专题 3.6 问题解决活动：利用相似三角形测高（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦“利用相似三角形测高”核心知识点，先梳理活动原理（相似三角形对应边成比例），再通过平行光影长法、镜面反射法、仰视标杆法三种模型构建应用框架，辅以实验步骤和高频易错点作为学习支架，帮助学生从原理到实践逐步掌握。 该资料特色在于分层次题型设计，夯实基础含4类基础题型（如平行影长法测高例题及变式），巩固提升含综合与其他测量法，结合生活实例（测旗杆、教学楼）和物理光学（镜面反射、小孔成像）。通过具体例题培养学生几何直观（模型构造）、推理能力（比例式推导）和模型意识（实际问题转化），课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 3.6 问题解决活动：利用相似三角形测高（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 （一）活动原理 1 （二）三种常见测高模型（必考） 2 模型一：平行光影长法（标杆/物体影长模型） 2 模型二：镜面反射法（平面镜成像模型） 2 模型三：仰视标杆法（遮挡平行模型） 2 （三）实验测量步骤（标准答题模板） 2 （四）高频易错点 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】平行影长法测高（基础必考） 3 【题型 2】镜面反射法测高（高频填空、解答） 5 【题型 3】仰视标杆法测高（重难点、压轴题型） 9 【题型 4】小孔成像测量法 12 三.题型精析（巩固提升） 16 【题型 5】综合测量法 16 【题型 6】其他测量法 21 四.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理解读 （一）活动原理 在无法直接测量物体高度（大树、高楼、旗杆、山峰等）的场景中，利用平行光线、垂直地面、构造直角相似三角形的原理，通过测量可量化的短距离、影长、人高等数据，结合相似三角形对应边成比例的性质，间接求出物体高度。 核心依据：相似三角形对应边成比例；同一时刻、同一地点，太阳光为平行光线。 （二）三种常见测高模型（必考） 模型一：平行光影长法（标杆/物体影长模型） 适用场景：晴天、地面平整，物体、标杆均垂直地面。 构造原理：同一时刻太阳光平行，物体与标杆均垂直地面，构造两个直角三角形相似。 比例公式： 优点：操作简单、计算简便；缺点：依赖太阳光，阴天无法测量。 模型二：镜面反射法（平面镜成像模型） 适用场景：无阳光、全天候可用，地面平整可放置平面镜。 构造原理：利用光的反射定律（反射角=入射角），结合人与物体垂直地面，构造两个直角三角形相似。 比例公式： 优点：不受天气限制；缺点：镜面摆放需水平，测量距离精准度要求高。 模型三：仰视标杆法（遮挡平行模型） 适用场景：物体过高、影长无法完整测量，借助标杆定点仰视测量。 构造原理：人眼、标杆顶端、物体顶端三点共线，标杆与物体均垂直地面，构造子母型相似三角形。 核心思路：利用水平距离差、高度差列比例式求解，需扣除人眼离地高度。 （三）实验测量步骤（标准答题模板） 1. 准备工具：卷尺、标杆（已知高度）、平面镜、记录本； 2. 搭建模型：根据场景选择对应测高方法，固定测量工具位置； 3. 测量数据：精准测量可量化的边长、距离、高度数据； 4. 列比例式：根据相似三角形性质列出比例方程； 5. 计算结果：解方程求出物体高度，检验结果合理性。 （四）高频易错点 1. 影长法必须满足同一时刻、同一地点，不同时刻光线不平行，三角形不相似； 2. 仰视模型计算时，容易遗漏人眼离地高度，导致结果偏差； 3. 镜面反射模型需找准对应边，禁止混淆人物距离与物体距离； 4. 所有测高模型中，地面必须水平、物体必须垂直地面，否则无法构造直角相似三角形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】平行影长法测高（基础必考） 【例题1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度． 【答案】该建筑物的高度为91米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知证得是解题关键． 根据太阳光是平行光线可得出，再利用相似三角形的性质求解即可． 解：太阳光线是平行光线， , , （米）． 答：该建筑物的高度为91米． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得3米高的标杆在地面上的影子长为4米，则教学楼的高度是（   ） A．16米 B．18米 C．28米 D．36米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据相似三角形的性质，同一时刻物体的高度与影长成正比． 解：∵标杆高3米，影长4米；教学楼影长24米，设教学楼高为米， ∴， ∴（米）， ∴教学楼高18米． 故选：B． 【变式2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 解：由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 【变式3】（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m． （1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； （2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度． 【答案】（1）详见分析；（2）旗杆的高度为9.6m 【分析】（1）根据相似三角形画出图形； （2）根据相似三角形的性质求出的长度． 解：（1）影子，如图所示；      （2）∵， ∴， ∵． ∴， ∴，即，解得， ∴旗杆的高度为9.6m． 【点拨】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是证明三角形相似． 【题型 2】镜面反射法测高（高频填空、解答） 【例题1】（25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】雕像的高度为米． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，再结合条件求出的长即可． 解：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 解：由题意得，， ， ， ，，， ， ． 经检验，是方程的解， 故电线杆的高度的值为， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 【变式3】（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1）的长为；（2）点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 解：（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 【题型 3】仰视标杆法测高（重难点、压轴题型） 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．过点A作于点M，交于点，证明，得到，求出的长，即可得出城楼的高度． 解：如图，过点A作于点M，交于点， 由题意，得，，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 答：城楼的高度为． 【变式1】（2024·山东菏泽·一模）小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．测量时，使直角边保持水平状态，其延长线交于点；使斜边与点在同一条直线上．测得边离地面的高度为，点到的距离为（如图所示）．已知，，那么树的高度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意从实际问题中抽象出相似三角形后，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是从实际问题中抽象出纯数学问题，然后利用相似三角形求解． 解：根据题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴（米）． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解相似三角形的应用．证明，得出，即，同理可得，得出，即，进而即可求得 解：由题可知，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 同理，得． ∴，即． 解得米，米． 答：永宁门吊桥门楼的高度为米． 【题型 4】小孔成像测量法 【例题4】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过O作于点C，CO交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 解：由题意得：， ∴， 如图，过O作于点C，CD交于点， ∴，cm， ∴， 即， ∴， 即小孔O到的距离为． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 （1）我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 （2）人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】综合测量法 【例题5】（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为；（2）旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 解：（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 【变式2】（6.7用相似三角形解决问题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，则，求出，即可求解点B，D之间的距离减少多少． 解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 （1）交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】（1）一；（2）解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 解：（1）略 （2）略 【题型 6】其他测量法 【例题6】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 解：（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【变式1】（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小明在打网球时，击球点到网的水平距离为米，网高为米，要使球恰好能打过网，且落点到网的水平距离为米，则球拍击球的高度为__________米． 【答案】1.4 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质：根据得到，写出比例关系即可代值计算． 解：∵， 解得（米）， 故答案为：1.4． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． （1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； （2）投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【答案】（1）4米；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． （1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 解：（1）解：如图，连接，过A点作于F， 米，米，米， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为4米； （2）解：过点G作于点F，过点A作于点H，则，如图所示： 米，， 米， （米）， （米）， ，， ， ， ， 解得（米）， ∴此时点G到水平底板的距离为米． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比． 解：设旗杆高度为米， ∵身高:影长旗杆高:旗杆影长， ∴， ∴， ∴旗杆高 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 3．（2025·山西大同·二模）小文在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（   ）（小孔大小和厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合题意得，即可求出烛焰的高． 解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 解：如图所示，连接， ∵． ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出． 解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度． ，，， ，， ，， 即， 解得，， 故． 故选：D． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据已知可得米，再根据题意可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 解：∵米，米， ∴（米）， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 故选：B． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴，即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，根据，证明，再把数值代入计算，即可作答． 解：， ， ， ， 的高为,为,为, ， 故答案为：5 13．（25-26九年级上·全国·周测）如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点C处测得自己的影长为，小明同学继续沿着方向行走到达点F处，此时测得自己的影长为．已知小明的身高为，则路灯的高度为________m． 【答案】5.25 【分析】设,，多次利用相似三角形的性质建立方程来求解. 解：设． ， ∴， ， ，即， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 又， ，解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意， ． 故答案为： 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与应用等，解题的关键是利用相似三角形的性质建立方程来求解. 14．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高___________丈． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可． 解：设这栋楼高x丈， 由题意得，， 解得， ∴这栋楼高12丈， 故答案为：12． 15．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是_______m． 【答案】10 【分析】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解：根据题意， ，（反射角等于入射角）， ， ，即， ， 所以这栋大楼高为， 故答案为：10． 17．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 【答案】5 【分析】过点F作，交于点M，交于点N，根据平面镜反射原理，得，证明，根据三角形相似的性质，矩形性质解答即可． 本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 解：过点F作，交于点M，交于点N， 则四边形，都是矩形， ∴，，，， 根据平面镜反射原理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 【答案】（1）证明：由题可知，， ；（2） 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 解：（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 21．（本小题满分10分）（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·全国·期中）如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为，点C与墙根点G的距离为，且A，G，C三点在同一条直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形求得线段的长度即可求得树高． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， 解得， ∴小树的高为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）证明四边形为矩形，可得，再由，即可求解． 解：（1）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． （2）解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 解：（1）解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； （2）解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 问题解决活动：利用相似三角形测高（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 （一）活动原理 1 （二）三种常见测高模型（必考） 2 模型一：平行光影长法（标杆/物体影长模型） 2 模型二：镜面反射法（平面镜成像模型） 2 模型三：仰视标杆法（遮挡平行模型） 2 （三）实验测量步骤（标准答题模板） 2 （四）高频易错点 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】平行影长法测高（基础必考） 3 【题型 2】镜面反射法测高（高频填空、解答） 4 【题型 3】仰视标杆法测高（重难点、压轴题型） 5 【题型 4】小孔成像测量法 7 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型 5】综合测量法 8 【题型 6】其他测量法 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理解读 （一）活动原理 在无法直接测量物体高度（大树、高楼、旗杆、山峰等）的场景中，利用平行光线、垂直地面、构造直角相似三角形的原理，通过测量可量化的短距离、影长、人高等数据，结合相似三角形对应边成比例的性质，间接求出物体高度。 核心依据：相似三角形对应边成比例；同一时刻、同一地点，太阳光为平行光线。 （二）三种常见测高模型（必考） 模型一：平行光影长法（标杆/物体影长模型） 适用场景：晴天、地面平整，物体、标杆均垂直地面。 构造原理：同一时刻太阳光平行，物体与标杆均垂直地面，构造两个直角三角形相似。 比例公式： 优点：操作简单、计算简便；缺点：依赖太阳光，阴天无法测量。 模型二：镜面反射法（平面镜成像模型） 适用场景：无阳光、全天候可用，地面平整可放置平面镜。 构造原理：利用光的反射定律（反射角=入射角），结合人与物体垂直地面，构造两个直角三角形相似。 比例公式： 优点：不受天气限制；缺点：镜面摆放需水平，测量距离精准度要求高。 模型三：仰视标杆法（遮挡平行模型） 适用场景：物体过高、影长无法完整测量，借助标杆定点仰视测量。 构造原理：人眼、标杆顶端、物体顶端三点共线，标杆与物体均垂直地面，构造子母型相似三角形。 核心思路：利用水平距离差、高度差列比例式求解，需扣除人眼离地高度。 （三）实验测量步骤（标准答题模板） 1. 准备工具：卷尺、标杆（已知高度）、平面镜、记录本； 2. 搭建模型：根据场景选择对应测高方法，固定测量工具位置； 3. 测量数据：精准测量可量化的边长、距离、高度数据； 4. 列比例式：根据相似三角形性质列出比例方程； 5. 计算结果：解方程求出物体高度，检验结果合理性。 （四）高频易错点 1. 影长法必须满足同一时刻、同一地点，不同时刻光线不平行，三角形不相似； 2. 仰视模型计算时，容易遗漏人眼离地高度，导致结果偏差； 3. 镜面反射模型需找准对应边，禁止混淆人物距离与物体距离； 4. 所有测高模型中，地面必须水平、物体必须垂直地面，否则无法构造直角相似三角形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】平行影长法测高（基础必考） 【例题1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）古代一位数学家想出了一种测量建筑物高度的方法：如图，为了测量建筑物的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与建筑物的影长，即可近似算出建筑物的高度．如果米，米，米，求该建筑物的高度． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得3米高的标杆在地面上的影子长为4米，则教学楼的高度是（   ） A．16米 B．18米 C．28米 D．36米 【变式2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【变式3】（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为m． （1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； （2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长m，请求出旗杆的高度． 【题型 2】镜面反射法测高（高频填空、解答） 【例题1】（25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【变式3】（25-26九年级上·河北保定·期末）【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【题型 3】仰视标杆法测高（重难点、压轴题型） 【例题3】（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 【变式1】（2024·山东菏泽·一模）小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．测量时，使直角边保持水平状态，其延长线交于点；使斜边与点在同一条直线上．测得边离地面的高度为，点到的距离为（如图所示）．已知，，那么树的高度等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 【题型 4】小孔成像测量法 【例题4】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 （1）我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 （2）人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】综合测量法 【例题5】（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【变式2】（6.7用相似三角形解决问题（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了_____ ． 【变式3】（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 （1）交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； （2）请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【题型 6】其他测量法 【例题6】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【变式1】（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小明在打网球时，击球点到网的水平距离为米，网高为米，要使球恰好能打过网，且落点到网的水平距离为米，则球拍击球的高度为__________米． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． （1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； （2）投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 3．（2025·山西大同·二模）小文在做小孔成像实验时，固定蜡烛与光屏的距离为，然后将小孔置于距离光屏的位置，测得烛焰的像高，，则此时烛焰的高为（   ）（小孔大小和厚度忽略不计） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东深圳·阶段检测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建莆田·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，里面的大量数学问题充分体现了我国古代人的聪明智慧．《九章算术》中有一个问题专门记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 13．（25-26九年级上·全国·周测）如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点C处测得自己的影长为，小明同学继续沿着方向行走到达点F处，此时测得自己的影长为．已知小明的身高为，则路灯的高度为________m． 14．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高___________丈． 15．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．如果王青的眼睛距地面的距离，同时量得，，则这栋楼的高是_______m． 17．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． （1）求证：． （2）求河宽的长． 21．（本小题满分10分）（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·全国·期中）如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为，点C与墙根点G的距离为，且A，G，C三点在同一条直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $