5.1 认识二元一次方程组 预习自测 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念与应用，以题载法构建“定义辨析-解的应用-建模实践”三阶逻辑体系，强化模型意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（单选1/3/11）|定义要素判断法|从二元一次方程（组）定义出发，明确未知数个数、次数、整式条件| |解的应用|5题（单选2/4/5/7，填空9/10）|代入法求参数/构造解|通过解的代入建立方程，实现概念到性质的过渡| |几何建模|3题（单选6，填空13，解答16）|图形等量关系提取法|将图形关系转化为方程，体现数形结合| |实际应用|3题（单选8，填空12，解答17）|问题情境建模法|从实际问题中抽象等量关系，培养模型意识| |综合拓展|2题（解答15/18）|新定义迁移应用|结合新定义深化概念理解，提升创新意识|

5.1 认识二元一次方程组 预习自测2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于、的二元一次方程组的解为则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 8．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．请写出一个二元一次方程__________，使是该方程的一个解． 10．写出一个解是的二元一次方程组：______． 11．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 12．小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台元，空调每台元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是______，方程①是______． 13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 三、解答题 14．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 15．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 16．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    17．一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，填写下表并求出x，y的值． 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 18．阅读理解：若一个三位数（，b，，且a，b，c均为整数），，则称这个三位数m为“牛数”，比如：341，，则341为“牛数”，将三位数m的个位与百位交换位置得到新的三位数记为，并记，． (1)判断453和913是否为“牛数”，并说明理由； (2)已知m为“牛数”，当能被12整除时，求的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B A C B B 1．【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中方程只含一个未知数，则不是二元一次方程； B、中方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，则不是二元一次方程； C、中方程含有分式，不是整式方程，则不是二元一次方程； D、中方程含有两个未知数且次数均为1，是整式方程，则是二元一次方程； 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”判断即可． 【详解】解：A．中，不是整式方程，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； B．符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意； C．含有三个未知数，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； D．未知数的次数是2，故此选项不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，将方程组的解代入原方程，通过解方程求出未知参数是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，先求出，再求即可判断． 【详解】∵ 方程组的解为 ， 代入 得： ， ∴ ， 代入 得：， ∴ ． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了三元一次方程的正整数解个数，由题意可得方程（且为正整数）的正整数解有个，由方程得，进而通过对取值把三元一次方程转化为二元一次方程的情况进行求解即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， ∴方程（且为正整数）的正整数解有个， ∵， ∴， 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； ∴总解数为， 选项：． 8．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 9．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程的定义，结合已知方程的解，构造出符合要求的方程即可. 【详解】解：设所求二元一次方程为（，）， 将代入方程，得， 令，，得， 可得符合条件的二元一次方程为（答案不唯一）． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意写出两个解为的二元一次方程，并把这两个方程组成方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴符合题意的二元一次方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 12．【答案】同样的空调每台降价400元； 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由方程②的信息可得答案； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可． 【详解】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元， 根据题意得：， 故答案为：； 13．【答案】，， 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 14．【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 15．【答案】(1) (2)， 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 16．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 17．【答案】见解析；一班有48人，二班有52人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据“一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，”，列出二元一次方程组，解出即可求解． 【详解】解：设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 所以一班有48人，二班有52人； 一班达标人数为（人）， 二班达标人数为（人）， 两班达标人数总和为 （人）， 表格如下所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 18．【答案】(1) 453是“牛数”，913是“牛数”．理由如下： 对于三位数， ∵， ∴453是“牛数”； 对于三位数， ∵， ∴913是“牛数”； (2) 【知识点】有理数四则混合运算、二元一次方程的解 【分析】（1）根据“牛数”的定义判断即可， （2）设牛数，则，计算F(m)的值，根据能被12整除的已知条件，进行分类讨论，求出所有符合条件的m和，计算出的值，从中确定最大值即可． 【详解】（1）略 （2）解：，则， ∵， ∴． ∴ ∵a、b都是正整数，且， ， ， ∵能被12整除， ∴能被12整除． 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）； 当时，解得， 此时，，舍去； 当时，解得，， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）． 综上可知，的最大值为． 【点睛】本题考查了新定义的数，也考查了分类讨论的思想，学会理解新定义的数的运算，以及用代数式表示新定义的数，理解整除的定义等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $