第二章 实数 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元测试，以“数学眼光-思维-语言”为核心，覆盖实数分类、二次根式、无理数等核心知识，融合数学文化（祖冲之圆周率）、实际应用（球形容器体积）及规律探究，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15题|二次根式有意义条件（第2题）、无理数估算（第7题）、实数与数轴（第14题）|结合祖冲之圆周率考实数概念（第8题）、球形容器体积计算（第15题）| |填空题|8题|实数分类（第16题）、新定义运算（第21题）、规律探究（第23题）|程序运算（第18题）、计算器操作（第19题）考查应用能力| |解答题|7题|实数分类（第24题）、二次根式加减（第27题）、勾股定理与数轴（第30题）|池塘体积计算（第26题）体现建模思想，规律归纳（第31题）培养推理意识|

第二章 实数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 2．在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．化简：（   ） A．8 B．3 C． D． 6．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上，实数对应的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 9．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 10．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 11．已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 12．若与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 13．化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 14．如图，在中，，点表示，，，如若以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 15．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．_____和_____统称为实数． 17．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 18．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 19．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为_________． 20．已知，则的值为_______． 21．定义运算“@”的运算法则为：，则______． 22．已知，，则______． 23．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 三、解答题 24．把下列各数的序号填在相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦； (1)整数｛    ｝． (2)分数｛    ｝． (3)无理数｛    ｝． 25．已知1的算术平方根是a，b的立方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 26．某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 27．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 28．如图，将一个长为，宽为的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，求纸片剩余部分的面积． 29．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 30．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 31．观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C B B B C D A C C C A C B B A 1．【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 2．【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数列出不等式求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 3．【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 4．【答案】B 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；将18分解为，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：； 故选C． 6．【答案】D 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减的结果为有理数是解题的关键．由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴为有理数， A、∵是无理数， ∴是无理数； B、 ∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； C、∵，是无理数， ∴是无理数，故整体是无理数； D、∵，是有理数， ∴是有理数． 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 8．【答案】C 【知识点】实数与数轴、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 10．【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 11．【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题利用非负数的性质求解，初中阶段常见的非负数有平方、绝对值、算术平方根，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此分别求出，，的值，再计算它们的和即可． 【详解】 ， ， ，且， 每个非负数都为0，可得： ，解得， ，解得， ，解得， ． 12．【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，据此判断即可． 【详解】A、时，，与不是同类二次根式； B、时，，与不是同类二次根式； C、时，，与是同类二次根式； D、时，，与不是同类二次根式． 13．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解： 因此化简结果为． 14．【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理并结合题意可得，再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵以点C为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D， ∴， ∵点表示， ∴点D表示的数为， 故选：B． 15．【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 16．【答案】 有理数 无理数 【知识点】实数概念理解 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 17．【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】根据数轴上点的位置确定，的取值范围，利用绝对值的性质即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，，，且， 所以 ． 18．【答案】 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 19．【答案】5 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的立方和立方根，要注意表示求64的立方根．根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：5． 20．【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 21．【答案】7 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：7． 22．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】先把所求代数式通分，再把x、y的值代入进行计算即可． 【详解】解：， 将，代入 得：原式=， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键． 23．【答案】63 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 24．【答案】(1)①④⑥ (2)②③ (3)⑤⑦ 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． （1）根据整数的定义解答即可； （2）根据分数的定义解答即可； （3）根据无理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：整数｛①④⑥｝． （2）解：分数｛②③｝． （3）解：无理数｛⑤⑦｝． 25．【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根，立方根和无理数的估算方法，求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是a，b的立方根是3， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）可知：，，， ∴的平方根为． 26．【答案】待建的三面墙的总长度是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 27．【答案】(1) (2) 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 28．【答案】384 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，长方形的面积、正方形的面积，根据题意，首先算出长方形的面积，然后再算出剪去的四个小正方形的面积，再相减即可得出剩余部分的面积． 【详解】解：长方形的面积：， 减去的四个小正方形的面积和：， 所以剩余部分的面积为：． 29．【答案】的值为7或 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 30．【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 31．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $