专题05 幂函数（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题05 幂函数 ▌题型01 幂函数的概念 【典例1】【答案】C 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-2】【答案】A 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A ▌题型02 求幂函数的值及解析式 【典例2】【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 【变式2-1】【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【变式2-2】【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式2-3】【答案】 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. ▌题型03 求幂函数及复合函数的定义域与值域 【典例3】【答案】D 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式3-1】【答案】C 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【变式3-2】【答案】 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 【变式3-3】【答案】 【详解】设，代入点得， 所以， 所以，， 则，， 令，则， 所以， 函数的值域是. ▌题型04 幂函数的图像的应用 【典例4】【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式4-1】【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式4-2】【答案】D 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 【变式4-3】【答案】3 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． ▌题型05 与幂函数有关的求参数问题 【典例5】【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 【变式5-1】【答案】2 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 【变式5-2】【答案】 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 【变式5-3】【答案】B 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 ▌题型06 幂函数的单调性及应用 【典例6】【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式6-1】【答案】D 【详解】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 【变式6-2】【答案】C 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 【变式6-3】【答案】B 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. ▌题型07 幂函数的奇偶性及应用 【典例7】【答案】C 【详解】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 【变式7-1】【答案】B 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 【变式7-2】【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 【变式7-3】【答案】D 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. ▌题型08 幂函数的综合应用 【典例8】【答案】ACD 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 【变式8-1】【答案】2 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 此时函数， 则时，函数取得最小值， 则，解得. 故答案为：2. 【变式8-2】【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 【变式8-3】【答案】 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 幂函数 （题型突破·举一反三） 题型01 幂函数的概念 1 题型02 求幂函数的值及解析式 2 题型03 求幂函数及复合函数的定义域与值域 4 题型04 幂函数的图像的应用 6 题型05 与幂函数有关的求参数问题 8 题型06 幂函数的单调性及应用 10 题型07 幂函数的奇偶性及应用 12 题型08幂函数的综合应用 14 ▌题型01 幂函数的概念 幂函数的概念：一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 幂函数的特征: (1)xα 的系数是1; (2)xα的底数x 是自变量; (3)xα 的指数α 为常数. 【典例1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-2】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A ▌题型02 求幂函数的值及解析式 一、必备条件 1. 标准形式为y=xα，系数必须为1，不可出现常数、其他系数； 2. 底数只能是单一自变量x，不能是2x、x+1等复合式； 3. 定义域由指数α决定，求函数值时自变量必须在定义域内。 二、解题要点 1. 求解析式：设标准幂函数，代入已知点坐标，解出指数\alpha，写出完整解析式； 2. 求函数值：先验证自变量在定义域，再代入解析式计算； 3. 易错提醒：区分幂函数与指数函数，幂函数底数为变量、指数为常数；若含参数，需保证系数为1，再分类讨论定义域。 【典例2】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 【变式2-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【变式2-2】（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式2-3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. ▌题型03 求幂函数及复合函数的定义域与值域 一、幂函数 1. 定义域由指数α决定：分数指数、负指数需保证底数不为0，偶次根式底数非负； 2. 值域随定义域变化，α>0时在第一象限单调递增，α<0时单调递减； 3. 易错点：不可忽略x=0处是否有定义，区分奇偶指数对应的奇偶图像。 二、复合函数y=f[g(x)] 1. 定义域：内层g(x)的值域必须是外层f(t)定义域的子集，分步解不等式； 2. 值域：先求内层g(x)范围，再将其作为外层自变量范围，逐层计算； 3. 注意换元后新元取值限制，不可直接忽略内层函数边界，同时避开分母、根号、对数限制。 三、综合要点 求定义域优先列全限制条件（分母、根式、幂指数），值域遵循由内到外逐层推导，含参数时分类讨论自变量取值范围，防止出现漏解、错解。 【典例3】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 【变式3-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026高一上·广东中山·专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ 【答案】 【详解】设，代入点得， 所以， 所以，， 则，， 令，则， 所以， 函数的值域是. ▌题型04 幂函数的图像的应用 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象判断幂指数大小,相关结论为: 在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴; 在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴. (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式4-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式4-2】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 【变式4-3】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． ▌题型05 与幂函数有关的求参数问题 幂函数含参题型解题注意事项： 1. 求参数值（判定幂函数） 幂函数标准式y=xα，x前系数必须严格等于1，若式子带系数、常数项，要先令系数为1，同时舍去使解析式不成立的参数；求出参数后必须带回检验定义域，排除无意义解。 2. 由函数值求参数范围 先根据指数确定幂函数定义域，再结合不等关系分类讨论；区分α>0、α<0两种单调性，不等号方向随单调性改变，不可直接消去自变量，还要避开x=0无定义的情况。 3. 利用单调性求参数 幂函数在第一象限单调性只看指数：α>0递增，α<0递减；若定义域包含正负区间，需结合函数奇偶性综合判断，不能仅依靠第一象限单调性，含零区间要单独验证端点是否可取。 4. 通用易错点 所有参数解完后务必检验：一是满足幂函数定义，二是自变量在有效定义域内，三是符合题干单调性、大小关系条件，避免增根、漏解。 【典例5】（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 【变式5-1】（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 【变式5-2】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 ▌题型06 幂函数的单调性及应用 1.幂函数的单调性 (1)如果α>0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递增;如果α<0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递减. (2)在(1,+∞) 上,随着指数的逐渐增大,函数图象越来越靠近y 轴. 2.比较幂值大小的两种基本方法 【典例6】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式6-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 【变式6-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. ▌题型07 幂函数的奇偶性及应用 幂函数奇偶性判断与应用注意事项： 1.判断奇偶性先确定定义域，定义域不关于原点对称时，函数非奇非偶。 2.将幂函数写为根式分式形式，指数化为最简分数（p,q互质）：分母q偶数，定义域不含负数，无奇偶性；q奇数，分子p奇为奇函数，p偶为偶函数。 3.应用时，不可仅靠第一象限图像判定奇偶，需结合完整定义域； 比较函数值大小、解不等式时，要利用奇偶性把负自变量转化为正数，再结合单调性解题； 含参数题型求出指数后，必须回代验证定义域与奇偶性，排除矛盾解。 【典例7】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，若幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 【变式7-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 【变式7-2】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 【变式7-3】（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为是偶函数，且在上单调递增， 因此等价于， 当成立时，不一定成立，所以充分性不成立； 当成立时，不一定成立，所以必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. ▌题型08 幂函数的综合应用 幂函数性质综合问题的注意点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等. 【典例8】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 【答案】2 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 此时函数， 则时，函数取得最小值， 则，解得. 故答案为：2. 【变式8-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【答案】 【详解】因为函数在上是减函数，故，故， 当时，在上是减函数，因为它为奇函数，则在上也是减函数，不满足； 当时，在上是增函数，在上是减函数，满足题意. 【变式8-3】（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 幂函数 （题型突破·举一反三） 题型01 幂函数的概念 1 题型02 求幂函数的值及解析式 2 题型03 求幂函数及复合函数的定义域与值域 3 题型04 幂函数的图像的应用 4 题型05 与幂函数有关的求参数问题 6 题型06 幂函数的单调性及应用 7 题型07 幂函数的奇偶性及应用 8 题型08幂函数的综合应用 9 ▌题型01 幂函数的概念 幂函数的概念：一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 幂函数的特征: (1)xα 的系数是1; (2)xα的底数x 是自变量; (3)xα 的指数α 为常数. 【典例1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型02 求幂函数的值及解析式 一、必备条件 1. 标准形式为y=xα，系数必须为1，不可出现常数、其他系数； 2. 底数只能是单一自变量x，不能是2x、x+1等复合式； 3. 定义域由指数α决定，求函数值时自变量必须在定义域内。 二、解题要点 1. 求解析式：设标准幂函数，代入已知点坐标，解出指数\alpha，写出完整解析式； 2. 求函数值：先验证自变量在定义域，再代入解析式计算； 3. 易错提醒：区分幂函数与指数函数，幂函数底数为变量、指数为常数；若含参数，需保证系数为1，再分类讨论定义域。 【典例2】（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【变式2-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【变式2-2】（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【变式2-3】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. ▌题型03 求幂函数及复合函数的定义域与值域 一、幂函数 1. 定义域由指数α决定：分数指数、负指数需保证底数不为0，偶次根式底数非负； 2. 值域随定义域变化，α>0时在第一象限单调递增，α<0时单调递减； 3. 易错点：不可忽略x=0处是否有定义，区分奇偶指数对应的奇偶图像。 二、复合函数y=f[g(x)] 1. 定义域：内层g(x)的值域必须是外层f(t)定义域的子集，分步解不等式； 2. 值域：先求内层g(x)范围，再将其作为外层自变量范围，逐层计算； 3. 注意换元后新元取值限制，不可直接忽略内层函数边界，同时避开分母、根号、对数限制。 三、综合要点 求定义域优先列全限制条件（分母、根式、幂指数），值域遵循由内到外逐层推导，含参数时分类讨论自变量取值范围，防止出现漏解、错解。 【典例3】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【变式3-3】（2026高一上·广东中山·专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ ▌题型04 幂函数的图像的应用 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象判断幂指数大小,相关结论为: 在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴; 在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴. (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式4-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． ▌题型05 与幂函数有关的求参数问题 幂函数含参题型解题注意事项： 1. 求参数值（判定幂函数） 幂函数标准式y=xα，x前系数必须严格等于1，若式子带系数、常数项，要先令系数为1，同时舍去使解析式不成立的参数；求出参数后必须带回检验定义域，排除无意义解。 2. 由函数值求参数范围 先根据指数确定幂函数定义域，再结合不等关系分类讨论；区分α>0、α<0两种单调性，不等号方向随单调性改变，不可直接消去自变量，还要避开x=0无定义的情况。 3. 利用单调性求参数 幂函数在第一象限单调性只看指数：α>0递增，α<0递减；若定义域包含正负区间，需结合函数奇偶性综合判断，不能仅依靠第一象限单调性，含零区间要单独验证端点是否可取。 4. 通用易错点 所有参数解完后务必检验：一是满足幂函数定义，二是自变量在有效定义域内，三是符合题干单调性、大小关系条件，避免增根、漏解。 【典例5】（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 【变式5-1】（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【变式5-2】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型06 幂函数的单调性及应用 1.幂函数的单调性 (1)如果α>0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递增;如果α<0 ,幂函数的图象在区间(0,+∞) 上单调递减. (2)在(1,+∞) 上,随着指数的逐渐增大,函数图象越来越靠近y 轴. 2.比较幂值大小的两种基本方法 【典例6】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式6-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌题型07 幂函数的奇偶性及应用 幂函数奇偶性判断与应用注意事项： 1.判断奇偶性先确定定义域，定义域不关于原点对称时，函数非奇非偶。 2.将幂函数写为根式分式形式，指数化为最简分数（p,q互质）：分母q偶数，定义域不含负数，无奇偶性；q奇数，分子p奇为奇函数，p偶为偶函数。 3.应用时，不可仅靠第一象限图像判定奇偶，需结合完整定义域； 比较函数值大小、解不等式时，要利用奇偶性把负自变量转化为正数，再结合单调性解题； 含参数题型求出指数后，必须回代验证定义域与奇偶性，排除矛盾解。 【典例7】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，若幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 【变式7-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二下·天津津南·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌题型08 幂函数的综合应用 幂函数性质综合问题的注意点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等. 【典例8】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 【变式8-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，那么最小的正整数________. 【变式8-3】（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $