专题 3.8 相似三角形经典几何模型（一线三等角）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过表格系统梳理“一线三等角”模型知识体系，将同侧型、异侧型模型的基本图形、结论及证明过程清晰呈现，构建起从图形特征到逻辑推理的知识脉络，突出相似三角形判定与性质的重难点联系。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过“一线三直角”矩形动点问题、“一线三等角”等边三角形应用等例题及变式，培养推理意识与几何直观，巩固提升题型综合不同模型情境，同步检测覆盖选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 3.8 相似三角形经典几何模型（一线三等角）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】同侧型一线三等角模型 1 【模型二】异侧型一线三等角模型 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】“一线三直角”模型 2 【题型 2】“一线三等角”模型 5 【题型 3】“一线三直角和一线三等角”模型综合 9 三.题型精析（巩固提升） 17 【题型 4】“一线三直角”模型 17 【题型 5】“一线三等角”模型 23 【题型 6】“一线三直角和一线三等角”模型综合 27 四.同步检测 38 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 38 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 48 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 57 一.模型梳理与解读 【模型一】同侧型一线三等角模型 基本图形 结论 证明 【模型二】异侧型一线三等角模型 基本图形 结论 证明 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“一线三直角”模型 【例题1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知四边形，，P是边上的一点，．若，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，推出，再利用相似三角形的性质即可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 解得． 【变式1】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点．若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质，得到，结合，得到，判定即可，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 其余都不满足相似的条件， 故选D． 【变式2】（21-22九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点是线段BD上一个动点，，，，．当，则BP的长度=_______． 【答案】2或12/12或6 【分析】证得△ABP∽△PDC，根据相似三角形的性质即可求得． 解：（1）∵∠B＝∠D＝90°，∠APC＝90°， ∴∠A+∠APB＝∠CPD+∠APB＝90°， ∴∠A＝∠CPD， ∴△ABP∽△PDC， ∴＝， ∵，，， ∴＝， 解得BP＝2或12； 经检验，∴BP＝2或12是原方程的解； 故答案为：2或12 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，证得三角形相似是解题的关键． 【变式3】（第十八章相似形（基础过关）-2020-2021学年京改版九年级数学上册单元测试卷）如图，，，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足，若，求CF的长． 【答案】． 【分析】如图（见分析），先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． 解：如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【题型 2】“一线三等角”模型 【例题2】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 解：∵为等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∴． 【变式1】（2024·河南周口·二模）如图①，在等边三角形中，点为边上的任意一点，且交于点，设线段的长度为的长度为若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和三角形外角和，找到两组相等角，判断出△ABP于△PCD相似，列出比例式，设AB为a，代入x与y，化简得到的函数关系式，将函数关系式化成顶点式，根据函数图像利用最大值求出a的值，从而解决问题． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴， ∵， ∠CPD+∠APD=∠B+∠BAP， ， ， ∴， 设，则， ， ∴当时，取得最大值， 又∵由题图②可得y的最大值为1， ，． ∴AB=4， ∴△ABC的高为， 故选：B． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质定理，利用二次函数最值求字母的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握相似三角形的性质定理，列出相应的关系式． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于_______．    【答案】 【分析】因为，，，，所以，可证，从而可得，即，，在直角三角形中，根据，构建方程求出即可． 解：，，， ， ， ， 正方形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题综合考查了正方形的性质和勾股定理的应用，本题中利用勾股定理得出是直角三角形是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】的长为或 【分析】本题考查的知识点为相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，利用两角相等判定求得相似比，由勾股定理求得的长，再根据相似比求得的长，对等腰的腰和底进行分类讨论是解题的关键. 解：, ． ， ， ， , ． ， ， 解得． 为等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： ①当时，，即； ②当时，， ， ， , ． 综上所述，BE的长为或2． 故答案为：的长为或, 【题型 3】“一线三直角和一线三等角”模型综合 【例题3】（21-22九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用： （2）①证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②3.6；拓展： （3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①略 ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2） 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）． 探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°， BC=，CE=9，则 DE 的长为 ． 【答案】感知：是； 探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD． ∵∠B=∠APD， ∴∠BAP=∠CPD． ∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD， 拓展：5 【分析】感知：先证明∠BAP=∠CPD，然后根据平行线的性质证明∠B=∠C，即可证明△ABP∽△DCP； 探究：根据三角形外角的性质可得∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．由∠B=∠APD，推出∠BAP=∠CPD，据此即可证明△ABP∽△DCP； 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，得到，继而求出BD=8，再证明∠A=90°，，AD=AB﹣BD=4，AE=AC﹣CE=3，即可利用勾股定理求出答案． 解：感知：∵∠APD=90°， ∴∠APB+∠DPC=90°， ∵∠B=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB∥CD，∠B=90°， ∴∠C=180°-∠B=90°=∠B， ∴△ABP∽△DCP， 故答案为：是； 探究： 略 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∴， ∵点P是边BC的中点， ∴BP=CP=， ∵CE=9， ∴， ∴BD=8， ∵∠B=∠C=45°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥AB且AC=AB， ∴， ∴AD=AB﹣BD=4，AE=AC﹣CE=3， 在Rt△ADE中，DE=． 故答案是：5． 【点拨】此题是相似三角形综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理．解本题的关键是证明△ABP∽△PCD． 【变式3】（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，是边的中点，是上一点，已知. （1） （2）平行四边形中，是边上一点，是边上一点，，.如图，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图中，设正方形的边长为.只要证明，可得，求出、即可解决问题； （2）如图中，在上取一点，使得.只要证明△DHF是等边三角形，推出，再证明，可得. 解：（1）证明：如图中，设正方形的边长为. 四边形是正方形， ， ， ，， ， ∴， ， ，， ，， ； 故答案为； （2）如图中，在上取一点，使得， 图2 ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， . 故答案为（1） ；（2） . 【点拨】本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题. 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】“一线三直角”模型 【例题4】（24-25九年级上·吉林长春·期中）【感知】如图①，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． 求证：． 【应用】如图②，在矩形中，，点E为边上一个动点（点E不与点A重合），连结，点F在上，满足，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连结． ①当时，线段的长度是______．②面积的最大值是______． 【答案】感知：证明：∵， ∴， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴； 应用：①；② 【分析】感知：根据旋转的性质，得出，，推出，利用证明即可； 应用：①如图，过点G作交延长线于点H，证明，求出，进而求出，再利用勾股定理即可解答；②同理①得：，设，则，求出，即可得到，再根据二次函数的性质即可解答． 解：感知：略 应用： 解：①如图，过点G作交延长线于点H， ∵将边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②同理①得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的应用，正确作出辅助线，构造三角形的全等与相似是解题的关键． 【变式1】（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是的中线，于点，且，则的长为（    ） A．13 B．11 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质求线段长是解答的关键．先证明求得，则，过A作于F，证明四边形是矩形得到，，在中利用勾股定理求解即可． 解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得，则， 过A作于F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，由余角的性质推出，判定，推出，求出，，得到，由勾股定理求出． 解：过作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2026·广西防城港·模拟预测）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型”化．例如三角形的相似的学习过程中，“”字形是非常重要的基本图形． （1）【探究模型】如图，已知：三点共线，求证：； （2）【应用模型】如图，已知点，点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证，设出点坐标，根据比例关系求出点坐标即可． （1）解： ， ， ， （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 点在直线上， 设， 则， 解得， ，． 【题型 5】“一线三等角”模型 【例题5】（25-26九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 又， ； （2） 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到的长． 解：（1）略 （2）解：， ， ∵，， ， 解得， 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形，二次函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，根据三角形的内角和，则，根据，得，根据等量代换，相似三角形的判定和性质，则，得，设，则，推出，当最小时，最大，则，当时，最大，求出，根据，即可求出． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴（点，，在同一条直线上）， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，要使最小，则有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，最大，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ______． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）在等腰三角形中，，点P，D分别在边，上，使． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明：， ， 又∵， ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）由，可得，又由．利用三角形外角的性质，可得，继而可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长； （2）易求得，继而可证得，则可判定． 解：（1）， ， 且， ， ， ， ， ， ， （2）略 【题型 6】“一线三直角和一线三等角”模型综合 【例题6】（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2），（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数、三角形面积，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形； （1）由，，得，可证， （2）过点C作于点N． ∵，，，根据（1）的方法同理可得，得，由得，再有勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F． 根据（1）的方法同理可得，得，求出，根据三角形面积公式即可解答． 解：（1）略． （2）解：如图①，过点C作于点N． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图②，过点A作于点E，过点D作， 交的延长线于点F． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故栽种竹子的面积（即的面积）为． 【变式1】（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． （1）特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． （2）类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． （3）拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：当时， ，， ∵， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴， ∴ （2） （3）， 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则，即可得到结论； （2）证明，得到，则，即可得到结论； （3）作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到． 解：（1）略 （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）作 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 【变式2】（2024·浙江·一模）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度． 【答案】（1）∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； （2） （3）或 【分析】（1）通过角的等量代换，得出，通过证明，即可作答． （2）分别过点作，证明，得出设，证明，列式得，算出，即可作答． （3）进行分类讨论，当以及当，然后作图，根据相似三角形的判定与性质，运用数形结合思想，列式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）分别过点作，如图 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 即 ∴， 设 ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）∵的两条直角边长之比为， ∴当时，分别过点作，如图 与（2）同理，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当，过点分别作的延长线上于点J，如图： ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴解得 则 ∴ 综上或 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形的性质等综合知识内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式3】（2024·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】                                                              （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． ①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】 （3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    【答案】（1）同角的余角相等；（2）①；②如图所示（方法不唯一）    （3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍， 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用； （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）①根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证； ②根据新定义，画出等联角； （3）设，，当在线段上时即，证明，根据相似三角形的性质，根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解． 解：（1）如图1，已知，则，， 可得，这一步的依据是是同角的余角相等． 又因为，可得； 故答案为：同角的余角相等； （2）①∵， ∴ 又∵ ∴      故答案为：； ②略 （3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，，理由如下： 设，，当在线段上时即，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴ 当时，即重合，此时重合，则，不符合题意， ∴ ∵ ∴当周长等于周长的4倍时， 即，即，， 解得：（舍去）或， 即：， ∴存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，F是所在直线上的点，若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用三角形内角和定理和三角形的外角性质求得，，推出，证明，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得，即，即可求解； 解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D 3．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（    ） A．1.5 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，先证明得，求出，，可得，化简得，根据二次函数的性质可得结论． 解：在等边中，， ∵， ∴， 又∵， ∴　， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ 整理得， 这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 将代入函数解析式得：， 因此，的最小值为3， 故选：D． 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，，，，P是上的动点，连接，若，则这样的点P共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．设，则，则由相似三角形性质得到，化简得到，再根据根的判别式判断即可． 解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，故这样的点P共有2个， 故选：C． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在矩形中，、分别是、上的点，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及相似三角形的判定方法，从而求得图中存在的相似三角形即可． 解：∵在矩形ABCD中， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵∠AEF＝90° ∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90° ∴∠DAE＝∠CEF ∴△ADE∽△ECF 故选C． 【点拨】此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，先证明与均是等腰直角三角形，通过性质证明，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 解：∵，，， ∴与均是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25九年级上·海南海口·期中）直线，且与的距离为与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，分别过点、、作，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出及的长，在中根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定得出，故可得出的长，在中根据勾股定理即可求出的长． 解：别过点、、作，，， ∵是等腰直角三角形， ， ，，， ，， 在与中， ∴， ，， 与的距离为2，与的距离为6， ，， 在中， ，， ， ，， ∴， ， 在中， ，， 所以． 故选：A． 8．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在等边中，点，分别是上的点，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质得出，，再证明，利用相似三角形的对应边成比例求出的长，最后由即可求解． 解：是等边三角形， ，． ， ． ，且， ． 又， ． ，即． ． ． 9．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构建直角三角形，利用相似三角形的判定和性质求出，，结合点在坐标系中的位置，即可求解． 解：过点作轴，交于点，如图： 根据题意可得，， 在中，， ∵， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 则， ∵点在第二象限， 故点的坐标是． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活应用这些性质解决问题是解题的关键．根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，从而得到，可判断①；过点E作于点F，根据角平分线的性质，可得，，从而得到，可判断②；证明，可得，可判断③． 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选：A． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝_____． 【答案】2﹣或． 【分析】当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分两种情况求出CE长． 解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴∠B＝∠C＝45°． ∵∠ADE＝45°， ∴∠B＝∠C＝∠ADE． ∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC， ∴∠ADB＝∠DEC． ∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°， ∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE， ∴∠EDC＝∠BAD， ∴△ABD∽△DCE ∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°， ∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE． ∴△ABD≌△DCE． ∴CD＝AB＝． ∴BD＝2﹣= CE， 当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA． ∵∠ADE＝45°， ∴此时有∠DEA＝90°． 即△ADE为等腰直角三角形． ∴AE＝DE＝AC＝． ∴CE=AC＝ 当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去， 因此CE的长为2﹣或． 故答案为2﹣或． 【点拨】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质. 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于F，ME交BC于G，连接FG，若AB＝，AF＝3，则BG＝_____，FG＝_____． 【答案】 【分析】由于∠DME=∠A=∠B=45，利用外角定理证得∠AFM=∠BMG，即可推出AMF∽△BGM，再根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度． 解：∵∠DME=∠A=∠B=45° ∴AC=BC，∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=2， ∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理）， ∠DME=∠A=∠B（已知）， ∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B， ∴△AMF∽△BGM， ∴， ∴BG==， AC=BC=4cos45°=4， ∴CG=4﹣=，CF=4﹣3=1， 在Rt△FCG中，由勾股定理得： FG===． 故答案为：，． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、FG的长度． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】过A 作交于D，过D作轴于E，轴于F，过C作轴于G，则可证四边形是矩形，得出，，证明，可得，，根据旋转的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等可求出，，证明，根据相似三角形的性质可求出，，即可求解． 解：过A作交于D，过D作轴于E，轴于F，过C作轴于G， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在等边中，，P、Q分别是边、上的点，且，，则的长是____________________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质．通过证明，可得，即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判定和性质等知识．由等边三角形的性质可知，，从而可得，．再根据，可求出，即证明，从而可证，得出，代入数据即可求出的长，即可求解． 解：∵为边长为9的等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 16．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得，，再运用三角形外角性质，得，证明，再把数值代入计算，即可作答． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·北京东城·阶段检测）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．当的长为______时，有最大值． 【答案】4 【分析】先证明△BAE∽△CEF，得到，设BE为x，得到关于x的二次函数，进而即可求解． 解：∵∠ABC=∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∵CD⊥BC， ∴∠ECF=90°， ∴△BAE∽△CEF， ∴， 设BE为x，则EC=8−x， ∴ ∴2CF=x（8−x）， ∴CF=−x2+4x=−（x−4）2+8， ∴当x=4，即BE=4时，CF的值最大． 故答案是：4 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，掌握相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，是解题的关键． 18．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，，，，点在上，且交于点，以下结论：①；②；③的面积最大值为；④若平分，则，其中正确的结论为______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质等知识．通过证明点，点，点，点四点共圆，可证，可得，故正确；由相似三角形的判定方法可证，故正确；由可证，可得，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求的面积最大值为，故错误，通过证明，可得，即，故正确． 解：，， ， ， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，故正确； ， ， 又， ，故正确； 如图，过点作直线于， ， 又，， ， ， ， ， 的面积， 的面积最大值为，故错误， 和是等腰直角三角形， ，， 平分， ， 又， ∽， ， ， ，故正确； 故答案为：①②④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广西贺州·期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长． 【答案】 【分析】由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度． 解：∵AB平行CD，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，中，,，点D是上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使 （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由，得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）先根据勾股定理求得，再根据相似三角形的对应边成比例得，则． 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵, ∴， ∴， 则, 又， ∴； （2）解：∵， ∴ 在中，，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题重点考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·上海浦东新·期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）证明，得； （2）延长交的延长线于点T．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点E作与交于点F，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2中，延长交的延长线于点T． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点E作与交于点F，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： （2）【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： （3）【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 解：（1）略 （2）略 （3）略 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，若，，，则______；    （2）如图2，四边形中，，，，点在线段上，且，连接，作，交于点，则四边形的面积是多少？    （3）如图3，四边形中，，，且，点到的距离为．求四边形面积的最小值．    【答案】（1）；（2）四边形的面积是；（3）四边形面积的最小值为 【分析】（1）根据直角三角形的性质可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，可求出矩形的面积，根据直角三角形的性质可证，由此可求出的长，，，根据即可求解； （3）如图所示，过点作，过点作的垂线，交于点，交延长线于点，过点作于点，设，可用含的式子表示的长，分别根据几何图形的面积计算方法列出关于的式子，根据配方法将关于的式子化成顶点式即可求解． 解：∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，且，， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点作于点，    ∵，即，，且， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，且，，， ∴， ∴，解得，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是； （3）如图所示，过点作，过点作的垂线，交于点，交延长线于点，过点作于点，且点到的距离为，    ∴， ∵， ∴， 由（1）的推理可知，，且， ∴， ∴，则， 设，则，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，不规则图形的面积的计算方法，配方法等知识的综合，掌握以上知识，图形结合，构造合适的辅助线是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·宁夏银川·期中）【问题呈现】 如图①，在四边形中，点P在边上（P不与A、B重合）， 求证：． 证明：∵         ∴ 又∵， ∴ ∴           ∵                ∴ 某数学兴趣小组在完成上面题目的解答后，做了如下探究． 【问题探究】如图②，在四边形中，点P在边上（P不与点A、B重合），当时，，你同意这个结论吗？请说明理由． 【知识应用】如图③，在矩形中，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，求的长． 【答案】[问题探究]同意，理由如下： 如上图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； [知识应用] 6或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确识别“一线三等角”相似是解题的关键． [问题探究]同题干方法即可证明； [知识应用]分三种情况讨论，借助于“一线三等角”相似求解即可． 解：[问题探究] 略 [知识应用]解：当时，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴,， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴； 当时，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：若是直角三角形，的长为6或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.8 相似三角形经典几何模型（一线三等角）（模型梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】同侧型一线三等角模型 1 【模型二】异侧型一线三等角模型 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】“一线三直角”模型 2 【题型 2】“一线三等角”模型 3 【题型 3】“一线三直角和一线三等角”模型综合 4 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 4】“一线三直角”模型 6 【题型 5】“一线三等角”模型 7 【题型 6】“一线三直角和一线三等角”模型综合 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.模型梳理与解读 【模型一】同侧型一线三等角模型 基本图形 结论 证明 【模型二】异侧型一线三等角模型 基本图形 结论 证明 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】“一线三直角”模型 【例题1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知四边形，，P是边上的一点，．若，，，求的长．    【变式1】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点．若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·广东广州·阶段检测）如图，点是线段BD上一个动点，，，，．当，则BP的长度=_______． 【变式3】（第十八章相似形（基础过关）-2020-2021学年京改版九年级数学上册单元测试卷）如图，，，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足，若，求CF的长． 【题型 2】“一线三等角”模型 【例题2】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长． 【变式1】（2024·河南周口·二模）如图①，在等边三角形中，点为边上的任意一点，且交于点，设线段的长度为的长度为若与的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于_______．    【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为多少？ 【题型 3】“一线三直角和一线三等角”模型综合 【例题3】（21-22九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【变式1】（22-23九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）感知：如图①，在四边形 ABCD 中，ABCD，∠B=90°，点 P 在 BC 边上，当∠APD=90°时，△ABP 与△PCD 是否相似？ （填“是”或“否”）． 探究：如图②，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：△ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°， BC=，CE=9，则 DE 的长为 ． 【变式3】（18-19九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，是边的中点，是上一点，已知. （1） （2）平行四边形中，是边上一点，是边上一点，，.如图，若，求的值. 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】“一线三直角”模型 【例题4】（24-25九年级上·吉林长春·期中）【感知】如图①，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． 求证：． 【应用】如图②，在矩形中，，点E为边上一个动点（点E不与点A重合），连结，点F在上，满足，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连结． ①当时，线段的长度是______．②面积的最大值是______． 【变式1】（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是的中线，于点，且，则的长为（    ） A．13 B．11 C．8 D．6 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______． 【变式3】（2026·广西防城港·模拟预测）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型”化．例如三角形的相似的学习过程中，“”字形是非常重要的基本图形． （1）【探究模型】如图，已知：三点共线，求证：； （2）【应用模型】如图，已知点，点在直线上，若，求点的坐标． 【题型 5】“一线三等角”模型 【例题5】（25-26九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ______． 【变式3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）在等腰三角形中，，点P，D分别在边，上，使． （1）求的长； （2）求证：． 【题型 6】“一线三直角和一线三等角”模型综合 【例题6】（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【变式1】（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． （1）特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． （2）类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． （3）拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【变式2】（2024·浙江·一模）【基础巩固】（1）如图1，已知于点，于点，是上一点，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，已知，，点，分别在边和上，是上一点，且，，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，已知，，点，分别在直线和直线上，是边上一点，且，，的两条直角边长之比为，直接写出此时的长度． 【变式3】（2024·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】                                                              （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． ①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】 （3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，F是所在直线上的点，若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（    ） A．1.5 B． C．2 D．3 4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，，，，P是上的动点，连接，若，则这样的点P共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在矩形中，、分别是、上的点，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·海南海口·期中）直线，且与的距离为与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在等边中，点，分别是上的点，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 9．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在四边形中，，，点在上，平分，平分．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝_____． 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于F，ME交BC于G，连接FG，若AB＝，AF＝3，则BG＝_____，FG＝_____． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直角坐标系中，点，，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则点的纵坐标为______． 14．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在等边中，，P、Q分别是边、上的点，且，，则的长是____________________． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 16．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    17．（24-25九年级上·北京东城·阶段检测）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．当的长为______时，有最大值． 18．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，，，，点在上，且交于点，以下结论：①；②；③的面积最大值为；④若平分，则，其中正确的结论为______（填序号）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·广西贺州·期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，中，,，点D是上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使 （1）求证：； （2）若，求的长度． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·上海浦东新·期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 22．（本小题满分10分）（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： （2）【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： （3）【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，若，，，则______；    （2）如图2，四边形中，，，，点在线段上，且，连接，作，交于点，则四边形的面积是多少？    （3）如图3，四边形中，，，且，点到的距离为．求四边形面积的最小值．    24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·宁夏银川·期中）【问题呈现】 如图①，在四边形中，点P在边上（P不与A、B重合）， 求证：． 证明：∵         ∴ 又∵， ∴ ∴           ∵                ∴ 某数学兴趣小组在完成上面题目的解答后，做了如下探究． 【问题探究】如图②，在四边形中，点P在边上（P不与点A、B重合），当时，，你同意这个结论吗？请说明理由． 【知识应用】如图③，在矩形中，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $