5.4 二元一次方程与一次函数 新课预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶分层，覆盖一次函数与二元一次方程核心知识点，通过梯度设计培养运算能力、模型意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数平移、待定系数法、方程组与交点|单选题1（平移规律）、填空题11（函数关系式），直接应用概念| |能力提升|交点与方程组解、面积计算、最短路径|单选题4（x轴最短路径）、解答题18（面积与坐标），综合2-3个知识点| |综合应用|实际情境建模、多知识点综合|单选题10（空调排水量）、解答题20（两点距离公式），体现应用意识与推理能力|

5.4 二元一次方程与一次函数 新课预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像过点，那么的图像经过的象限是（   ） A．一、三 B．一、二 C．二、四 D．三、四 4．点A，B的坐标分别为，，点P在x轴上，的值最小时，点P的坐标为(   )． A． B． C． D． 5．直线与的交点坐标是（） A． B． C． D． 6．若一次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 7．设直线y＝kx+6与y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…），则S5的值等于（　　） A． B． C．1 D．3 8．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 9．已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法： ①方程组的解为； ②直线：的； ③； ④当的值最小时，点P的坐标为． 其中正确的说法是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．空调运行时排出的冷凝水是可利用水资源，若随意排放会造成浪费．为了调查教室空调排水量与时间的关系，同时培养节约用水的意识，小云同学在空调排水口放置带刻度的容器，定期记录排水量，部分数据如下表： 时间t/ 0 40 80 120 160 200 240 … 排水量W/ 0 350 700 1050 1400 a 2100 … 小云发现排水量W是时间t的一次函数．根据以上信息，判断下列结论不正确的是：（   ） A．表格中a的数值为1750 B．W与t的函数关系式为 C．当空调运行60分钟时，排水量为520毫升 D．若学校有50间教室，每间教室的空调每天连续开启10小时，已知1升水可浇灌1平方米绿化，则这些冷凝水一天能浇灌的绿化面积为262.5平方米 二、填空题 11．等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为，则关于的函数关系式为______． 12．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是_____． 13．如图，平面直角坐标系中，直线经过点且与交于点，交点坐标可以看成是相应的二元一次方程组的解，则该方程组中的方程为______． 14．定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是______；若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则n的值是________． 15．如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 三、解答题 16．用图象法解二元一次方程组： 17．已知与成正比例，当时，， (1)求出与之间的函数关系式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 18．如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点的坐标． (2)若点在直线上，且，求点的横坐标． 19．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图： (1)建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，写出棋子“马”所在的点的坐标； (2)在（1）的条件下，求经过棋子“帅”和棋子“马”所在点的一次函数解析式． 20．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图，过分别向轴、轴作垂线、和，垂足分别是，直线交于点，在中，，． (1)平面直角坐标系内任意两点间的距离公式为：__________； (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点之间的距离为__________； (3)利用上面公式，在平面直角坐标系中的两点为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标； (4)应用两点间的距离公式，求代数式的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C C A A B B C 1．【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，设向上平移 d 个单位，则直线的解析式为，利用点在直线上和条件求解即可． 【详解】解：设向上平移d个单位得到， ∴ 直线的解析式为， ∵ 经过点， ∴，即， 又 ∵ ， ∴， ∴ 直线的解析式为， 故选： D． 2．【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 【详解】 解：直线：与直线：交于点， 当时，， 点A的坐标为， 关于x、y的方程组的解是， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、求一次函数解析式 【分析】本题考查求函数解析式，以及正比例函数的图象与性质．利用待定系数法求得，得到的解析式，再根据正比例函数的图象与性质判断，即可解题． 【详解】解：函数的图像过点， ， 解得， ， ， 那么的图像经过的象限是二、四象限， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、求一次函数解析式 【分析】考查最短路线问题，得到点A关于x轴的对称点的坐标，可得到直线的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为 ， 解得 ∴ ∴P的坐标为． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数与二元一次方程组的交点坐标，掌握知识点是解题的关键． 通过联立两个直线方程，解方程组求得交点坐标即可． 【详解】解：∵两条直线的交点坐标同时满足两个方程， ∴， 即， ∴． 将代入，得 ． ∴直线与的交点坐标为． 故选C． 6．【答案】A 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求解析式，将点代入函数解析式是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，进而求解． 【详解】解：∵ 点在函数图象上， ∴ 代入，得： ， 解得：． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6， ∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）； 当y=0时，5x+6=0，解得：x=， ∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（，0）， 当x=0时，y=6×0+6=6， ∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）； 当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1， ∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）． ∴S5=BD•OA=×|-1-（）|×6=， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 8．【答案】B 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 9．【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、两点之间线段最短、线段问题(轴对称综合题) 【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：①∵直线与直线都经过， ∴方程组的解为，故①正确，符合题意； ②把，代入直线，可得，解得， ∴故②正确，符合题意； ③把代入直线，可得， 中，令，则， ∴， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； ④点A关于y轴对称的点为，连接， 由点C、的坐标得，直线的表达式为：， 由对称知，,, 当点共线，即点P位于点D处时，,最小， ∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键． 10．【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的实际应用，先通过给定数据求出函数关系式，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵W是t的一次函数，且当时，， ∴设函数关系式为（） ∵当时，， ∴， 解得， ∴W与t的函数关系式为， A：当时，，即，A正确，不符合题意； B：由上述推导，函数关系式为，B正确，不符合题意； C：当时，，C错误，符合题意； D：10小时分钟，一间教室10小时排水量， 50间教室总排水量， ∵1升水可浇灌1平方米绿化， ∴浇灌面积为262.5平方米，D正确，不符合题意； 故选：C． 11．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、三角形三边关系的应用 【分析】根据等腰三角形周长公式推导与的等量关系，再结合三角形三边关系确定自变量的取值范围.即可得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意得 ， 整理得 ， 根据三角形三边关系可得， 将代入不等式组得， 解得 ， ∴关于的函数关系式为． 12．【答案】9 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．【答案】 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，求解析式，由直线经过点且与交于点，设解析式为，然后代入求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点且与交于点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 则该方程组中的方程为， 故答案为：． 14．【答案】 3 或 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：根据定义，一次函数的“衍生函数”为， 点在一次函数的“衍生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“衍生函数”图象上， 当时，， 解得：， 当时，，解得：， 则n的值为或， 故答案为：；或． 15．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先求出点，再观察图象即可求解． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， ∴点， ∴观察图象可知，则关于，的二元一次方程组的解为． 16．【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：，即 依题意，方程组的解为直线与直线的交点， 如图所示， ∴的解为． 【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键． 17．【答案】(1) (2) 当时，，当时，，则所作函数图象如图所示： 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的定义、画一次函数图象 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可作函数图象． 【详解】（1）解：由题意可设， ∴当时，则， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）略 18．【答案】(1)，, (2)点的横坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题； （1）联立直线解析式求得的坐标，分别令，得出的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，点． 当时，，当时，， ∴,； （2）解：设， ∵， ∴， 即， 解得：或， ∴点的横坐标为或． 19．【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）根据经过棋子“帅”所在点的坐标确定原点和坐标轴的位置，建立平面直角坐标系，即可得到棋子“马”所在的点的坐标； （2）利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系见答案，则棋子“马”所在的点的坐标为； （2）解：设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为． 20．【答案】(1) (2) (3)5； (4) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用两点间距离公式计算即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，可知此时的值最小，利用两点间距离公式可求出的最小值，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （4）由原式，可得原式表示点到点和的距离之和，由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小，进而利用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； （4）解：∵原式， ∴原式表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知当点在以点和为端点的线段时，代数式的值最小， ∴最小值． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，轴对称的性质，两点之间线段最短，求一次函数解析式，掌握两点间距离公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $