5.5 三元一次方程组 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以三元一次方程组的概念辨析为起点，通过消元策略优化、整体代入法及实际问题建模，构建“概念-解法-应用”的完整逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|三元一次方程组定义判断|从二元到三元的概念拓展，强化整式方程与次数认知| |解法技巧|5题|消元对象选择、整体代入法|通过系数特征优化消元步骤，渗透化归思想| |实际应用|8题|等量关系建模、跨学科转化|结合幻方、经济问题等场景，提升推理与模型意识|

5.5 三元一次方程组 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 3．已知方程组，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．解方程组，以下解法不正确的是（    ） A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y 5．如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 7．现有四张分别写有数字的卡片A，B，C，D．李明同学计算出三张卡片上的数字的和．如下表： 卡片编号 A，B，C B，C，D C，D，A D，A，B 三数的和 则卡片C上标有的数字为（     ） A． B． C． D． 8．三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（    ） A．6 B．15 C．18 D．24 二、填空题 9．已知则______． 10．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则______． 11．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是________． 中 国 我 梦 0 12．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方差数”．例如：四位数6231，因为，所以6231是“和方差数”；四位数2546，因为，所以2546不是“和方差数”．若是“和方差数”，则__________；已知四位数是“和方差数”，将“和方差数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值是______________． 13．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产_____天，B种零件生产_____天，C种零件生产_____天． 三、解答题 14．解下列方程组： (1)； (2)； (3) 15．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 16．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 17．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把代入得：解得：． 把代入得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得； 【类比迁移】（1）若，则______． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元；打折后购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元，比不打折时少花了多少钱？ 18．阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A C B B 1．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 3．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】把三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：， ①＋②＋③，得： ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：解方程组， 以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y． 故选：D． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论． 【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知： ， 解得：， ∴， 即■的个数为5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设四张卡片的数字分别为，根据表格得到四组三个数的和，将四个等式相加求出四个数的总和，再减去不含的三个数的和，即可得到的值． 【详解】解：设卡片上的数字分别为， 根据题意得 ， 将四个等式左右两边分别相加，则， ， ， ． 8．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可． 【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a； D，E，F三处圈内的三个数之和记为b； 其余三个圈所填的数位之和为c． 显然有…①， 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②， ②﹣①，得③， 把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④， 联立③，④，解得，， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键． 9．【答案】 2 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 10．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键． 令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案． 【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则 0 则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为， ， 解得 ， ， 则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是， 故答案为：． 12．【答案】 9 6231 【知识点】整式加减的应用、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ，即， ， 能被33整除，， 是整数，且，，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：9；6231． 13．【答案】 3 12 15 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入④得， 将代入②得， 方程组的解为 ； （2）解: , 由得：， 由得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ； （3）解：， 由得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入④得：， 将，代入①得：， 方程组的解为 ． 15．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 16．【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【详解】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 17．【答案】（1）23；（2）；（3）比不打折时少花了元 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）求即可； （2）将看作一个整体进行分析计算即可； （3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求． 【详解】解：（1）， 得：． 故答案为：； （2）由可得：， 把代入得：， 解得：， 将代入③中的，， 解得：， 方程组的解为； （3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱， 由题意可得， ， ，得： ， 得： ， 左右两边乘得， ， 比不打折时少花了元． 【点睛】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得，， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入，得， 得，． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $