专题02 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的三角形（四边形）面积问题 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达定理，求弦长和原点到直线的距离，进而求出三角形的面积. 【解答过程】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线倾斜角为45°，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，， 联立，消去并整理得：， 所以，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， ， ，即， 解得或， 当时，直线的方程为，所以直线经过点， 此时或与点重合，不满足题意； 所以直线的方程为，即， 所以， ， 点到直线的距离为， 所以. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． (1)求的方程； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆定义求得，根据离心率求得，进而求得，即可得解； （2）由的面积求得，即点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点，求出直线方程，与椭圆方程联立求得，即可求得的面积. 【解答过程】（1）因为的周长为，所以， 又，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）有，，设， 因为的面积是，所以， 由于，所以点A为椭圆的短轴端点，根据椭圆对称性，不妨点A为下顶点， 所以直线方程为：， 所以，所以，所以或， 所以，代入得或（舍去）， 所以的面积为. 3．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线的倾斜角为，且与椭圆相交于两点.求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据已知条件求出的值，再利用椭圆中 的关系，计算得到，代入即可求出椭圆的标准方程； （2）先由直线倾斜角得到斜率，并结合点写出直线方程；然后将直线方程与椭圆方程联立整理得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积；再通过弦长公式求出弦长，并利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离 ；最后代入三角形面积公式求解即可. 【解答过程】（1）因为椭圆的长轴长为，即，所以 ， 则离心率 ，代入得， 所以， 所以椭圆的方程为：. （2）因为直线过点，倾斜角为， 所以斜率，直线方程为： 则联立直线与椭圆方程： 所以，整理：， 设，，由韦达定理： 所以弦长 ， 原点到直线 的距离： 所以. 4．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由椭圆过点且离心率为列方程求解即可； （2）设出直线的方程及，联立方程根据根与系数的关系可得到的表达式，列方程即可直线方程中的参数. 【解答过程】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以. 因为椭圆过点，所以， 将代入得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，所以椭圆的右焦点为， 设直线的方程为，，如图， 所以， 由消去得， 所以， 所以， 解得，所以直线的方程为，即. 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆的上顶点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得的关系式，求解可得椭圆的方程； （2）设，求得直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，进而可求得的面积. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）直线的方程为，即． 设， 联立。化简得，所以. ． 又点到直线的距离， 所以的面积为，即的面积为． 6．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、、即可得解； （2）设，，，表示出直线、、的方程，联立直线与直线的方程，求出，最后根据计算可得. 【解答过程】（1）依题意可得，解得， 椭圆的方程为； （2）设，，， 可得，即，则， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理得， 即，即， 所以，所以， 又， 所以与的面积之比为. 题型二 椭圆中的面积的最值与范围问题 7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知过点的椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率不为零的动直线，与椭圆交于两点，求（为原点）面积的最大值. 【答案】(1)； (2)1. 【解题思路】（1）根据椭圆过点以及离心率为，结合椭圆的性质，联立方程组求解可得，进而得到椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，结合基本不等式求出面积的最大值即可. 【解答过程】（1）由题意，椭圆的离心率为，即，所以， 又，所以，即， 所以可设椭圆的方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意，设直线的方程为，， 与椭圆的方程联立，即，化简可得， 则①，且，， 所以， 所以， 又点到直线的距离为， 所以 ， 故当，即时，的面积有最大值1，此时满足①和， 例如：当 时，，满足 且斜率 ，符合题意， 故最大值可以取到， 所以面积的最大值为1. 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)1. 【解题思路】（1）根据给定条件，得出关于的方程组求解. （2）设出直线的方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值. 【解答过程】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由点在，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去得，， ，则的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为1. 9．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求的方程． (2)设的左、右焦点分别为，，若为上位于轴上方的两个动点，且． （ⅰ）若为的上顶点，求直线的方程； （ⅱ）求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【解题思路】（1）由离心率得，再根据点在椭圆上，解出即得方程； （2）（ⅰ）结合题意和图象可得直线的方程为，再联立椭圆方程求得交点坐标，根据对称性求点坐标，进而求解直线的方程. （ⅱ）设直线与的另一个交点为．根据题意得四边形的面积，设直线的方程为，联立椭圆方程可得，结合韦达定理和弦长公式代入可得可得，再结合基本不等式求解范围即可. 【解答过程】（1）设的半焦距为（）． 由离心率，得，整理得． 因为过点，所以，故， 解得，所以，故的方程为． （2）（ⅰ）如图，设直线与的另一个交点为． 当为的上顶点时，， 又，所以直线的方程为． 由，得，由，得， 所以，则． 由及椭圆的对称性可知，点，关于原点对称， 所以．所以， 故直线的方程为，即. （ⅱ）连接，，，由及对称性可知， 四边形的面积． 设直线的方程为． 由，得， 所以，． 所以． 令，则，， 当且仅当，即时等号成立． 所以四边形的面积的最大值为．    10．（2026·湖南岳阳·一模）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）； （ii） 【解题思路】（1）利用离心率推得，结合点在椭圆上得，解得，即得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算即可； （ii）利用（i）的结论结合求得，分别表示出，借助于韦达定理和基本不等式即可求得的最大值. 【解答过程】（1）由题可知，，化简得， 又因为在椭圆上，则， 联立解得，故椭圆的方程为. （2）（i）依题意，设直线的方程为， 则联立，消去得， 其中，即， 设，则. 则 ； （ii）由（i）可得，解得，即， ，且. 因，， 则 令，则， ，当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 11．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【解题思路】（1）根据平行线的性质，结合代入法进行求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆的方程联立，根据一元二次方程根的判别式、韦达定理，结合假设法、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据椭圆弦长公式，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，所以， 因为∥，所以，所以， 又因为，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 假设存在点，使得， 则， 即， 即，所以， 所以，所以， 所以存在点，使得. （3）由（2）得 因为点到直线的距离 所以的面积 令，则，， 因为当时，，当且仅当时，取等号， 所以，当且仅当，即时取最大值， 所以的面积的取值范围为. 12．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. （2）证明：直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 题型三 双曲线中的三角形（四边形）面积问题 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与双曲线所过点列出方程，解得，即可确定双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，写出韦达定理，再运用弦长公式，即可得解. 【解答过程】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 14．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【解答过程】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 15．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出的方程； （2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积. 【解答过程】（1）过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程可得，解得； 因此可得，又，且， 解得， 故双曲线的方程为． （2）如图所示： 联立，解得， 所以四边形的面积. 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）易得，再由左右焦点分别为，得到求解； （2）设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得弦长AB，再求得点到直线AB的距离，利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以， 又因为，分别为双曲线的左、右焦点， 所以，，， 所以双曲线C的标准方程为； （2）由题意设直线AB方程为， 与双曲线方程联立， 消去x得， 由韦达定理得， 则， 点到直线AB的距离为， 所以. 17．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率公式和已知点坐标，列出关于的方程组，解出，得到双曲线方程； （2）设出点的坐标，求出直线与的交点，利用面积相等的条件列出方程，结合双曲线方程求解点的坐标. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点，则，已知，，则. 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，得， 则. 因为，即，所以 点到直线的距离. 因为与的面积相等， 所以，即. 代入可得： 因为，所以，即. 由可得：. 当时，展开化简得，解得. 将代入，解得. 当时，展开化简得， 此方程的判别式，方程无解. 所以点的坐标为或. 18．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）存在， 【解题思路】（1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论； （ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【解答过程】（1）设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． （2）（i）证明：由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii） 所以，即存在，符合条件．    题型四 双曲线中的面积的最值与范围问题 19．（2026·辽宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验； （2）设直线：，联立方程，利用韦达定理结合对称性分析可知直线与的交点为，再求面积，利用单调性求最值. 【解答过程】（1）设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为. （2）由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则 ， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 20．（25-26高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【解答过程】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    21．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为 (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）6；（ii）存在， 【解题思路】（1）根据双曲线的焦距、渐近线方程、之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据双曲线弦长公式，结合二次函数的最值性质进行求解即可； （ii）根据（i）的弦长结论进行化简求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线焦距为，渐近线方程为， 所以，解得， 所以的方程为 （2）（i）根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 因为当时，有最大值， 且当时，， 所以当时，， 所以，当时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. （ii）由（i）知： ， 显然为常数，故存在常数，使得． 22．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【解题思路】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以，解得，， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）证明：易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴. ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为. 23．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解答过程】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 24．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)6； (3) 【解题思路】（1）求出双曲线渐近线，设出点，应用点到直线的距离公式即可； （2）设出直线，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理表示出两点纵坐标的差的绝对值，则，再求其最大值； （3）联立直线与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1），（2）中的结论分别表示出与，代入求范围. 【解答过程】（1）证明：由题意知，双曲线的渐近线方程为， 设，，则. 设点到两条渐近线的距离为， 则， 则点到两条渐近线的距离之积为定值； （2）    设直线的方程为，因为直线与双曲线的右支相交，故. ，有. . 令，则（当且仅当时取等号）， 则面积的最小值为； （3）由，得，则， 得.同理，可得. 所以，. 故，，因为，所以. 所以，的取值范围为. 题型五 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 25．（2026·浙江·一模）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线的定义解出p的值，得到点的坐标； （2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到到直线距离，最终求得的面积 【解答过程】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以. 26．（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 【答案】(1)标准方程为，准线方程为 (2) 【解题思路】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据，求面积即可. 【解答过程】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 27．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【解答过程】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 28．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0的直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）方法一：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程；方法二：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程. （2）先求出的垂直平分线方程，然后求得点到直线的距离，进而可求出的面积. 【解答过程】（1）方法一：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3，所以． 所以直线的方程为. 方法二：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3， 所以，所以． 所以，直线的方程为． （2）的垂直平分线方程为，即， 所以，点到直线的距离， 所以． 29．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由求出即可求解； （2）设，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    30．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. 【解答过程】（1）∵， ∴，则； （2）证明：设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则 ， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 题型六 抛物线中的面积的最值与范围问题 31．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值. 【解答过程】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 32．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦半径得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）设，，联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，表达出，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）依题意得，点在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以抛物线E的方程为. （2）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 33．（25-26高二上·江西·期末）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；② 【解题思路】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解； （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证； ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由抛物线，可得焦点，准线为， 因为点，可得，解得， 又因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：①由（1）知，设的斜率为，因为，则的斜率为， 则的方程为，联立方程组，整理得， 设，则， 则， 同理可得：， 所以， 所以为定值. ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：，， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为. 34．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【解答过程】（1）分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    35．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或； （ii）32 【解题思路】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【解答过程】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    36．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线 的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②40 【解题思路】（1）由抛物线的方程表示焦点为的坐标，由直线方程的点斜式表示直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立表示出过焦点的弦长，计算即可. （2）①设出直线的方程，与抛物线联立，用韦达定理找出坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. ②利用三角形面积公式结合二次函数的基本性质，即可求得与面积和的最小值． 【解答过程】（1）抛物线 ,抛物线的焦点坐标为， 当直线的斜率为1时，直线的方程为， 联立，得：， 由，解得：， 抛物线的方程为． （2）①证明：由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以，， 设，，则直线的方程为：， 如图所示， 联立，得：，， 同理： ，. 当直线的斜率存在时，， 直线的方程为：， 化简，得，即 令，则，直线过定点． 当直线的斜率不存在时，易知， 代入，得：， 直线的方程为：，直线过定点． 综上，直线过定点． ②由①知， ， ， 当且仅当时等号成立， 与面积和的最小值为40． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线中的面积问题大题（36题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的三角形（四边形）面积问题 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求的面积. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交于，且的周长是8． (1)求的方程； (2)若的面积是，求的面积． 3．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线的倾斜角为，且与椭圆相交于两点.求的面积. 4．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 5．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一点，斜率为1的直线过点，且与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆的上顶点，求的面积. 6．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆：（）的两个顶点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为轴上一点，过点作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过点作的垂线交直线于点.求与的面积的比. 题型二 椭圆中的面积的最值与范围问题 7．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知过点的椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率不为零的动直线，与椭圆交于两点，求（为原点）面积的最大值. 8．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值. 9．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求的方程． (2)设的左、右焦点分别为，，若为上位于轴上方的两个动点，且． （ⅰ）若为的上顶点，求直线的方程； （ⅱ）求四边形的面积的最大值． 10．（2026·湖南岳阳·一模）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 11．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 12．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 题型三 双曲线中的三角形（四边形）面积问题 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 14．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 15．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积． 17．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标. 18．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型四 双曲线中的面积的最值与范围问题 19．（2026·辽宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 20．（25-26高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 21．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为 (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，与双曲线的右支分别交于两点和两点. （i）求四边形面积的最小值； （ii）是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 23．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 24．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. (1)证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； (2)求面积的最小值； (3)记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 题型五 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 25．（2026·浙江·一模）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 26．（25-26高二上·宁夏·期末）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为2，求的面积. 27．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 28．（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0的直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 29．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 30．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 题型六 抛物线中的面积的最值与范围问题 31．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 32．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值． 33．（25-26高二上·江西·期末）已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ①求证：为定值； ②求四边形面积的最小值． 34．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 35．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 36．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知抛物线 的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $