专题03 与等腰三角形有关的10种分类讨论问题 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“识别分类触发点→确定分类标准→逐类求解→验证取舍”为核心方法，系统梳理等腰三角形8类分类讨论问题，强化推理意识与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心框架|分类讨论四步法+不重不漏/逐类验证原则|从概念属性（腰底、顶底角等）到位置关系（高、中线等）构建分类标准| |8类题型|每类1典例+3-4变式|“两腰相等列方程”“两圆一线找点”等针对性解法|按“静态元素→动态变化→构造应用”递进，覆盖基础到压轴|

专题03 与等腰三角形有关的10种分类讨论问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、腰与底不明时需分类讨论 1 类型二、顶角或底角不明时需分类讨论 2 类型三、高在形内或形外需分类讨论 5 类型四、遇中线时需分类讨论 10 类型五、遇垂直平分线时需分类讨论 13 类型六、遇动点时需分类讨论 19 类型七、遇动线段时需分类讨论 23 类型八、构造等腰三角形时需分类讨论 30 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 与等腰三角形有关的分类讨论问题是初中几何的高频易错点，核心在于等腰三角形中 "腰与底"" 顶角与底角 ""高的位置" 等元素不唯一时，必须按统一标准分类求解。所有题型均围绕"识别分类触发点→确定分类标准→逐类求解→验证取舍"展开，解题贯穿两条底线：一是不重不漏—— 每一种可能情形都要讨论到，且情形之间不重叠；二是逐类验证—— 每类解出后都要检验是否满足三角形三边关系、内角和及题设范围，不符合的舍去。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、腰与底不明时需分类讨论 典例精讲1（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形的两边长（或周长与一边长），但未指明哪条是腰、哪条是底，求第三边长或周长。2.方法：分三种情形讨论 ——① 已知边 a 为腰、b 为底；② 已知边 b 为腰、a 为底；③ 若两边相等则直接确定。每种情形用 "两腰相等 + 周长" 列方程，再验证三边关系。 3.易错提醒：必须分三种情形（AB=AC、AB=BC、AC=BC），只分两种会漏解；每种情形都要验证 "两边之和大于第三边"，不满足的舍去。 变式训练1（25-26七年级下·四川遂宁·期末）等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 【答案】或/5或8 【分析】分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当的边为等腰三角形的腰时，底边的长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 当的边为等腰三角形的底边时，腰长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 综上可知，它的腰长是或． 变式训练2（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为_________． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 变式训练3（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当为顶角，则的取值范围为； 当为底角，则的取值范围为； 故答案为：或． 类型二、顶角或底角不明时需分类讨论 典例精讲2（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形的一个角（或两个角的关系），但未指明是顶角还是底角，求其余角度。 2.方法：分情形讨论 ——① 已知角为顶角，则两底角 = (180°−顶角)/2；② 已知角为底角，则顶角 = 180°−2× 底角；若已知角为钝角，则只能是顶角（底角不能为钝角）。 3.易错提醒：已知角为钝角或直角时，只能是顶角，不必再分底角情形；每种情形要验证三个角之和为 180°，且底角必须小于 90°。 变式训练1（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是______度或______度． 【答案】 20 120 【分析】本题考查了等腰三角形， 分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解． 【详解】解：当顶角较小时，顶角度数是：（度） 当顶角较大时，顶角度数为：（度） 答：这个等腰三角形的顶角是20度或120度． 故答案为：20，120． 变式训练2（25-26七年级上·山东东营·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．根据等腰三角形的性质，两个底角相等．已知一个角为，需分该角是顶角或底角两种情况讨论顶角的度数． 【详解】解：若为顶角，则顶角为； 若为底角，则顶角为． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 变式训练3（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为是解题的关键．分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可． 【详解】解：当外角为底角的外角时，则其底角为：； 当外角为顶角的外角时，则其顶角为：，则其底角为：， 故答案为：或． 类型三、高在形内或形外需分类讨论 典例精讲3（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 【答案】或 【分析】需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为， ①当为锐角三角形时，点在上. 在中，，， . ②当为钝角三角形时，点在的延长线上. 在中，，， ， . 综上，顶角的度数为或. 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形一腰上的高（或高与另一边的夹角），但未指明三角形是锐角还是钝角，求边长或角度。 2.方法：分两种情形 ——① 等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在形内；② 等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在形外（垂足在腰的延长线上）。每种情形单独画图，用勾股定理或角度关系求解。 3.易错提醒：高在形外的情形最易遗漏；钝角等腰中，腰上的高与腰的延长线构成直角三角形，边长关系与锐角情形不同，不可混用。 变式训练1（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 变式训练2（24-25八年级上·广西百色·期中）等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 变式训练3（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ________________． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 变式训练4（23-24八年级上·上海·期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．取的中点，连接，证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，    ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，则； 故答案为：． 类型四、遇中线时需分类讨论 典例精讲4（2026八年级·全国·专题练习）在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 【答案】7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或．= 题型归纳 1.特征：等腰三角形一腰上的中线将周长分成两部分，已知两部分的长度，但未指明哪部分包含底边，求各边长。 2.方法：设腰长为 2x、底边长为 y，中线将腰分成 x 和 x；分两种情形 ——① 含腰的部分为较大值、含底的部分为较小值；② 反之。列方程组求解，再验证三边关系。 3.易错提醒：中线分周长的两部分不包含中线本身的长度；两种情形的方程组要列对，不可把腰和底的部分搞反；解出后必须验证三边关系。 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 变式训练2（19-20七年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】或/20或16 【分析】由为中点，得到，再根据将其周长分成两部分的差为，分别表示出分三角形周长的两部分，求出方程的解得到的长． 【详解】解：，为中点， ， 根据题意得：或， 即或， 解得：或， 故周长为或， 故答案为：或．    【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是求出底边的长，同时注意因为没有指明周长分成两部分的长短，故求出有两解，不要遗漏． 变式训练3（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为________． 【答案】8，8，5或6，6，9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 类型五、遇垂直平分线时需分类讨论 典例精讲5（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 题型归纳 1.特征：点在某线段的垂直平分线上，与等腰三角形的顶点结合，求角度或边长，但点的位置（形内 / 形外）不明确。 2.方法：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，由此得到等腰三角形；分点在三角形内、点在三角形外（或在边上）两种情形，分别画图，利用等边对等角求角度。 3.易错提醒：垂直平分线性质得到的是 "到两端距离相等"，即新的等腰，不可与原等腰混淆；点在形外时角度关系可能为外角，与形内情形不同。 变式训练1（23-24八年级上·上海·阶段检测）在中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 【答案】 或 【分析】分两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理计算求解. 【详解】解：分两种情况讨论： 如图1： 边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， ，， ， ， 又在中， 将代入得 解得 如图2： 同理可得，，即， 此时，即 又 将代入得 解得，即； 综上，的度数为或. 变式训练2（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是运用角的和差关系：或．分两种情况讨论：为锐角，为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出，，得到，，再根据关系式或，即可求得的度数． 【详解】解：①如图，当为锐角时， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ，且， ， 即， 解得． ②如图，当为钝角时， 是线段的垂直平分线， ， ， 同理， ， ， ， 故答案为：或 变式训练3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点E，交直线于点D，则可求得的外角，再利用外角的性质可求得，可求得答案． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，如图2，设的垂直平分线交于点E，交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 变式训练4（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 若，则， ∵，， ∴，矛盾，故不可能； 若，则， 在中， ，即， ∴， 又，， ∴， 解得； 若，则， 又， ∴，， 解得， 综上，为或， 故答案为：或． 类型六、遇动点时需分类讨论 典例精讲6（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标_____． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点P的运动路程是a，则，然后分两种情况：当时，即点P在线段上时，当时，即点P在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：∵、， ∴，， 设点P的运动路程是a， ∵点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ∴， 当时，即点P在线段上时，此时， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 当时，即点P在线段的延长线上时，此时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或 题型归纳 1.特征：动点在三角形的边（或边的延长线）上运动，运动过程中某三角形成为等腰三角形，求运动时间或路程。 2.方法：设运动时间为 t，用含 t 的式子表示相关线段；按 "哪两条边相等" 分三种情形，每种情形列方程求解；验证 t 是否在动点的运动范围内。 3.易错提醒：动点可能运动到不同的边上，不同边对应不同的线段表达式，须按位置分段讨论；每种情形的解都要验证是否在运动范围内，超出的舍去。 变式训练1（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为___________． 【答案】或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、解一元一次方程．解决本题的关键是根据等腰三角形中有两条边相等把几何问题转化为方程求解，本题中还要注意运用分类讨论的思想上，要分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论．当点在点的左侧时，根据可得方程，解方程求出值即可；当点在点的右侧时，根据，可知是等边三角形，所以也有，可得方程，解方程求出即可． 【详解】解：如下图所示， 当点在点的左侧时，设运动时是等腰三角形， ， ， 若是等腰三角形， 则有， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 如下图所示， 当点在点的右侧时，设运动时是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 变式训练2（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，厘米，厘米，若点P以2厘米/秒的速度由点运动，同时，点Q从点C出发，逆时针由运动（当点P到达点A时运动停止），当点Q的速度为________厘米/秒时，线段垂直平分线段．    【答案】6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 设点Q的速度为厘米/秒，由，可知当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段， 此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可；当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段，此时的运动时间为（秒），的运动路程为厘米，依题意得，计算求解即可． 【详解】解：设点Q的速度为厘米/秒， ∵， ∴当为的中点，与重合时，线段垂直平分线段， ∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米， ∴， 解得，； 当与重合，为的中点时，线段垂直平分线段， ∴的运动时间为（秒），的运动路程为厘米， ∴， 解得，； 综上所述，点Q的速度为6厘米/秒或厘米/秒； 故答案为：6或． 类型七、遇动线段时需分类讨论 典例精讲7（2023·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】可证明是等边三角形，得到，则，可证明，即点B不能为直角顶点；当时，则，利用勾股定理求解即可；当时，过点D作于点H，则，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵点D始终在内， ∴，即点B不能为直角顶点； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 题型归纳 1.特征：一条线段的长度或位置在变化（如伸缩、平移），变化过程中与固定线段构成等腰三角形，求变量的取值或范围。 2.方法：设动线段长度为 x（或位置参数），按 "动线段为腰"" 动线段为底 " 分类；每种情形利用等腰性质列方程或不等式，求解 x 的值或取值范围。 3.易错提醒：动线段为腰时还要分 "以哪端为顶点" 两种子情形；求取值范围时要结合三角形三边关系列不等式，不可只列方程。 变式训练1（2022·山东济南·模拟预测）已知在中，，，点的坐标为(0，0)，点的坐标为(0，8)，点在第一象限内，将这个三角形绕原点旋转后，那么旋转后点的坐标为______． 【答案】或 【分析】画出图形，分两种情况，利用旋转的性质，以及含直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当逆时针旋转时，过点作轴， 由题意可得：，， ∴， ∴， 由勾股定理可得： 即， 当顺时针旋转时，过点作轴， 由题意可得：，， ∴， ∴， 由勾股定理可得： 即， 故答案为：或 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 变式训练2（2026·江西宜春·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转得到点，连接，．若是轴对称图形，则旋转角为__________． 【答案】 或或 【分析】连接，根据直角三角形的两锐角互余可得的度数，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， 从而证得是等边三角形， 由旋转的性质可得，由是轴对称图形，分三种情况讨论：当时， 当时，当时，根据等边三角形的性质结合对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 点是斜边的中点， ， 是等边三角形， ，， 将点绕着点按逆时针方向旋转得到点， ， 由于是轴对称图形，分以下三种情况： 当时，则， 是等边三角形， ， 即； 当时，点在点的左侧时， ，，， ， ， ； 点在点的右侧时， ，，， ， ， ； 当时，则， 是等边三角形， ， （不合题意，故舍去）； 综上所述，旋转角为或或． 变式训练3（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，， 设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 类型八、构造等腰三角形时需分类讨论 典例精讲8（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知两个定点（或一条定线段），要求在某条直线（或网格、平面）上找点，使三点构成等腰三角形，求点的个数或坐标。 2.方法：用 "两圆一线" 法 ——① 以已知线段为底：点在两端点的垂直平分线上（一线）；② 以已知线段为腰：分别以两端点为圆心、线段长为半径画圆（两圆）。直线 / 网格与 "两圆一线" 的交点即为所求，逐一计数。 3.易错提醒：三种情形（为底、以 A 为圆心、以 B 为圆心）都要考虑，防止漏点；交点重合时只算一个；三点共线的情形不能构成三角形，须排除。 变式训练1（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 变式训练2（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，为等腰三角形，，，是边上的高，，动点、分别在边、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， ∵在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 变式训练3（23-24八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则__________； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是__________． 【答案】 或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故答案为：； （2）过D作于G，于H，则，， 如图，若，，则， ∴， ∵， ∴； 若，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，符合条件的的度数为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 变式训练4（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为______________． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为_______________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 依题意，根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 变式：根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角； 故答案为：或； 变式：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角； 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有一等腰三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角度数为______． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质．熟练掌握等边对等角，三角形的外角等于不相邻的两内角之和，三角形内角和为．采用分类讨论的思想，分三种情况：当这个三角形为等腰钝角三角形时，当这个三角形为等腰直角三角形时，当这个三角形为等腰锐角三角形时，是解此题的关键． 【详解】解：如图，当这个三角形为等腰钝角三角形时， ， 则，， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， 此时等腰三角形纸片的顶角度数为； 如图，当这个三角形为等腰直角三角形时， ， 此时等腰三角形纸片的顶角度数为； 如图，当这个三角形为等腰锐角三角形时， ， 若，， ，，， 设，则， ， ， ， ， ， 此时等腰三角形纸片的顶角度数为； 若，，, 设，则，，, ∴，即， 综上所述：等腰三角形纸片的顶角度数为或或或， 故答案为：或或或． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据题意，分情况讨论：当顶角是底角的倍还多时，或当底角是顶角的倍还多时，分别利用内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形的底角为，顶角为， 情况1：若，则由三角形内角和定理得，即， 解得，， 此时最小角为； 情况2：若，则由三角形内角和定理，，即， 解得，， 此时最小角为； 综上所述，该等腰三角形中最小的内角的度数为或， 故答案为：或． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，周长为20，且有，则等腰三角形的腰长和底边长分别是________． 【答案】9和2 【分析】设未知数，根据周长和已知等式建立方程，求解后验证三边关系，即可解答． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为， 解得． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 等腰三角形的腰长和底边长分别是9和2． 故答案为：9和2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与一元二次方程的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程，结合边长为正的条件求解是解题的关键． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在的直线与腰所在直线的夹角为则这个等腰三角形纸片的底角的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠中折痕是对称点连线段的垂直平分线是解题的关键，注意分类讨论． 由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰，当的中垂线与线段相交时，则可得，由直角三角形锐角互余求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；当的中垂线与线段的延长线相交时，同理可求． 【详解】解：由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰， 如图①,当的中垂线与线段相交时，则可得，    ∵, ∴, ∵, ； 如图②，当的中垂线与线段的延长线相交时, 则可得， ∵, ∴, ∴, ∵， ， ∴底角为或. 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 【答案】 或 【分析】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 故答案为：；或． 9．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意画出示意图，再分当时，当时，两种情况求出三边长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，是中线， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当时， 同理得：， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴腰长为，底边为， ∴这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 10．（24-25八年级上·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解． 作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可． 【详解】解：①如图1，点是顶点时．   ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在中，， ∴； ②如图2，点是底角顶点，且在外部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3，点是底角顶点，且在内部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，底角的度数为或或． 11．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形． 【答案】 6 12或13或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在上运动时，，为等腰三角形，，则，即可求出t的值；当点P在上运动时，为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：6 当点P在上运动时， ∵ ∴， 当为等腰三角形时， 有三种情况∶①当时 ∴， 解得：； ②当时，过点P作，如图， ∴E是的中点， ∴, 设边上的高为h,则, 解得：， ∵ ∴， 即 解得； ③当时，过点C作，如图∶ ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 解得：， 综上：当点P在上运动时，则点P出发12或13或秒时，为等腰三角形 故答案为：12或13或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与等腰三角形有关的10种分类讨论问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、腰与底不明时需分类讨论 1 类型二、顶角或底角不明时需分类讨论 2 类型三、高在形内或形外需分类讨论 2 类型四、遇中线时需分类讨论 3 类型五、遇垂直平分线时需分类讨论 4 类型六、遇动点时需分类讨论 4 类型七、遇动线段时需分类讨论 6 类型八、构造等腰三角形时需分类讨论 7 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 与等腰三角形有关的分类讨论问题是初中几何的高频易错点，核心在于等腰三角形中 "腰与底"" 顶角与底角 ""高的位置" 等元素不唯一时，必须按统一标准分类求解。所有题型均围绕"识别分类触发点→确定分类标准→逐类求解→验证取舍"展开，解题贯穿两条底线：一是不重不漏—— 每一种可能情形都要讨论到，且情形之间不重叠；二是逐类验证—— 每类解出后都要检验是否满足三角形三边关系、内角和及题设范围，不符合的舍去。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、腰与底不明时需分类讨论 典例精讲1（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形的两边长（或周长与一边长），但未指明哪条是腰、哪条是底，求第三边长或周长。2.方法：分三种情形讨论 ——① 已知边 a 为腰、b 为底；② 已知边 b 为腰、a 为底；③ 若两边相等则直接确定。每种情形用 "两腰相等 + 周长" 列方程，再验证三边关系。 3.易错提醒：必须分三种情形（AB=AC、AB=BC、AC=BC），只分两种会漏解；每种情形都要验证 "两边之和大于第三边"，不满足的舍去。 变式训练1（25-26七年级下·四川遂宁·期末）等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 变式训练2（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为_________． 变式训练3（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为，若该等腰三角形可以唯一确定，则满足的条件是______． 类型二、顶角或底角不明时需分类讨论 典例精讲2（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是______． 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形的一个角（或两个角的关系），但未指明是顶角还是底角，求其余角度。 2.方法：分情形讨论 ——① 已知角为顶角，则两底角 = (180°−顶角)/2；② 已知角为底角，则顶角 = 180°−2× 底角；若已知角为钝角，则只能是顶角（底角不能为钝角）。 3.易错提醒：已知角为钝角或直角时，只能是顶角，不必再分底角情形；每种情形要验证三个角之和为 180°，且底角必须小于 90°。 变式训练1（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）等腰三角形其中两个角的比是，这个三角形的顶角可能是______度或______度． 变式训练2（25-26七年级上·山东东营·期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为__________． 变式训练3（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为____． 类型三、高在形内或形外需分类讨论 典例精讲3（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 题型归纳 1.特征：已知等腰三角形一腰上的高（或高与另一边的夹角），但未指明三角形是锐角还是钝角，求边长或角度。 2.方法：分两种情形 ——① 等腰三角形为锐角三角形，腰上的高在形内；② 等腰三角形为钝角三角形，腰上的高在形外（垂足在腰的延长线上）。每种情形单独画图，用勾股定理或角度关系求解。 3.易错提醒：高在形外的情形最易遗漏；钝角等腰中，腰上的高与腰的延长线构成直角三角形，边长关系与锐角情形不同，不可混用。 变式训练1（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 变式训练2（24-25八年级上·广西百色·期中）等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是________． 故答案为：或． 变式训练3（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ________________． 变式训练4（23-24八年级上·上海·期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于______． 类型四、遇中线时需分类讨论 典例精讲4（2026八年级·全国·专题练习）在中，，的中线将的周长分为和，则的边的长为_____． 题型归纳 1.特征：等腰三角形一腰上的中线将周长分成两部分，已知两部分的长度，但未指明哪部分包含底边，求各边长。 2.方法：设腰长为 2x、底边长为 y，中线将腰分成 x 和 x；分两种情形 ——① 含腰的部分为较大值、含底的部分为较小值；② 反之。列方程组求解，再验证三边关系。 3.易错提醒：中线分周长的两部分不包含中线本身的长度；两种情形的方程组要列对，不可把腰和底的部分搞反；解出后必须验证三边关系。 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 变式训练2（19-20七年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形腰长为，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为，则这个等腰三角形的周长为_____． 变式训练3（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为________． 类型五、遇垂直平分线时需分类讨论 典例精讲5（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 题型归纳 1.特征：点在某线段的垂直平分线上，与等腰三角形的顶点结合，求角度或边长，但点的位置（形内 / 形外）不明确。 2.方法：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，由此得到等腰三角形；分点在三角形内、点在三角形外（或在边上）两种情形，分别画图，利用等边对等角求角度。 3.易错提醒：垂直平分线性质得到的是 "到两端距离相等"，即新的等腰，不可与原等腰混淆；点在形外时角度关系可能为外角，与形内情形不同。 变式训练1（23-24八年级上·上海·阶段检测）在中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 变式训练2（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于________． 变式训练3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则______． 变式训练4（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为_______． 类型六、遇动点时需分类讨论 典例精讲6（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标_____． 题型归纳 1.特征：动点在三角形的边（或边的延长线）上运动，运动过程中某三角形成为等腰三角形，求运动时间或路程。 2.方法：设运动时间为 t，用含 t 的式子表示相关线段；按 "哪两条边相等" 分三种情形，每种情形列方程求解；验证 t 是否在动点的运动范围内。 3.易错提醒：动点可能运动到不同的边上，不同边对应不同的线段表达式，须按位置分段讨论；每种情形的解都要验证是否在运动范围内，超出的舍去。 变式训练1（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为___________． 变式训练2（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，厘米，厘米，若点P以2厘米/秒的速度由点运动，同时，点Q从点C出发，逆时针由运动（当点P到达点A时运动停止），当点Q的速度为________厘米/秒时，线段垂直平分线段．    类型七、遇动线段时需分类讨论 典例精讲7（2023·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 题型归纳 1.特征：一条线段的长度或位置在变化（如伸缩、平移），变化过程中与固定线段构成等腰三角形，求变量的取值或范围。 2.方法：设动线段长度为 x（或位置参数），按 "动线段为腰"" 动线段为底 " 分类；每种情形利用等腰性质列方程或不等式，求解 x 的值或取值范围。 3.易错提醒：动线段为腰时还要分 "以哪端为顶点" 两种子情形；求取值范围时要结合三角形三边关系列不等式，不可只列方程。 变式训练1（2022·山东济南·模拟预测）已知在中，，，点的坐标为(0，0)，点的坐标为(0，8)，点在第一象限内，将这个三角形绕原点旋转后，那么旋转后点的坐标为______． 变式训练2（2026·江西宜春·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转得到点，连接，．若是轴对称图形，则旋转角为__________． 变式训练3（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 类型八、构造等腰三角形时需分类讨论 典例精讲8（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 题型归纳 1.特征：已知两个定点（或一条定线段），要求在某条直线（或网格、平面）上找点，使三点构成等腰三角形，求点的个数或坐标。 2.方法：用 "两圆一线" 法 ——① 以已知线段为底：点在两端点的垂直平分线上（一线）；② 以已知线段为腰：分别以两端点为圆心、线段长为半径画圆（两圆）。直线 / 网格与 "两圆一线" 的交点即为所求，逐一计数。 3.易错提醒：三种情形（为底、以 A 为圆心、以 B 为圆心）都要考虑，防止漏点；交点重合时只算一个；三点共线的情形不能构成三角形，须排除。 变式训练1（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 变式训练2（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，为等腰三角形，，，是边上的高，，动点、分别在边、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，的长为________． 变式训练3（23-24八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则__________； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是__________． 变式训练4（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）等腰三角形两个内角的度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为______________． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为_______________． 2．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有一等腰三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角度数为______． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形中，一个内角比另一个内角的倍还多，则该等腰三角形中最小的内角的度数是________． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，周长为20，且有，则等腰三角形的腰长和底边长分别是________． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在的直线与腰所在直线的夹角为则这个等腰三角形纸片的底角的度数为_______． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为_____． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 9．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 10．（24-25八年级上·黑龙江·期中）已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为______． 11．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $