式即可求解； (2)由条件先求出解的范围，再利用三角形面积公式、正弦定理，将三角形的面积化成关于角的三角函数式，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）和正弦定理，得， 因， 代入化简得， 因，，则得， 又因，所以； （2）因为锐角三角形，则有，解得. 因面积， 由正弦定理，，可得， 所以， 因为，则，，， 故的取值范围为. 6．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长. （3）利用平面向量和余弦定理可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换求的取值范围即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 因为，所以，所以，即， 又，则． （2）由（1）及题设可得，即 整理得，解得． 所以的周长为. （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知内角，B，C的对边分别为，满足． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理得到，，再结合正弦函数求值域即可解题. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又，所以 根据余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）． 所以； （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以，即取值范围为， 所以的周长范围为. 8．（25-26高一下·重庆渝中·期末）在中，角的对边分别是，已知S为的面积，且． (1)求角C的大小； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式代入求解即可； （2）根据正弦定理整理可得，再结合分类讨论判断的形状； （3）根据正弦定理进行边角转化，将面积问题转化为正弦型函值域问题，再结合正弦型函数性质求解范围. 【详解】（1）根据余弦定理：， 三角形面积公式：， 代入已知条件可得： ， 解得，又，故. （2）由正弦定理，代入得： ， 当，即，结合，得，为等边三角形； 当，即，则，与(1)中矛盾，舍去， 故为等边三角形. （3）已知，，由正弦定理，得，， 且. 因为为锐角三角形， 所以， 面积，代入， ， 由得，故， 代入得：， 故的取值范围为. 9．（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知向量，记函数．在中，若． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式，将化简为正弦型函数的形式.代入，结合为三角形内角的范围，解三角方程求. （2）利用正弦定理将边比转化为对角正弦比，再根据锐角三角形的条件，解出角的精确范围，最后利用三角函数单调性求出值域. 【详解】（1）由题意，数量积为： ，化简得： ， 利用辅助角公式合并：. 因为，所以：，在中，，故. 在此范围内满足正弦值为的解为：（另一解得舍去，得舍去），解得. （2）由（1）知，则,即. 因为为锐角三角形，所以且. 代入得：,解得：. 由正弦定理得：，展开分子：，因为，单调递减，取值范围为. 所以：，故. 10．（25-26高一下·新疆克孜勒苏·期末）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的值． (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理求解即可. （2）根据（1），利用正弦定理和正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为， 则， 由余弦定理，． 又因为，所以． （2）由正弦定理可得， 则. 因为是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以的取值范围是． 11．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，． (1)求的值； (2)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得出，利用三角恒等变换以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，根据为锐角三角形可得出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可得出的取值范围，即可得出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得该三角形面积的取值范围. 【详解】（1）因为，，且，． 所以， 即， 即， 即， 所以， 由正弦定理可得， 因为、、，所以，，， 所以，即，则，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故， 故， 故的面积的取值范围是. 12．（25-26高一下·宁夏银川·期末）在中，，为边上一点，且，. (1)若，求： ①； ②的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在中，利用正弦定理可得，即可得；（ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，，则，且为锐角， 在中，由正弦定理得，解得， 且，可得，则； （ii）因为，，， 所以， 又因为，可得. 且， 则， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以. （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， 则， 因为，则，且， 可得 ， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 13．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理及同角公式求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. （3）利用正弦定理及和差角的正弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，，由平分交于点，得， 即，而，整理得， 由余弦定理得， 而，解得，所以的周长为. （3）由（1）得，令， 由为锐角三角形，得，则， 由正弦定理得，则， ， 所以的取值范围是. 14．（25-26高一下·广东韶关·期末）在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. (1)求证： ； (2)求的最小值； (3)若，求△周长的取值范围. 【答案】(1)已知，由正弦定理，可得， 化简得，因为△为锐角三角形，所以，所以. (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将等式边化弦后化简，得到，由锐角三角形确定后得证; （2）利用三角恒等变换将化简为，再结合锐角三角形条件得，最后利用基本不等式得最小值； （3）利用正弦定理将用表示，把周长转化为关于的函数，最后利用的范围求周长的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由题， 因为△是锐角三角形，，， 所以，则，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，最小值为. （3）由（2）可知，即， 因为， 所以， 周长； 因为，所以， 则周长 15．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，为的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式，结合差角的正弦及正切函数性质求出范围. （3）利用数量积的运算律，结合正余弦定理及和差角的正弦求解. 【详解】（1）在锐角中，由及余弦定理、三角形面积公式， 得，则， 即，由，得，解得， 所以. （2）由（1）得，又为锐角三角形，则，解得， 由及正弦定理，得， 而，因此， 所以面积的取值范围是. （3）由（1）知，又，由正弦定理，得， 由余弦定理得，则， 由为的中点，得，则， 由（2）令，则， ， 因此，， 所以线段长的取值范围是. 16．（25-26高二下·湖南长沙·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围; (3)当取得最大值时，如图所示，在所在平面内取一点D，使得线段，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积运算和余弦定理计算即可得； （2）结合（1）中所得，可将转化为与有关式子，再利用的范围得到的范围； （3）结合（2）中所得，可得为等边三角形，再设，，，利用正弦定理与余弦定理及面积公式可表示出面积，即可得其最大值. 【详解】（1）由平面向量数量积运算和余弦定理， 知，即， 即， 故，又，所以； （2）由（1）得，，得， 所以 ， 由，所以， 所以， 所以的取值范围是； （3）当取得最大值时，，解得，故为等边三角形， 令，，， 则，所以， 又， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为． 17．（25-26高一下·福建·阶段检测）如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，当取何值时，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，面积取最小值为 【分析】（1）先由余弦定理可得，进而可得，从而可得正三角形并求得其周长，即为防护网的长度； （2）先设，由面积关系可得，又在中由正弦定理得，两式联立可得并结合角的范围可得所求角； （3）先在中由正弦定理得，进而可得，由角的范围及正弦函数性质可得面积的最小值. 【详解】（1）在中，，，， 则， 在中，由余弦定理得： ， 即，所以，因此， 所以，即， 因此中，，，且 所以为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. （2）设， 因为，即，可得①. 在中，,, 由正弦定理，得：②， 联立①②得，即，又因为，所以， 因此，解得，所以. （3）设，由（2）知：， 在中，由得：， ， 因为，所以，，， 所以当且仅当，有最小值， 因此，即时，面积取最小值为. 18．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． （3）由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第21讲 解三角形最值与范围问题 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求周长的最值与范围 核心知识 周长 正弦定理 余弦定理 基本不等式 三角形两边之和大于第三边 内角和 方法技巧 1.已知一角及其对边时先用余弦定理建立边长等式再结合基本不等式求出最大值 2.正弦换元法将边长全部转化为角的三角函数再利用三角恒等变换转化为型函数求值域 3.范围问题注意两边之和大于第三边得到下界 4.定角定底边模型可用外接圆辅助画图分析 【经典例题1】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【经典例题2】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【巩固练习1】（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【巩固练习2】（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【巩固练习3】（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【题型2】 求面积的最值与范围 核心知识 三角形面积公式 基本不等式 余弦定理建立边与角的约束关系 方法技巧 1.已知一角时面积表达式优先保留该角的正弦值再求两条邻边乘积的最值 2.定角对定边模型借助外接圆观察动点轨迹判断高的最值 3.边角互化转化为三角函数值域问题求解 4.范围问题最后检验内角取值边界能否取等 【经典例题1】（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【经典例题2】（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【巩固练习1】（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【巩固练习2】（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【巩固练习3】（2026·广西桂林·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【题型3】 求线段和差的最值与范围 核心知识 三角形三边关系 正弦定理边长与内角互相转化 三角函数值域 方法技巧 1.线段和的最值常转化线段差最值转化 2.换元为三角函数时先求出内角的取值区间 3.利用三角函数单调性求出目标式取值范围 4.两边之差小于第三边用于快速限定下界上界 【经典例题1】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【经典例题2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【巩固练习1】（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【巩固练习2】（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【题型4】 求夹角的最值与范围 核心知识 余弦定理 在区间单调递减余弦值越大角度越小余弦值越小角度越大 内角范围 方法技巧 1.把目标角的余弦写成边长表达式借助基本不等式求出的最值 2.根据余弦函数单调性反向推出角的范围 3.正弦值求角范围时要区分锐角钝角防止出现多解 4.定边模型可画图观察动点轨迹判断夹角临界位置 【经典例题1】（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【经典例题2】（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【巩固练习1】（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【巩固练习2】（23-24高三上·河南信阳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)求的取值范围. 【巩固练习3】（2023·四川宜宾·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知是和的等比中项.则的取值范围为_____________. 【题型5】 比值类的最值与范围 核心知识 正弦定理 边长之比可以直接转化为对应内角正弦之比 三角恒等变换公式 方法技巧 1.边的比值优先边化角转化成两个内角正弦的比值 2.利用内角和消掉一个变量只剩单角函数 3.确定剩余内角的取值区间再求三角函数值域 4.出现齐次分式也可全部转化为正弦处理 【经典例题1】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【经典例题2】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【巩固练习1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【巩固练习2】（2026·重庆·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【巩固练习3】（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【题型6】 与角平分线有关的最值与范围 核心知识 角平分线长公式 角平分线定理 面积分割 方法技巧 1.将大三角形拆分为两个小三角形利用面积相加建立等式 2.选用角平分线长公式列出目标表达式 3.通过边角互化或者基本不等式求最值 4.注意角平分线分出的两个小角相等 【经典例题1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知内角的对边分别为， ． (1)求A； (2)A的平分线交于点，，求的最大值． 【经典例题2】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． (1)求角的大小． (2)若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若是的角平分线，且，求的最小值． 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)若． （ⅰ）求A； （ⅱ）已知的面积为，求b，c． (2)设的角平分线交于点D，若，求的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【题型7】 与中线有关的最值与范围 核心知识 阿波罗尼斯中线长公式 向量中线公式 方法技巧 1.中线最值优先选用中线长公式转化为两条邻边平方和的关系式 2.已知一边对角条件下用余弦定理+基本不等式求解 3.向量法平方展开可以快速得到边长关系 4.定底边时中线端点轨迹可以用圆辅助分析 【经典例题1】（25-26高一下·广东汕头·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角A； (2)若，的面积为，求； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【经典例题2】（24-25高一下·吉林·阶段检测）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【巩固练习1】（25-26高一下·河北·阶段检测）已知的三内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为线段的中点，当中线最短时，求的周长. 【题型8】 几何图形中的最值与范围 核心知识 多边形四边形内拆分多个三角形 正弦定理余弦定理面积公式基本不等式 动点轨迹外接圆模型 方法技巧 1.将复杂几何图形分割成若干三角形标记已知边角 2.选定一个三角形作为突破口求出公共边长 3.建立目标量关于单变量的函数表达式 4.画出动点轨迹找到取到最值时的临界位置 5.检验边界取值能否成立 【经典例题1】（25-26高一下·广东广州·期末）在中，已知，的面积满足：． (1)求的大小； (2)如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记． （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）求三角形与四边形面积比值的最大值． 【经典例题2】（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）. A．若                B．若 (1)求角的大小； (2)若在内部且满足，，求线段的长度； (3)求锐角的内切圆半径的最大值. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，且． (1)求； (2)若角的平分线交于，，求的周长； (3)若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 课后过关检测 一、填空题 1．（25-26高一下·云南丽江·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若边上的高为，当取得最大值时，____________． 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 3．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 二、解答题 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，当时，求面积的取值范围． 6．（25-26高一下·江西南昌·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知内角，B，C的对边分别为，满足． (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 8．（25-26高一下·重庆渝中·期末）在中，角的对边分别是，已知S为的面积，且． (1)求角C的大小； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求S的取值范围． 9．（25-26高一下·安徽合肥·期末）已知向量，记函数．在中，若． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 10．（25-26高一下·新疆克孜勒苏·期末）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的值． (2)求的取值范围． 11．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，． (1)求的值； (2)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 12．（25-26高一下·宁夏银川·期末）在中，，为边上一点，且，. (1)若，求： ①； ②的面积； (2)求的取值范围. 13．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 14．（25-26高一下·广东韶关·期末）在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. (1)求证： ； (2)求的最小值； (3)若，求△周长的取值范围. 15．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，的面积记为，且． (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，为的中点，求线段长的取值范围． 16．（25-26高二下·湖南长沙·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)求的取值范围; (3)当取得最大值时，如图所示，在所在平面内取一点D，使得线段，，求面积的最大值． 17．（25-26高一下·福建·阶段检测）如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，当取何值时，可使的面积最小？最小面积是多少？ 18．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $