广东省汕头市金平区2026-2027学年上学期八年级第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 这份八年级上月考数学模拟卷以三角形与多边形为核心，融合传统工艺（马扎）、光的折射等真实情境，通过动态几何（滑动、旋转）题设计，分层考察抽象能力、推理意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|三角形高/中线性质、多边形内角和、三边关系|结合光的折射现象（第7题）考查平行线性质| |填空题|5题|三角形稳定性、内角和公式、外角性质|以建筑支撑结构（第11题）体现数学应用| |解答题|8题|动态几何（第19题滑动）、旋转综合（第23题）|设计多情境探究（如旋转中CE最大值），培养空间观念与推理能力|

2026-2027广东省汕头市金平区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 2．已知一个正多边形的一个内角为140度，则它的边数为（　　） 3．已知三角形的三边分别为3，a，5，那么a的取值范围是（　　） A．2＜a＜6 B．1＜a＜7 C．3＜a＜8 D．2＜a＜8 4．若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝ 0，则第三边长c的值可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．6 5．如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若∠1＝125°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．70° 6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A．72° B．85° C．65° D．80° 7．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　） A．75° B．50° C．40° D．35° 8．若AE是△ABC的中线，下列结论错误的是（　　） A．AC ＝ BC B．BE ＝ EC C．S△ABE ＝ S△ACE D．BC ＝ 2BE 9．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是180°”的是（　　） A．过点C作EF∥AB B．延长AC到F，过点C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．过AB上一点D作DE∥BC 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，满足AD＝AC，BD＝CD，则下列结论一定成立的是（　　） A．∠CAD＝2∠CBD B．∠ADC＝2∠ABD C．∠ABD＝2∠CBD D．∠ADC＝2∠ABC 二．填空题（共5小题） 11．建筑工人在砌墙时，为了使墙砌得更稳固，会在墙的转角处加一个三角形的支撑结构，这是利用了． 12．一个多边形从一个顶点出发可引2条对角线，这个多边形的内角和等于（　　）． 13．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是　 　 ． 14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝3，AC＝4，则DC的长度是　 　 ． 15．如图是一个直角三角形，两条直角边AC与BC的长度比是3：2，AC长6厘米，三角形ABC的面积是　 　 平方厘米；若以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，则形成的圆锥体积最大是　 　 立方厘米． 三．解答题（共8小题） 16．已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，求边数？ 17．已知△ABC的周长为30cm，三条边的边长满足a：b ＝ 2：3，c ＝ 3b﹣2a，求△ABC的三边长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的延长线上一点，BD平分∠CBE，交AC的延长线于点D，若∠D＝35°，求∠A的度数． 19．两个直角三角形按如图1初始放置，∠C＝∠EDF＝90°，其中∠BAC＝∠ABC＝45°，此时AB与DF重合．当点D从点A出发沿射线AB方向滑动的同时，点F在射线CB上滑动．滑动过程中，三角形ABC不动，三角形EDF形状、大小不变． （1）若∠DFE＝30°，∠DEF＝60°， ①如图2，当AB∥EF时，求∠CFD的度数； ②如图3，若点D运动到AB延长线上时，连结CE，设∠ECF＝α．当CE∥DF时，求∠BDE+∠ECF的值； （2）如图4，过点E作射线EG交射线CF于点G，设∠DEG＝x，在整个滑动过程中，若存在EG与三角形ABC的某一边平行时，请直接写出∠BDF的度数．（用含x的式子表示） 20．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35° 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求∠EBC的度数： 解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝　 　 ， ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（　 　 ）． ∴∠EBC＝　 　 °+35°＝　 　 °． （2）求∠A的度数． 解：（2）∵∠EBC＝∠A+　 　 ， ∴∠A＝∠EBC﹣　 　 （等式的性质）． ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝　 　 °． 21．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高． （1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．你还能求出哪些角的度数？ （2）∠DAE与∠B，∠C有怎样的关系？为什么？ 22．在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处[如图（1）]？如果把三个角“凑”到三角形内的一点P处呢[如图（2）]？如果“凑”到三角形外的一点P处呢[如图（3）]？你还能想出其他证法吗？试一试． 23．在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2．将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接EC． （1）如图1，当点D落在AC边上时，CE＝ 　 　 ； （2）如图2，在△ABC旋转一周的过程中，求CE的最大值； （3）当△CDE是以DE为直角边的直角三角形时，求CE的长． 2026-2027广东省汕头市金平区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【解答】解：线段CD为△ABC的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线， ∴， ∴∠BCE＝∠B， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键． 2．已知一个正多边形的一个内角为140度，则它的边数为（　　） 【分析】本题可先求出该正多边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360°，用360°除以外角的度数，即可得到边数． 【解答】因为多边形的内角与相邻外角互补，所以这个正多边形的一个外角是180﹣140 ＝ 40度．又因为多边形外角和是360度，所以边数为360÷40 ＝ 9．逐一分析选项：A选项12错误；B选项8错误；C选项9正确；D选项7错误． 【点评】本题考查多边形内角与外角的关系以及多边形外角和定理，关键是掌握多边形外角和是360°这一知识点． 3．已知三角形的三边分别为3，a，5，那么a的取值范围是（　　） A．2＜a＜6 B．1＜a＜7 C．3＜a＜8 D．2＜a＜8 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来确定a的取值范围． 【解答】因为5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8．逐一分析选项：A选项2＜a＜6错误；B选项1＜a＜7错误；C选项3＜a＜8错误；D选项2＜a＜8正确． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是准确应用三边关系来确定边长的取值范围． 4．若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝ 0，则第三边长c的值可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．6 【分析】先根据绝对值与平方数的非负性求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的取值范围，进而判断选项． 【解答】因为|a﹣3|+（b﹣2）2＝ 0，绝对值与平方数都具有非负性，所以a﹣3 ＝ 0，b﹣2 ＝ 0，即a ＝ 3，b ＝ 2．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．逐一分析选项：A选项1不符合1＜c＜5，错误；B选项3符合1＜c＜5，正确；C选项5不符合1＜c＜5，错误；D选项6不符合1＜c＜5，错误． 【点评】本题考查绝对值与平方数的非负性以及三角形三边关系，关键是先求出a、b的值，再确定c的范围． 5．如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若∠1＝125°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．70° 【分析】根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解． 【解答】解：∠3＝∠1﹣∠2 ＝125°﹣70° ＝55°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握该知识点是关键． 6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A．72° B．85° C．65° D．80° 【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠C＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解答本题的关键是根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°． 7．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　） A．75° B．50° C．40° D．35° 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠3＝∠1， ∴∠3＝∠1﹣∠2＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 8．若AE是△ABC的中线，下列结论错误的是（　　） A．AC ＝ BC B．BE ＝ EC C．S△ABE ＝ S△ACE D．BC ＝ 2BE 【分析】根据三角形中线的定义和性质来逐一分析选项．三角形中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，等底等高的三角形面积相等． 【解答】因为AE是△ABC的中线，所以BE ＝ EC，BC ＝ 2BE，又因为△ABE和△ACE等底等高，所以S△ABE ＝ S△ACE．逐一分析选项：A选项AC ＝ BC错误；B选项BE ＝ EC正确；C选项S△ABE ＝ S△ACE正确；D选项BC ＝ 2BE正确． 【点评】本题考查三角形中线的性质，关键是理解中线的定义以及中线与三角形面积的关系． 9．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是180°”的是（　　） A．过点C作EF∥AB B．延长AC到F，过点C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．过AB上一点D作DE∥BC 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴∠FCB＝∠B，∠ECA＝∠A， ∵∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，故A不符合题意， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠B，∠FCE＝∠A， ∵∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠C＝∠AED，∠AED＝∠EDF，∠ADE＝∠B， ∴∠C＝∠EDF， ∵∠ADE+∠EDF+∠BDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°，故C不符合题意， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，不能证明“三角形的内角和等于180°”，故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，满足AD＝AC，BD＝CD，则下列结论一定成立的是（　　） A．∠CAD＝2∠CBD B．∠ADC＝2∠ABD C．∠ABD＝2∠CBD D．∠ADC＝2∠ABC 【分析】设∠CBD＝α，利用等边对等角结合三角形内角和定理即可判断． 【解答】解：设∠CBD＝α， ∵BD＝CD， ∴∠DCB＝∠CBD＝α． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣α． ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α， ∴∠DAC＝2α， 即∠CAD＝2∠CBD，A选项一定成立， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．建筑工人在砌墙时，为了使墙砌得更稳固，会在墙的转角处加一个三角形的支撑结构，这是利用了． 【分析】本题考查三角形稳定性这一知识点．解题的关键在于理解题目中所描述的情景与三角形稳定性之间的联系，即三角形具有稳定性，在实际生活中常被用于增强物体的稳固性． 【解答】因为三角形具有稳定性，在墙的转角处加三角形支撑结构，能使墙更稳固，所以答案是三角形的稳定性． 【点评】本题考查三角形稳定性在实际生活中的应用，关键是要能识别生活中利用三角形稳定性的情景，属于基础知识点考查． 12．一个多边形从一个顶点出发可引2条对角线，这个多边形的内角和等于（　　）． 【分析】本题先根据多边形从一个顶点引出对角线的条数与边数的关系求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和．多边形从一个顶点出发引出的对角线条数为（n﹣3）条（n为边数且n≥3），多边形内角和公式为（n﹣2）×180°． 【解答】设这个多边形有n条边，已知从一个顶点出发可引2条对角线，则n﹣3 ＝ 2，解得n ＝ 5．根据多边形内角和公式，其内角和为（5﹣2）×180° ＝ 540°．逐一分析选项：A选项若为其他数值则错误；B选项540°是正确答案；C选项若为其他数值则错误；D选项若为其他数值则错误． 【点评】本题考查多边形从顶点引出对角线与边数关系以及内角和公式这两个基础知识点，关键是准确运用公式进行计算． 13．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是　∠2＜∠1＜∠3　 ． 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠1是外角， ∴∠1＝∠2+∠BCD， ∴∠1＞∠2， ∵∠3是外角， ∴∠3＝∠1+∠ACD， ∴∠3＞∠1， ∴∠2＜∠1＜∠3， 故答案为：∠2＜∠1＜∠3． 【点评】本题考查三角形，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14．如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝3，AC＝4，则DC的长度是　　 ． 【分析】利用勾股定理求出BC，然后利用三角形的面积AB×ACBC×AD可得出AD的长度，则可得出答案． 【解答】解：由题意得，AB＝3，AC＝4， 在RT△ABC中，BC5， 又∵S△ABCAB×ACBC×AD， ∴AD， ∴CD． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出BC的长是关键，另外要掌握本题利用面积的不同表示法求线段的长度的方法． 15．如图是一个直角三角形，两条直角边AC与BC的长度比是3：2，AC长6厘米，三角形ABC的面积是　12　 平方厘米；若以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，则形成的圆锥体积最大是　72　 立方厘米． 【分析】根据AC与BC的比例及AC的长度求出BC的长，利用三角形面积公式计算面积；分别计算以AC、BC为轴旋转形成的圆锥体积，比较得出最大值． 【解答】解：∵AC与BC的长度比是3：2，AC长6厘米， ∴BC的长为6÷3×2＝4（厘米）， 三角形ABC的面积为：（平方厘米）， 若以直角边AC所在的直线为轴旋转一周，形成的圆锥高h＝AC＝6厘米，底面半径r＝BC＝4厘米， 体积（立方厘米）， 若以直角边BC所在的直线为轴旋转一周，形成的圆锥高h＝BC＝4厘米，底面半径r＝AC＝6厘米， 体积（立方厘米）， ∵150.72＞100.48， ∴形成的圆锥体积最大是150.72立方厘米． 故答案为：12，150.72． 【点评】本题考查了三角形的面积，点、线、面、体，圆锥的体积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．解答题（共8小题） 16．已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，求边数？ 【分析】本题可根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°（n为边数且n≥3）以及多边形外角和为360°来建立方程求解边数． 【解答】设这个多边形的边数为n，由题意可得（n﹣2）×180° ＝ 3×360°，展开括号得180°n﹣360° ＝ 1080°，移项可得180°n ＝ 1080°+360° ＝ 1440°，解得n ＝ 8． 【点评】本题考查多边形内角和与外角和知识，关键是正确建立方程并求解． 17．已知△ABC的周长为30cm，三条边的边长满足a：b ＝ 2：3，c ＝ 3b﹣2a，求△ABC的三边长． 【分析】本题可根据三角形周长以及三边的关系建立三元一次方程组来求解三边的长度．已知三角形周长为三边之和，即a+b+c ＝ 30，再结合a：b ＝ 2：3和c ＝ 3b﹣2a这两个条件求解． 【解答】因为a：b ＝ 2：3，所以设a ＝ 2x，b ＝ 3x．又因为c ＝ 3b﹣2a，所以c ＝ 3×3x﹣2×2x ＝ 9x﹣4x ＝ 5x．已知△ABC的周长为30cm，即a+b+c ＝ 30，将a ＝ 2x，b ＝ 3x，c ＝ 5x代入可得2x+3x+5x ＝ 30，即10x ＝ 30，解得x ＝ 3．所以a ＝ 2x ＝ 6cm，b ＝ 3x ＝ 9cm，c ＝ 5x ＝ 15cm． 【点评】本题考查三元一次方程组在三角形边长计算中的应用，关键是根据条件正确设未知数并建立方程组求解． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的延长线上一点，BD平分∠CBE，交AC的延长线于点D，若∠D＝35°，求∠A的度数． 【分析】由三角形内角和得∠CBD＝55°，由角平分线得∠DBE＝55°，再根据三角形外角求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠D＝35°， ∴∠CBD＝55°， ∵BD平分∠CBE， ∴∠DBE＝∠DBC＝55°， ∴∠A＝∠DBE﹣∠D＝55°﹣35°＝20°． 【点评】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 19．两个直角三角形按如图1初始放置，∠C＝∠EDF＝90°，其中∠BAC＝∠ABC＝45°，此时AB与DF重合．当点D从点A出发沿射线AB方向滑动的同时，点F在射线CB上滑动．滑动过程中，三角形ABC不动，三角形EDF形状、大小不变． （1）若∠DFE＝30°，∠DEF＝60°， ①如图2，当AB∥EF时，求∠CFD的度数； ②如图3，若点D运动到AB延长线上时，连结CE，设∠ECF＝α．当CE∥DF时，求∠BDE+∠ECF的值； （2）如图4，过点E作射线EG交射线CF于点G，设∠DEG＝x，在整个滑动过程中，若存在EG与三角形ABC的某一边平行时，请直接写出∠BDF的度数．（用含x的式子表示） 【分析】（1）①利用两直线平行同位角相等即可求解；②过点B作BK∥CE，可得CE∥DF∥BK，从而得到∠FBK＝∠ECF＝α，∠ABK＝∠ADF，进而得到∠BDE＝∠ADF﹣∠EDF＝45°﹣α，即可求解； （2）分三种情况进行讨论，当EG∥AC时，过点D作MN∥EG，利用平行线的性质即可求解；当EG∥AD时，利用平行线的性质即可求解；当EG∥CB时，过点D作MN∥EG，利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）①当AB∥EF时，∠EFB＝∠ABC＝45°，∠DFE＝30°， ∴∠CFD＝∠EFB﹣∠EFD＝15°； ②如图，过点B作BK∥CE， ∵CE∥DF， ∴CE∥DF∥BK， ∴∠ABK＝∠ADF，∠FBK＝∠ECF＝α， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ADF＝∠ABK＝180°﹣∠ABC﹣∠FBK＝135°﹣α， ∵∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF﹣∠EDF＝45°﹣α， ∴∠BDE+∠ECF＝45°﹣α+α＝45°； （2）①当EG∥AC时，过点D作MN∥EG， ∴AC∥MN∥EG， ∴∠MDE＝∠DEG＝x，∠ADM＝∠A＝45°， ∴∠ADE＝∠ADM+∠MDE＝45°+x， ∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝45°﹣x； ②如图，当EG∥AB时，∠ADE＝∠DEG＝x； ∴∠BDF＝∠ADE+∠EDF＝90°+x； ③当EG∥CB时，过点D作MN∥EG， ∴CB∥MN∥EG， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∠MDE＝∠DEG＝x， ∴∠ADE＝∠BDM﹣∠MDE＝45°﹣x， ∴∠BDF＝∠EDF﹣∠ADE＝45°+x； 综上所述，∠BDF的度数为45°+x或45°﹣x或90°+x． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 20．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35° 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求∠EBC的度数： 解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝　90°　 ， ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和　 ）． ∴∠EBC＝　90　 °+35°＝　125　 °． （2）求∠A的度数． 解：（2）∵∠EBC＝∠A+　∠ACB ， ∴∠A＝∠EBC﹣　∠ACB （等式的性质）． ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝　35　 °． 【分析】（1）首先由三角形的高的性质得到∠CDB＝90°，然后利用三角形外角的性质求解； （2）利用三角形外角的性质求解． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知）， ∴∠CDB＝90° ∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∴∠EBC＝90°+35°＝125°， 故答案为：90°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90，125； （2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB， ∴∠A＝∠EBC﹣∠ACB（等式的性质）． ∵∠ACB＝90°（已知）， ∴∠A＝35°． 故答案为：∠ACB，∠ACB，35． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，度分秒的计算，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 21．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高． （1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．你还能求出哪些角的度数？ （2）∠DAE与∠B，∠C有怎样的关系？为什么？ 【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到∠BAC＝80°，再利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝40°，接着利用互余得到∠CAE＝90°﹣∠C＝30°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可； （2）先利用三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝90°∠B∠C，再利用互余得到∠CAE＝90°﹣∠C，讨论：当∠C＞∠B时，∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE（∠C﹣∠B），当∠C＜∠B时，∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD（∠B﹣∠C），从而得到∠DAE与∠B，∠C的关系为∠DAE|∠B﹣∠C|． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵AD为角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝40°， ∵AE为高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°； （2）∠DAE|∠B﹣∠C|． 理由如下： ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD为角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝90°∠B∠C， ∵AE为高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， 当∠C＞∠B时， ∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， 当∠C＜∠B时， ∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣∠C﹣（90°∠B∠C）（∠B﹣∠C）， 综上所述，∠DAE|∠B﹣∠C|． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 22．在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处[如图（1）]？如果把三个角“凑”到三角形内的一点P处呢[如图（2）]？如果“凑”到三角形外的一点P处呢[如图（3）]？你还能想出其他证法吗？试一试． 【分析】根据平行线的性质和平角的定义，把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处或把三个角“凑”到三角形内的一点P处或把三角形三个角“凑”到三角形外的一点P处，这三种方法都可以证明三角形内角和定理；还可以过A点作直线l∥BC，如图4． 【解答】解：可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处． 理由如下： 如图1，过P点作PQ∥AC交AB于Q点，PR∥AB交AC于R点， ∴∠A＝∠PQB，∠RPC＝∠B，∠QPB＝∠C，∠PQB＝∠QPR， ∴∠A＝∠QPR， ∵∠QPB+∠QPR+∠RPC＝180°， ∴∠C+∠A+∠B＝180°； 可以把三个角“凑”到三角形内的一点P处． 如图2，过△ABC内一点P作ST∥AC，QR∥BC，MN∥AB， 同样利用平行线的性质和平角的定义得到∠C+∠A+∠B＝180°； 可以把三个角“凑”到三角形外的一点P处． 如图3，过△ABC外一点P作ST∥AC，QR∥BC，MN∥AB， 同样利用平行线的性质和平角的定义得到∠C+∠A+∠B＝180°； 其它证法： 过A点作直线l∥BC，如图4， ∵l∥BC， ∴∠1＝∠C，∠2＝∠B， ∵∠1+∠BAC+∠2＝180°， ∴∠C+∠BAC+∠B＝180°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 23．在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2．将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接EC． （1）如图1，当点D落在AC边上时，CE＝ 　4　 ； （2）如图2，在△ABC旋转一周的过程中，求CE的最大值； （3）当△CDE是以DE为直角边的直角三角形时，求CE的长． 【分析】（1）先求出∠BAC＝60°，AC＝4，BC，再由旋转性质得AE＝AC＝4，AD＝AB＝2，DE＝BC，∠ADE＝∠B＝90°，∠AED＝∠ACB＝30°；当点D落在AC边上时，则∠CDE＝90°，CD＝2，然后在Rt△CDE中，由勾股定理可得CE＝4； （2）根据“两点之间线段最短”得CE≤AE+AC＝4+4＝8，由此得当点E落在CA的延长线上时，CE为最大，最大值为8； （3）依题意有以下三种情况：①当点D落在AC边上时，由（1）可知△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE＝4；②当点D落在CA的延长线上时，则△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CD＝6，DE，在Rt△CDE中，由勾股定理得CE；③当点E在AB的延长线上，则△ACE是等边三角形，由此得∠AEC＝60°，CE＝AC＝4，再根据∠AED＝30°得∠CED＝90°，则△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE＝4；综上所述即可得出CE的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2， ∴AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°， 由勾股定理得：BC， ∴将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AE＝AC＝4，AD＝AB＝2，DE＝BC，∠ADE＝∠B＝90°，∠AED＝∠ACB＝30°， 当点D落在AC边上时，如图1所示： ∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝90°，CD＝AC﹣AD＝4﹣2＝2， 在Rt△CDE中，∠CDE＝90°， 由勾股定理得：CE4， 故答案为：4； （2）根据“两点之间线段最短”得：CE≤AE+AC＝4+4＝8， ∴当点E落在CA的延长线上时，CE为最大，如图2所示： ∴CE的最大值为8； （3）依题意有以下三种情况： ①当点D落在AC边上时， 由（1）可知：∠CDE＝90°，CE＝4， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE＝4； ②当点D落在CA的延长线上时，如图3①所示： ∵∠CDE＝∠ADE＝90°， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形， 此时CD＝AC+AD＝4+2＝6，DE， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE； ③当点E在AB的延长线上，如图3②所示： ∵AE＝AC＝4，∠BAC＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠AEC＝60°，CE＝AC＝4， ∵∠AED＝30°， ∴∠CED＝∠AEC+∠AED＝90°， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE＝4； 综上所述：当△CDE是以DE为直角边的直角三角形时，CE的长为4或． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的旋转变换及其性质，等边三角形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 15:22:36；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $