2026-2027学年高二上学期开学考数学模拟卷03（河北省适用）

**基本信息** 聚焦高二开学知识衔接，以立体几何、三角函数、解三角形为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、运算推理及模型应用能力，适配开学学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面关系、向量模、解三角形解的个数|基础概念辨析，如第2题线面位置关系推理| |多选题|3/18|解三角形综合、平行六面体体积|选项分层，如第9题结合面积与外接圆考查推理能力| |填空题|3/15|函数单调性、正方体动态问题|动态探究，如第14题动点与线面角关系体现空间观念| |解答题|5/77|四棱锥证明与体积、向量三角函数综合|多问递进，如第16题结合锐角三角形周长考查模型应用，第18题异面直线与二面角体现逻辑推理|

2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷（3）（河北省适用） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A A D B B ABD ABD 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】. 2．D 【详解】对于A,可能在平面内，可能平行于，A错误； 对于B,可能与相交，也可能平行，B错误； 对于C，与可能平行，可能异面，也可能相交，不一定垂直，C错误； 对于D，根据线面垂直的性质定理可知D正确. 3．A 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 4．A 【详解】由正弦定理得，所以， 又因为是钝角，所以只能是锐角，即有唯一解，则解的个数为1． 5．A 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为，连接，， 过作交于,因为，，则， ，， 又易知平面，所以平面， 又易得，所以，则， 在直角三角形中，，则，即棱台的高. 故，    6．D 【详解】根据图像信息，逐步确定函数的参数：函数的最大值为，最小值为得； 图像中从到为一个完整周期，故，则； 根据以上信息可知函数形式为，代入点得： ，，解得， 则最终解析式为：. 7．B 【详解】 设，， 则，则， 所以，即，故B正确. 8．B 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，，所得截面周长为， 故选：B. 9．ABD 【详解】对于A，由余弦定理知，因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以最大，由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为，所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确. 10．ABD 【详解】 对于三棱锥.因平面平面，且平面， 所以平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值， 等于两平面间的距离.因此三棱锥以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的，高与六面体的高相等，故体积为.选项A正确. 对于三棱锥.由平行六面体的性质得，且平面， 故平面.故在上运动的点距离平面的距离为定值. 不妨让与点重合，三棱锥以为底， 其体积与三棱锥的体积相等.对于三棱锥， 以为底，六面体以平行四边形为底， 则三棱锥的底面积为六面体的底面积的一半，高相等，故体积为.选项B正确. 对于三棱锥.直线与平面相交于， 故与平面不平行.三棱锥以为底， 动点距离底面的距离随点运动而变化，故该三棱锥的体积并非定值.选项C错误. 对于三棱锥.因在平面内，故平面， 所以无论运动到何处，其到平面的距离为定值.不妨设与点重合， 三棱锥的体积即与三棱锥的体积相等.该三棱锥以为底， 六面体以平行四边形为底，则该三棱锥的底面积为六面体的一半，高与六面体的高相等，故体积为.选项D正确.故选：ABD 11．AC 【详解】对于选项A：可知函数的最小正周期为，所以，故A正确； 对于选项B：当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于选项C：因为函数的值域为， 若，则或， 可得，，所以当时，取到最小值为，故C正确； 对于选项D：因为函数的值域为， 若，则，且为最大值点，为最小值点， 可得，，所以当时，取到最小值为，故D错误. 12．(0,1] 【详解】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得，所以的取值范围为. 13． 【详解】依题意，， ， 令， 在中，因为，所以，则，则， 则当且仅当时，有最小值， 因此，解得，故， 由余弦定理得， 则，为直角三角形，，， 设，，， 于是 ，当且仅当时取等号， 当时，，所以的取值范围是. 14．①③④ 【详解】如图， 在①选项中，因为为正方体，所以平面平面，又平面，所以平面，故①正确； 在②选项中，当为线段的中点时，因为，所以就是直线与直线所成角.连接，在中，，所以， 即直线与直线所成角的正切值为，故②错误； 在③选项中，因为平面，所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，③正确； 在④选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，④正确. 15．【详解】（1） 是的中点，是的中点，， 又平面，平面，平面. （2）底面，， 又，且，平面，而平面，平面平面 （3）面，，，是正方形，面积 棱锥体积． 16．【详解】（1）∵ ，， ∴ .∴ . 函数的最小正周期.令， 解得，即的单调递增区间为. （2）∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则，∴ ，得. 由正弦定理得，∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长，∵， ∴ . ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 17．【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以，即. 因为，所以.故. 由于，所以.又，所以. （2）由，得.由正弦定理，得 . （3），，， 因为是的中点，所以， 所以 ，所以，即. 18．【详解】（1）过B作，使，连接、，则为与所成角或其补角， 在中，得，在中，得，在中，在中， ．所以与所成的角为． （2）由（1），，，平面， 平面，，所以为与平面所成角， 在中，． （3）延长、交于一点M，连，则为面与面的交线， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 过D作于点N，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为面与面所成二面角的平面角， 因为，，，所以， 又，又， 所以 在中，． 19．【详解】（1）时， ， 所以最小正周期，令 解得， 故最小正周期为，单调递增区间为. （2）（i） 由对称性知为对称轴，此时 又因为，所以 平方整理得，解得. （ii）由(i)，得， 所以 令，，则，得 代入化简： 方程化为，， 二次函数开口向上，对称轴： 时，最小值 时，，时，. 要求方程在至少两个不同解，等价于直线与在至少两个对应的交点：当：对应或. 当：或，对应两个不同，当时，，对应一个， 综上取值范围：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷（3）（河北省适用） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（     ） A． B． C．7 D．21 4．在中，内角所对的边分别为若，，，则解的个数为（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 5．已知正三棱台，上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8，侧棱长为，则此三棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 6．如图是的图象的一部分，则它的解析式为（    ） A． ．C．D． 7．在中，均在上，，则（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．在中，角所对的边分别为，且，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．的面积为4 D．外接圆的面积为 10．平行六面体的体积为，点在线段上运动，则下列三棱锥中，体积为的是（ ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 11．已知函数，则（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 13．已知中，，存在实数，使得向量的模有最小值，若点是线段上任一点，则的取值范围为__________． 14．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．. 求证：(1)平面； (2)平面平面； (3)求四棱锥的体积． 16．(本小题15分）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 17．(本小题16分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角B； (2)若，，求c； (3)若，，D是AC的中点，求BD的长. 18．(本小题17分）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与面所成的角； (3)平面与平面所成锐二面角的正切值． 19．(本小题17分）已知函数 (1)若，求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数满足 （i）求的值； （ii）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $