专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“模型-典例-变式”构建等腰三角形构造体系，提炼四类核心方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|见角平分线+平行线/中线倍长/垂线+截长补短/外角/翻折造等腰|从条件特征到辅助线策略，建立构造逻辑| |题型归纳|4类（每类含1典例+2变式）|过腰底作平行线/平行线+角平分线/角平分线+垂线合一/倍角关系构造模型|按构造手段分阶，模型条件-结论明确，变式拓展应用| |压轴挑战|10题|综合运用多模型，结合实际问题（如桥梁加固）|从基础模型到复杂情境，提升问题解决与应用意识|

专题10 巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。 - 解题方法：见角平分线+平行线出等腰；见中线倍长构造等腰；见垂线+截长补短造等腰；利用外角找等角；利用对称性翻折造等腰。 - 易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分线与平行线构造等腰时选错平行方向。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 典例1 （25-26八年级上·湖北黄石·期末）综合探究 问题情境： 是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图，当点是的中点时， ；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图，当点是边上任意一点时，点在上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中点的性质，结合图形找准各边角之间的关系是解题关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再根据中点的性质和“三线合一”可得，，然后等量代换结合等角对等边即可得证； （2）过点作，交于点，先证明是等边三角形，可得，进而得到，，证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：当点是的中点时，，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：如图，过点作，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 题型模版 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 变式1-1数学课上，李老师出示了如框图中的题目． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论：当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_____填“”，“”或“”)． (2)特例启发，解答题目： ①如图，与的大小关系是：____填“”，“”或“． ②解：如图，过点作，交于点请你接着完成图3解答过程 (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且若的边长为，，则的长为_______请你直接写出结果． 【答案】(1)=； (2) =；②见解析； (3)或． 【分析】（1）根据点为的中点时，根据等腰三角形的判定证明即可； （2）根据题目给出的辅助线证明即可得出结论； （3）分类讨论，画出不同的图形，根据（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：=； 是等边三角形，点为的中点， ∴， ∵， ∴,， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=． （2）解：①=， ②证明：∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图所示，点D在上， 由（2）可知，， ∵的边长为， ∴； 如图所示，点D在延长线上， 同（2）方法可得，可知，， ∵的边长为， ∴； 故答案为：或． 变式1-2（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 典例2 （25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，由角平分线的性质可得，，从而得到，命题得证； （2）先根据角平分线的性质，计算出，再根据平行线的性质计算得．由对顶角相等可得，，根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型模版 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 变式2-1（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 变式2-2（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 典例3 （25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形； （2）解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 题型模版 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·月考）中，，．若为线段上一点，，，垂足为，交于． (1)如图1，当与点重合时，探究、的数量关系； (2)如图2，当不与重合时，线段与的数量关系是否发生变化，证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长与交于点，证得，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得，从而得到结论； （2）过点作，与交于，与的延长线交于，根据题意易证得，根据全等三角形的性质证得，再证得，进而得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ， ， ， 即是的平分线， 又， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，与交于，与的延长线交于， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 变式3-2利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，BE=EF=BF， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 典例4 （25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 【答案】【特例研究】，；【特例研究】见解析；【拓展研究】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形： 【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可； 【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可； 【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果． 【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【深入探究】如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【拓展研究】在上截取， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 题型模版 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 变式4-1问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式4-2（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质． （1）由可得，由平分得，从而，故可得结论； （2）根据证明即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ，， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 2．如图，是的角平分线，E是的中点，，交于点F，交延长线一点G． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质和等量代换可得，最后由等角对等边即可证明结论； （2）如图：延长至点H，使，先证可得、，进而证得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：延长至点H，使，连结， 在和 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 4．在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整： ∵在长方形中，， ∴，由折叠性质可得：____________， ∴， ∴，（依据是：____________） ∴是等腰三角形； (2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：． 【答案】(1)；等腰三角形中等角对等边 (2)，理由见详解 (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证； （2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解； （3）如图所示（见详解），过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证． 【详解】（1）证明：∵在长方形中，， ∴，由折叠性质可得， ∴， ∴，（依据是：等腰三角形中等角对等边） ∴是等腰三角形； 故答案为：；等腰三角形中等角对等边． （2）解：，理由如下， 由（1）可证，为等腰三角形，则， ∵平方，， ∴， ∴为等腰三角形，即， ∵， ∴． （3）解：如图所示，过点作， ∵为边的中点， ∴点是的中点，即， ∵，平分， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6．已知在中，满足．      (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间的数量关系_________； (2)【问题拓展】如图2，当，AD为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． (3)【猜想结论】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点E，使得，连接，请直接写出线段的数量关系_________． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1） 由 为 的角平分线，得到 ，通过 ≌，得到 ，，由于 ， 得到 ，，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论； （2）由 为 的角平分线时，得到 ，通过 ≌得到 ，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解； （3）由 为 的 角平分线时，得到 ，通过≌得到 ，，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解． 【详解】（1）解： ∵ 为 的角平分线 在和中 ≌， （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴≌ ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即： （3）解： 证明： ∵ 平分 ∴ 在 与 中 ∴≌ 7．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点是的中点， 度， 度， 度， （选填“”“”或“”）． (2)如图（2），若点不是的中点，题（1）中与的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D作的平行线，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)90，30，30， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，，，即， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90，30，30，=； （2）证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； （3）解：． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．【问题初探】 （1）如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． 【类比分析】 （2）如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．          【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图所示，在线段上截取，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 10．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10巧构等腰三角形的基本模型的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：已知条件中无直接等腰，需通过平行线、角平分线、中线或翻折等手段构造等腰，导边导角。 解题方法：见角平分线+平行线出等腰：见中线倍长构造等腰：见垂线+截长补短造等腰：利用外角找等 角：利用对称性翻折造等腰。 ~易错提醒：辅助线添加不当导致新等腰与原条件关联断裂；构造后未验证等边或等角确实成立；角平分 线与平行线构造等腰时选错平行方向。 刁题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题报基 题型一、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 典例1(25-26八年级上湖北黄石期末)综合探究 问题情境： △ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE,连接AE、DE. (1)如图1，当点D是AC的中点时，DBDE；(填“>”，“<”或“=”) 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点D为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与 △CDE全等来证明.以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作DF川BC,交AB于点F,(请完成余下的证明过程) 问题解决： (3)如图3，当点D是AC边上任意一点时，点F在BD上，若∠FAE=60°，求证：BF=FD, 图1 图2 图3 题型模版 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 A 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDB是等腰三角形 变式1-1数学课上，李老师出示了如框（图3）中的题目. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 在等边三角形ABC中， 点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC,如图，试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由。 B 图3 (I)特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出 结论：AEBD(填“>”，“<”或“=”). (2)特例启发，解答题目： ①如图2，AE与DB的大小关系是：AEBD(填“>”，“<”或“=”)」 ②解：如图2，过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你接着完成图3解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为3，AE=1, 则CD的长为 （请你直接写出结果)。 变式1-2(25-26八年级上河北衡水期末)操作探究：己知△ABC是等边三角形，点P是边AC上一点. ←QB 图1 图2 图3 (I)如图1，过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有一个等边三角形： (②)如图2，点P在AC上运动（不与4，C重合），点O是CB延长线上一点，且BO=AP,过P作PE⊥AB于 B,连接PO交AB于D,试说明：在点p运动的过程中，线段ED的长是定值（即DE=2AB): 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形，CA=CB”,如图3所示，(2)中 的结论是否还成立？请说明理由. 题型二、 利用平行线+角平分线构造等腰三角形 典例2(25-26八年级上：湖南长沙期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作 EG∥AD,交AC于点F,交BA延长线于点G. A (1)求证：△AFG为等腰三角形； (2)若CE=EF,∠BAC=82°，求∠B的度数. 题型模版 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结)。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 M 0 -O 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分∠MON,过OO的一点P作PQ/ON结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别 相交于点M,N.结论：△BOM△CON都是等腰三角形。 变式2-1(I)如图1，△ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交 AB,AC于点E,F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理 由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有个等腰三角形：EF与BE,CF间的关系是： (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有_个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是_· D 图1 图2 图3 变式2-2(I)如图1，AE∥BC,AE平分∠DAC,则△ABC的形状是三角形： (2)如图2，BC平分∠ABD,AC∥BD，,AC=3,则AB=· (3)如图3，有△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D.若DE=7,AD=5,则AB= (4)如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB,AC于 点D,E.若AB=12,AC=18,BC=24,则△ADE的周长为 (5)如图，在△ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB,PE∥AC则 △PDE的周长是一 图1 ☒2 图3 图4 图5 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 典例3(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC 于点D,过点B作BF⊥AD于点F,延长BF交AC于点E. D (I)求证：△ABE为等腰三角形： (2)连接DE,若∠C=36°，求∠EDC的度数， 题型模版 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“AS4”易得△ABD≈△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. D 变式3-1(25-26八年级上·湖北武汉月考)△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.若D为线段BC上一点， ∠EDB-ACB,BELDE:垂足为E:DE交AB于F C(D B D 图1 图2 (1)如图1，当D与C点重合时，探究BE、DF的数量关系； (2)如图2，当D不与C重合时，线段BE与DF的数量关系是否发生变化，证明你的结论. 变式3-2利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△AOC≌△BOC,则AO=BO,AC=BC, 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，LB=37°，通过上述 构造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地△ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角 形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD: ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 典例4(25-26八年级上·吉林长春·期末)【问题原型】如图①，在△ABC中，∠C=2LB,AD为∠BAC 的平分线，探究线段AB、ACCD的数量关系 【特例研究】如图②，当∠C=90°时，小明在边AB上截取AE=AC,连接DE,易得：CD=DE= AC+CD=_: 【深入探究】如图③，当∠C≠90°时，小明选择了上题的做线方法，然后证△ADE≌△ADC,得 ∠AED=∠C,ED=CD,再通过证明△BDE是等腰三角形，进而可求得线段AB、ACCD的数量关系。 以下是小明探究线段AB、ACCD数量关系的部分过程： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图③，在AB上截取AE=AC,连接DE. ,AD为∠BAC的平分线， .∠EAD=∠CAD 在△ADE和△ADC中， :AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD, :△MDE≌ADC(SAS) .∠AED=∠C,ED=CD 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程. 【拓展研究】如图④，在△ABC中，∠ACB=2∠B,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长 线于点D.直接写出线段AB、ACCD的数量关系：一 E 图① 图② 图③ 图④ 题型模版 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形 D B 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC-=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD-∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式41问题背景：在△ABC中，∠B=2∠C,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线 段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系. B D 图1 图2 D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD，,请你给出证明过程. (2)当AD L BC时，如图2，求证：AB+BD=DC: 3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论. 变式42(25-26八年级上广东珠海期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）)·由 LAC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由， 图3 同压轴挑战一支克满障压轴，突玻思维上保 1.已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC,BF=AE,求证： D A (1)△ABC是等腰三角形： (2)∠BAF=∠ACE 2.如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD,交AB于点F,交CA延长线一点G G B E D (1)求证：△AFG是等腰三角形： (2)求证：BF=AC+AF 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，△ABC为主梁框架， ∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2LC,工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD,交底 梁BC于点D,为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE,使得BE⊥AD,分别交AD,AC于点F, E D (1)求证：加固后的△ABE是等腰三角形： (2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度. 4.在△ABC中，AB=BC,AB的垂直平分线分别交边AC、边AB和直线CB于点DE、F，,连接AF. D B ①图 ②图 (1)点F在CB的延长线上， ①如图，求证：∠ABC=2∠ADE, ②如图，当DC=DF,BC=1时，求△ABF的周长： (2)当△ACF是等腰三角形时，请直接写出∠C的度数. 5.【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般 可得等腰三角形.如图1，P为∠AOB的角平分线OC上一点，常过点P作PD∥OB交OA于点D,易得 △POD为等腰三角形， 1 y D 0 D C B B 图1 图2 图3 图4 (I)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B处，则重合部分△ACE 是等腰三角形.请将以下过程或理由补充完整： 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在长方形ABCD中，DC∥AB, .∠ACD=∠BAC,由折叠性质可得： .∠ACD=∠BAC, .AE=CE,(依据是： “.△ACE是等腰三角形： (2)【类比探究】如图3，△ABC中，内角∠ABC与外角∠ACG的角平分线交于点O,过点O作DE∥BC 分别交AB、AC于点D、E,试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由： (3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD边的中点，AE平分∠BAD,连接BE,求 证：AE⊥BE 6.已知在△ABC中，满足∠ACB=2∠B, E E B D C B D D 图1 图2 图3 (1)【问题解决】如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC, 连接DE,请直接写出AB,AC,CD之间的数量关系 (2)【问题拓展】如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由. (3)【猜想结论】如图3，当AD为∠BAC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,请直接写出线段AB,AC,CD的数量关系 7.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE. 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图1 图2 图3 (I)如图(1)，若点D是AC的中点，∠BDC=度，∠CDE=度，∠E=度，ADCE(选填“=”“> ”或“<”) (2)如图(2)，若点D不是AC的中点，题(I)中AD与CE的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D 作BC的平行线DF,通过全等三角形和等边三角形相关知识证明)： (3)如图(3)，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由. 8.【问题初探】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF,交BC 于点D,若ED=DF,求证：BE=CF. 【类比分析】 (2)如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE,AD,CE与AD相交于点N, 若∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN; 【学以致用】 (3)如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E在线段BA的延长线上运 动，过点E作ED∥AF,交AC于点N,交BC于点D,且BD=CD,请直接写出线段AE,CN和BC之间 的数量关系. D D B D 图1 图4 图5 9.(25-26八年级上辽宁大连期末)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=2a,AD是高，E是BC上一点 13/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，若AE平分∠BAC, ①求∠DAE的度数；（用含的式子表示） ②求证：AC=CE+2DE BF (②)如图2，当a=15o,∠CAE=45°时，若点F在射线BA上，且CF=CE,求AB+AE的值. 10.(25-26八年级上·安徽淮南·期末)【情境建模】 2 SD D D 图1 图2 图3 ()已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮 助小蕊完成证明 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC中，AD平分 ∠BAC,AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3∠C. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作 BH⊥D交4D延长线于点，设△BF、AMBF的面积分别为.8，若B-AC=4,则S-S的录 大值是 14/14