学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用，范围：新教材北师大版八上第一～二章）

**基本信息** 聚焦北师大版八上实数与勾股定理，以赵爽弦图推导、社区绿化方案设计等情境题，考查几何直观与模型意识，适配深圳学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数判断、直角三角形构成、二次根式运算|第4题分类讨论第三边，考查推理意识| |填空题|5/15|平方根、圆柱表面最短路径、数轴与勾股定理应用|第10题蚂蚁爬行最短距离，体现空间观念| |解答题|7/61|赵爽弦图推导勾股定理、社区绿化费用计算、古代开平方方法探究|20题结合数学文化，17题联系实际，培养应用意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][V][/] 一、 单项选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9. 10. 1 12 13. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 14.（6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) 16.(8分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) D E A G H B 街道 C 18. (10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) D a 6 B E 图① 图② 图③ 20.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．用a，b，c作为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某直角三角形的两边长分别为3和5，则该三角形的第三边的长度为（    ） A．5 B．4 C．5或 D．4或 5．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，有一点P在BC边上移动，若，则AP的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．若实数x、y满足y＝++4，求x+y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是__. 10．如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 11．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 12．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 13．已知，，则的算术平方根为________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．计算： (1)； (2)． 15．已知一个正数的两个不相等平方根分别是和；的立方根是． (1)这个正数是多少？ (2)求的值． 16．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 17．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 18．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 19．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 20．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开不尽方的数，无限不循环小数，含有的最简式子，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【解析】、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 、，是有理数，不符合题意； 故选：． 2．用a，b，c作为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【解析】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的加减运算，根据二次根式的性质及运算法则逐项计算，即可判断答案． 【解析】解：A、两者不是同类二次根式，无法加减运算，故选项A运算错误，不符合题意； B、，运算正确，符合题意； C、，所以选项C运算错误，不符合题意； D、，所以选项D运算错误，不符合题意． 故选：B． 4．某直角三角形的两边长分别为3和5，则该三角形的第三边的长度为（    ） A．5 B．4 C．5或 D．4或 【答案】D 【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【解析】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：； 当5是斜边长时，第三边长为：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪条是斜边时，要注意分别讨论，这是解题的关键所在． 5．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上点的位置关系得出，再根据二次根式的性质即可求出答案． 【解析】解：∵， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键． 6．如图，在中，有一点P在BC边上移动，若，则AP的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可． 【解析】解：如图，在边上移动，当时，最短， ， ， ， 所以的最小值是6， 故选：A 7．若实数x、y满足y＝++4，求x+y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据被开方数的非负性，x-1≥0且1-x≥0，确定x-1=0，得到y=4，代入计算即可． 【解析】因为y＝++4， 所以x-1≥0且1-x≥0， 所以x-1=0， 解得x=1， 所以y=4， 所以x+y=1+4=5， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开放数是非负数是解题的关键． 8．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【解析】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是__. 【答案】5 【分析】直接开根号，再求平方根即可. 【解析】解： 25的平方根等于. 故答案为. 【点睛】此题重点考查学生对平方根的理解，会计算一个数的平方根是解题的关键. 10．如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 【答案】13 【分析】本题主要考查了最短路径问题，圆柱展开图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆柱展开图． 根据线段中点得出，根据圆柱展开图确定最短路径，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】解：∵P为的中点， ∴， 根据圆柱展开图可得，， 由勾股定理得，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为： ， 故答案为：13． 11．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 12．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【解析】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 13．已知，，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件．根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得的平方根． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．已知一个正数的两个不相等平方根分别是和；的立方根是． (1)这个正数是多少？ (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求解a的值，由此可求解这个正数． （2）根据立方根的定义求解b的值，由此进行加法运算即可． 【解析】（1）解：一个正数的平方根分别是和， ，解得， ，， ∴这个正数为9． （2）解：的立方根是， ， ． ，， ． 16．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 【答案】(1) 解：所作线段和如图所示（图不唯一）： (2) 所作三角形如图所示（图不唯一）： 直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理可得长为3、宽为1的长方形的对角线长为，长为2、宽为2的正方形的对角线长为，选择合适的矩形和正方形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可得到该三角形，观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可判断这个三角形形状． 【解析】（1）略 （2）解：， 该三角形为直角三角形． 17．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【解析】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 18．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【解析】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 19．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1) ， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【解析】（1）略 （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 20．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2) 解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【解析】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）略 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版八上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．用a，b，c作为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某直角三角形的两边长分别为3和5，则该三角形的第三边的长度为（    ） A．5 B．4 C．5或 D．4或 5．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，有一点P在BC边上移动，若，则AP的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．若实数x、y满足y＝++4，求x+y的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．的平方根是__. 10．如图，圆柱底面圆的周长为24，高，P为的中点，蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为 _______． 11．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______． 12．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 13．已知，，则的算术平方根为________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．计算： (1)； (2)． 15．已知一个正数的两个不相等平方根分别是和；的立方根是． (1)这个正数是多少？ (2)求的值． 16．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它们的顶点都在格点上，并直接写出这个三角形的形状． 17．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 18．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 19．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 20．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专 用) 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B & B D A D C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.±5 10.13 11.2W5-3 12.22cm 13.4 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10 分，20题12分。 14.【解析】(1)解：原式2W5-42-2x45+3×32 =2√3-42-8√3+9W2 =5V2-6W3 @),2名+子 =2-5-2+55 36 2.(6分) 15.【解析】(1)解：一个正数的平方根分别是a+2和2a-5, ∴(a+2)+(2a-5)=0 ，解得a=1 .a+2=332=9 116 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 这个正数为9 (2)解：b-3的立方根是-2， ∴.b-3=(-2)=-8 ∴.b=-5 a=1,b=-5, .4a+3b=4+3×(-5)=-11 1分) 16.【解析】(1) 解：所作线段AB和CD如图所示（图不唯一）： B D (2) 所作三角形如图所示（图不唯一）： :(N5+(25=5+20=25=52」 ∴.该三角形为直角三角形.(8分) 17.【解析】(1)解：连接AC, 街 A 住宅 道 B 街道C 216 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 施工人员测量的是A,C两点之间的距离， .AB=9m,BC=12m,∠ABC=90°， .AC2=AB2+BC2=92+122=225, 即当测量A,C两点之间的距离为l5m, ∴满足勾股逆定理得AB2+BC2=AC2: .∠ABC=90°， 故答案为：A,C; (2)解：：AD2+AC2=82+152=289,DC2=172=289, .AD2+AC2=DC2, .∠DAC=90°， .S.weD.C-x8x15-60(m). Sa54B8c=2x9x2=54(m） 六四边形4BCD的面积=60+54=114(m) ·建造绿化地的费用120×114=13680（元）； (3)解：，∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m, :FG=VEF2-EG2=v102-82=6(m) .GH⊥EF, :S.por-1EG-FG-EF.GH, 21 2 HG-EG.FG_8x6_2 -m EF105 二求得方案一：铺设管道所花的费用(6+8)x65=910 元)， 24 方案二：铺设管道所花的费用 10+5》 ×65=962 (元)， 316 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .962>910 ∴，铺设管道所需的最少费用为910元.(8分) .n-1 18.【解析】(1)解：被开方中，分子为2m-1,分母为m2,结果为m, :第6个等式：分子为2×6-1=11：分母为6=36，结果为6， 115 ∴第6个等式： 366 2n-1_n-1 (2)解：根据第(1)问得出的结论，第n个等式为 n. 3 5 197 199 (3)解：原式V1-4×V1- ×1 9801 10000 123 98991 =2××4×…99×100100.（10分) 19.【解析】(1) 5ww-(a+b)a+b)-(@+2cb*b)-d+ab+3b 2 2 又S猫形=。ab+号c2+之b=ab+ 2 是同一图形的面积，面积相等， :.Ia+ab+Ib=ab+Ic 2 a2+b2=c2 (2)解：设C1为米，则4B=4C=米，H=(-18)米， CH⊥AB .∠CHA=∠CHB=90°. 在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH=24米， .AC2=AH2+CH2, 2=242+(x-18)2 即 416 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：x=25, .CA=25(米)， .CA-CH=25-24=1(米)， ∴.新路CH比原路CA少1米. (3)解：由题意设：AH为y米， 又：AC=15米，BC=18米，AB=21米， :HB=AB-AH=(21-）米， CH⊥AB ∴.∠CHA=∠CHB=90°」 ∴.在Rt△CHA中，∠CHA=90° CH2=AC2-AH2=152-y2 在Rt△CHB中，∠CHB=90°， CH2=CB2-HB2=182-(21-y)2 15-y=182-(21-y. 解得：少=57 7, 57 AH的长度为7米.(10分) 20,【解折1④解：因为85=9+，所8 5=(9+n)2 即85=81+18n+n2 因为n比较小，所以将n忽略不计， 所以85≈81+18n,即18n≈85-81 得n*85-812 189’ 2 故V85=9+2≈9.22 9 (2) 516 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解：②的形式精确度更高 理由：9.22=85.00849.252=85.5625 .9.22更接近85 ∴.②的形式精确度更高 (答案不唯一)比如： 85更接近81 ∴②的形式精确度更高 (3)解：因为122=144,132=169，且144<153<169， 所以12<153<13 又0<a<1,因此可设53=12+0或53=13-0（二者均可以)(12分》 616 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9._______________ 12. ________________ 10. ___________ 13. _______________ 11. _________________ 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.（7分） 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $