5.1 认识二元一次方程组（七大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组概念辨析与应用，题型覆盖定义、解、参数及实际/几何建模，逻辑递进培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程定义|3题|考查未知数次数与系数限制|从概念本质出发，建立方程成立条件认知| |方程的解|3题|验证解及含参求解|衔接定义，通过代入法深化解的内涵| |方程组判定|3题|识别方程组的二元一次属性|拓展至多个方程组合，强化概念外延| |方程组的解|3题|判断解及构造方程组|综合方程解的概念，提升逆向思维| |参数问题|3题|已知解求参数及错解分析|结合方程解的性质，培养推理能力| |实际问题建模|3题|劳力分配、古代数学等情境|运用模型意识，建立数量关系| |几何图形建模|3题|长方形拼接、面积问题|通过几何直观，转化图形关系为方程|

5.1 认识二元一次方程组 题型一 二元一次方程的定义 1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，可得两个条件：x的系数不为0，y的次数为1，据此列关系式求解即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得：． 2．如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，该方程需要含有两个未知数，所含未知数的项的次数都为1，且x的系数不为0，据此列出关于m的条件求解即可． 【详解】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解绝对值方程，得或，即或， 由不等式，得， 综上可得，． 3．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二元一次方程的定义可得，，且，，计算即可得出结果； （2）由（1）可得原方程为，把代入得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，且，， 解得，； （2）解：由（1）可得原方程为， 把代入得， 解得：． 题型二 二元一次方程的解 4．下列是二元一次方程的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程解的定义，将选项中的值代入方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：选项A、 将代入，左边，右边，，故A错误； 选项B、 将代入，左边，右边，，故B错误； 选项C、将代入，左边，右边，左边右边，满足方程，故C正确； 选项D、 将代入，左边，右边，，故D错误． 5．若是二元一次方程的一个解，则a的值是______． 【答案】 【分析】将给定的方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是二元一次方程的解， 将，代入方程得 解得． 6．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的定义逐一判断选项． 【详解】解：选项A中，方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确； 选项B中，方程的未知数次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故B错误； 选项C中，方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故C错误； 选项D中，两个方程都含有分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故D错误． 8．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 9．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把各选项的数据代入方程看是否成立． 【详解】解：A、将代入，则，该选项符合题意； B、将代入，则，该选项不符合题意； C、将代入，则，该选项不符合题意； D、将代入，则，该选项不符合题意． 11．写出一个解为的二元一次方程组____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 14．若方程组 的解满足， 则 _________． 【答案】2 【分析】根据方程组的解满足，先将代入，求出的值，再将的值代入第二个方程即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 解得， 将，代入 ，得： ， 解得：． 15．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，使1张桌面配套4条桌腿，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人， 根据题意可得方程组：． 17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为_____． 【答案】 【分析】根据题目中两种乘车情况的描述，找准等量关系，即可列出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：设有人，辆车， 根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车”，可知实际使用车辆为辆，可得方程： ， 根据“每辆车乘坐2人，则有9人步行”，可知车上总人数为，加上步行的9人即为总人数，可得方程： ， 因此可列方程组为：． 18．根据题意列方程组： (1)刘刚买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元．刘刚两种贺卡各买了多少张？设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张． (2)某班有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了列二元一次方程组，根据题意，找到数量关系是解题的关键． （1）根据“两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元”，列出方程组，即可求解； （2）根据“有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人”，列出方程组，即可求解； （3）根据甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元”，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张， 根据题意得：． （2）解：设该班的男生有x人，女生有y人， 根据题意得：． （3）解：设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元， 根据题意得：． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 【答案】B 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 20．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 21．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 认识二元一次方程组 题型一 二元一次方程的定义 1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 2．如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 3．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型二 二元一次方程的解 4．下列是二元一次方程的解的是（     ） A． B． C． D． 5．若是二元一次方程的一个解，则a的值是______． 6．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 8．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 9．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．下列是方程的解的一组数是（   ） A． B． C． D． 11．写出一个解为的二元一次方程组____________． 12．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 14．若方程组 的解满足， 则 _________． 15．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为_____． 18．根据题意列方程组： (1)刘刚买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元．刘刚两种贺卡各买了多少张？设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张． (2)某班有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 20．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 21．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $