专题02 函数性质及其应用大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 函数性质及其应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用函数的性质求解析式 1．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数为上的奇函数，当时，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 3．（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 题型二 利用函数的性质求最值 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 8．（25-26高一上·甘肃·期中）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 9．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 10．（25-26高一上·江苏常州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若函数，求函数的最小值； (3)已知是函数的最小值，若，解不等式. 题型三 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 11．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 12．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 14．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 题型四 函数不等式恒（能）成立问题 16．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·河北·期末）已知函数满足，且当时，． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)若，且，求的取值范围． 题型五 函数的周期性与对称性 21．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)若时，，求当时，的解析式； (2)若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； (3)若函数的图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 22．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 23．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 24．（25-26高一上·贵州遵义·期末）定义在上的函数，满足对于任意成立，且不恒为0. (1)求的值，判断的奇偶性，并证明. (2)求证：. (3)如果. ①求证：； ②求的值. 25．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 题型六 抽象函数性质综合 26．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 27．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 28．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 29．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 30．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 题型七 函数新定义问题 31．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 32．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 33．（25-26高一上·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 34．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，对于定义域为的函数与，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． (1)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (2)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若不是常值函数，且对任意、，与在上都满足“性质”．求证：存在实数、使得． 35．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数性质及其应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用函数的性质求解析式 1．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数为上的奇函数，当时，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再求出在上的解析式，即可得解； （2）首先利用定义法证明的单调性，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）因为函数为上的奇函数，当时，且， 所以，解得， 所以当时； 设，则，所以， 所以； 综上可得，； （2）因为，， 设任意的且， 所以 ， 因为且，所以，，， 所以，则，又， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以的取值范围为. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【解答过程】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 3．（25-26高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据单调性的定义证明单调性； （2）根据奇函数的定义及性质求函数解析式即可. 【解答过程】（1）函数在上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减. （2）因为是定义域为上的奇函数， 所以， 当时，， 当时，，此时， 由，所以， 即当时，， 所以. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【解题思路】（1）利用函数的新定义来确定新函数值即可； （2）利用比较两个函数的大小，再得到分段的新函数； （3）利用二次函数性质，结合分类讨论思想，来求最小值即可. 【解答过程】（1）因为，，                          所以． （2）令， 若，则，，             当，即时，或；            当，即时，． 所以． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增．                 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为．                  令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时．                       当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 题型二 利用函数的性质求最值 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【解答过程】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 7．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为； (2). 【解题思路】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【解答过程】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 8．（25-26高一上·甘肃·期中）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. 【解答过程】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 9．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)在上单调递减.证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 10．（25-26高一上·江苏常州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若函数，求函数的最小值； (3)已知是函数的最小值，若，解不等式. 【答案】(1) (2)，； (3)答案见解析 【解题思路】（1）由函数奇偶性的定义即可求得解析式； （2）由题意可知时函数的解析式，代入中，求得的解析式为含有参数的二次函数，在对二次函数的对称轴分别在区间的左边，右边，中间三种情况分类讨论，即可求得函数的最值； （3）先求出函数的最小值，再因式分解，对根分类讨论即可. 【解答过程】（1）函数是定义在上的偶函数，且当时，， 所以当时，，， 所以. （2）函数， 当时，即，在递增，可得； 当时，即，； 当时，即时，在递减，可得. 综上的最小值. （3）由题易知， 整理不等式可得， 当时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为. 题型三 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 11．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）证明：对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 12．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据对称性可得，再根据单调性的定义分析证明即可； （2）根据奇函数定义可得，再根据单调性和定义域列式求解即可. 【解答过程】（1）证明：由题意可知：，解得，则， 且，可知是定义在上的奇函数， 所以符合题意，即， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域上单调递增. （2）因为是定义在上的奇函数，且， 则， 又因为在定义域上单调递增，则，解得， 所以不等式解集为. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. （2）证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 14．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2)在上单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值. （2）由（1）得的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证 （3）根据的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为在定义域上为奇函数， 所以，解得， 又，所以，解得. （2）由（1）得，， 则在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为在上单调递增，且为奇函数， 由，得， 所以，解得. 15．（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义证明即可. （2）根据给定的等式，利用增函数的定义证明即可. （3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得. 【解答过程】（1），证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. （2）证明：，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. （3）由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型四 函数不等式恒（能）成立问题 16．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据函数单调性定义证明函数在单调递减即可； （2）将不等式恒成立进行转化，然后构造新函数利用函数单调性得出相应的不等式恒成立，再利用基本不等式求最值即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． （2）当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 17．（2026高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 18．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【解答过程】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式 即可； （2）将问题转化为两个函数与在上值域关系，列式计算即可； （3）设得到在上单调递减，再根据减函数的定义即可求出. 【解答过程】（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 20．（25-26高一上·河北·期末）已知函数满足，且当时，． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增．证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）令，并将其代入，即可求出的值； （2）令，并将其代入原式，得到.任取，且，再令，并将其代入原式，利用所给条件，根据单调性的定义证明的单调性即可； （3）利用（2）的结论及条件将原不等式转化为，①. 令，其对称轴为.通过讨论对称轴与区间的位置关系，将①式能成立转化为函数在上的最小值，通过解不等式，即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）令，则有． 因为当时，，所以不恒成立，故； （2）在上单调递增．证明如下： 因为， 所以令，则有. 因为当时，，所以当时，， 所以，所以可得. 任取，且， 再令，可得，即． 因为，所以，所以，所以． 因为，所以可得，所以在上单调递增； （3）令，则有，因为，所以. 则由， 可得． 由（2）可知，在上单调递增，则有， 故，①. 令，其对称轴为. 若，即，则函数在上单调递增，要使①能成立， 须满足，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减， 在上单调递增，要使①能成立，须满足 ， 整理可得，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减，要使①能成立， 须满足 ，解得，所以． 综上，可知的取值范围为． 题型五 函数的周期性与对称性 21．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)若时，，求当时，的解析式； (2)若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； (3)若函数的图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增，证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求出 的解析式，再利用奇偶性写出即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）结合函数的奇偶性、对称性求解即可. 【解答过程】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 设，则， 则 即当时，. （2）证明：设，则， 由函数在上单调递增，有， 所以， 因此，函数在上单调递增. （3）证明：因为函数是奇函数， 所以对于任意，都有， 又图象关于直线对称，可得，即， 则，所以， 因此函数为周期函数，周期为12. 22．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称． (1)证明：是周期函数． (2)若当时，，求当时，的解析式． 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【解题思路】（1）根据对称性与奇偶性得到，即可得证； （2）当，则，且，即可得解. 【解答过程】（1）证明：由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在上的偶函数，有， 所以， 即是周期为的周期函数； （2）当时，，又是周期为的周期函数， 当，则， 所以， 所以，. 23．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【解答过程】（1）证明：函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2）因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 24．（25-26高一上·贵州遵义·期末）定义在上的函数，满足对于任意成立，且不恒为0. (1)求的值，判断的奇偶性，并证明. (2)求证：. (3)如果. ①求证：； ②求的值. 【答案】(1)；函数是偶函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)①证明见解析； ②. 【解题思路】（1）利用赋值法，令，可得；令，可得函数的奇偶性； （2）利用赋值法，令，可得，用代换，可得； （3）①利用，可证及，由此得；②根据函数是偶函数，且是周期为3的周期函数，求得的值，即可求得的值. 【解答过程】（1）令，得，即. 因为不恒为0，所以，即； 函数是偶函数. （2）证明：令，得，即对任意实数都成立. 用替换，即用替换，可得. （3）①证明：因为对于任意成立， 所以，所以； 且，所以. ②因为，所以，即. 由①，得，所以函数是周期为的函数. 所以. 所以. 由（2）得，. 所以，所以，即，解得或. 因为，所以，所以，所以. 又，所以. 所以. 25．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设函数的定义域为，满足，且当时，. (1)若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. (2)求，函数的函数表达式. (3)若存在，使得，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据函数的对称性，表示等式，由题干中的函数解析式，可得答案； （2）利用函数的等量关系，逐段递推，利用换元法，可得答案； （3）根据二次函数的性质，结合题意，可得函数在各个区间上的最值，利用一元二次不等式，可得答案. 【解答过程】（1）由函数与函数的图象关于成中心对称，则，即； 由函数与函数的图象关于成轴对称，则，即， 由，则 所以. （2）当时，，则， 令，即，则； 当时，，则， 令，即，则. 综上所述，. （3）当时，，易知函数的最大值为， 由，则函数在的最大值为，其中， 易知，，即， 则，即数列单调递增， 由，，则当时，， 令，化简可得，解得. 综上所述，的最小值为. 题型六 抽象函数性质综合 26．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，证明如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得：， ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 27．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【解答过程】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 28．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【解答过程】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2）证明：设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3）证明：由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，， 又因为，所以， 所以，故. 29．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）证明：由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 30．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【解答过程】（1）奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 题型七 函数新定义问题 31．（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1)； (2)函数不存在“优美区间”，理由见解析； (3) 【解题思路】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【解答过程】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 32．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【解答过程】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 33．（25-26高一上·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 【答案】(1)； (2)①； ②和 【解题思路】（1）根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解即可； （2）①判断出函数为奇函数，再根据函数的单调性及“负倒域区间”的定义求解； ②对的所在位置和符号情况进行分类讨论，再结合“负倒域区间”的定义与奇函数性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，且在上单调递增， 设的“负倒域区间”为，则， 可得，则是方程的两根， 化简得，解得或， 则的“负倒域区间”为. （2）对于①，因为， 且， 所以， 可得是奇函数，且当时，， 当时，，则， 则由二次函数性质得在上单调递增， 设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为. 对于②，当异号时，设， 此时，，不符合题意，则一定同号， 而是奇函数，则讨论在的情况即可， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，此时在上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为， 则最小值为，可得， 解得，发现矛盾，故排除，当在上时， 由对称性可得的“负倒域区间”为， 综上可知，函数在定义域内的所有“负倒域区间”为和. 34．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，对于定义域为的函数与，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． (1)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (2)设．若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若不是常值函数，且对任意、，与在上都满足“性质”．求证：存在实数、使得． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）根据不是常值函数可得存在，使得，设，其中，，利用反证法可证任意，有，故可得. 【解答过程】（1）因为在区间上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，故即. （2）由题设有在上为单调函数， 设， 则 , 因为，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或， 故或. （3）证明：因为对任意、，与在上都满足“性质”， 故为上的单调函数， 取，则，故为上的单调函数； 取，则，故为上的单调函数； 又当时恒成立或恒成立， 故对任意的有序数对， 恒成立或 恒成立，其中， 先考虑为上的单调增函数， 因为不是常值函数，故存在，使得， 设，不妨设，则， 若存在，设，其中， 若，当时，， 且， 当时，， 且， 考虑， 故，时或，这与为单调函数矛盾； 同理，时，或，这与为单调函数矛盾； 故即任意，有， 同理可证：当为上的单调减函数，上述结论也成立. 故，取， 故存在，使得. 35．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）由得，进而根据函数在上单调递增得，再结合即可求得答案； （2）假设函数存在“保值区间”，则必有或，再根据函数的单调性列方程，得到方程组无解即可证明； （3）先根据函数的对称性得，，进而得及与时的图象，再分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）解：设函数的“跟随区间”为，则的值域为 因为， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即是一元二次方程的两个实数根，解得或， 又因为，所以，. 所以函数的“跟随区间”为. （2）证明：函数的定义域为 假设函数存在“保值区间”（），则必有或， 因为在和上均为单调递减函数， 所以，两式作差得：，即 因为，所以，即， 将代入得，此方程无解， 所以函数不存在“保值区间”. （3）解：因为为奇函数， 所以函数的图象关于点对称，即 当时，， 所以当时，，， 所以， 当时，，且单调递增， 因为函数的图象关于点对称， 所以当时，，且单调递增， 所以，在与图象如图所示：        当时，函数，显然不存在“保值区间”， 若函数在存在“保值区间”（）， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以若在存在“保值区间”，则必有 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以在上有两个不同的解， 令，则，当且仅当时等号成立，且，时有两个不同的解； 所以， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以，若在存在“保值区间”，则必有， 由于函数在上单调递减， 所以， 两式作差得，即：， 将代入得， 即，所以， 所以，当，，时，在存在“保值区间” 综上，当实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $