第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版2024九年级上第三十章直线和圆的位置关系单元测试，覆盖正多边形、切线性质、圆与几何综合等核心知识点，结合古建筑情境，梯度设计体现数学眼光与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|正多边形内外角（1-2）、切线性质与圆周角（3-10）、圆与几何综合（11-12）|结合河北古建筑八角窗情境，基础巩固到能力提升| |填空题|5题|正多边形内角（13）、切线性质（14）、动态几何最值（15-17）|动态问题考查空间观念，如动圆与线段EF最小值| |解答题|5题|切线证明（18-21）、圆与三角形综合（19-22）、动态与代数结合（22）|多问设计体现推理能力，如切线判定与弦长计算综合|

人教版（2024）九年级上 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．6 C．10 D．12 2．图1是八角窗，其轮廓是正八边形，在河北的古建筑中有所体现，图2是其示意图，它的外角∠1的度数为（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．135° 3．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠C=25°，则∠A为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．如图，点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接AB，BC，若∠ABD=40°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．30° C．25° D．15° 6．如图，点P是⊙O外一点，PB，PC与⊙O相切于点B，C，AC是⊙O的直径，连接AB．若∠A=65°，则∠P的度数为（　　） A．65° B．55° C．50° D．45° 7．（2025秋•河东区期末）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=36°，则∠OBC的度数为（　　） A．16° B．18° C．20° D．36° 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C在⊙O上，如果∠ACB=113°，那么∠AOP的大小为（　　） A．65° B．66° C．67° D．68° 9．如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB=AC．则∠ACB的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．45° 10．如图，AB与⊙O相切于点A，OB交⊙O于点C，点D为⊙O上一点，连接DA、DC，若∠B=36°，则∠D的大小为（　　） A．25° B．27° C．34° D．56° 11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，半径为5的⊙O与AC，BC分别相切于点E，F，与AB交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（3，0），B（0，4），⊙O的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 二．填空题（共5小题） 13．一个正多边形每个内角是140°，则这是一个正______边形． 14．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B．若∠C=60°，则∠P=______°． 15．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是 ______． 16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则DE=______． 17．如图，以矩形ABCD的边AB为直径的⊙O与CD边相切，连接AC交⊙O于点E，过点E作EF⊥AB交⊙O于点F，过点O作OH⊥AE交AD的延长线于点H，连接FH交⊙O于点G，连接EG，若，则⊙O的半径为______；EG的长度为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC=∠D=60°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若BC=4时，求劣弧AC的长． 19．如图，△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，过点D的切线与CB延长线交于点F． （1）求证：DF∥AB； （2）若⊙O的半径为2，∠F=60°，求弦CD的长． 20．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线DC与BA的延长线交于点C，连接BD，AD，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E． （1）求证：∠ABD=∠EBD； （2）若AC=2，CD=4，求BE的长． 21．在⊙O中，已知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB，且DE⊥CD．连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN=PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若CD=8，BF=2，求DE的长． 22．已知AB是⊙O直径，AC、AD为两条弦，连接CD与AB交于点H，AD=AC． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，连接BC，弦DE⊥BC交AB于点K，连接CE，求证：AC=CE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，点F在弧BD上，连接AF与CD交于点G，连接EF，若AG：EF=25：39，DG=2，AH=4，求BE的长． 人教版（2024）九年级上 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、B 3、A 4、A 5、A 6、C 7、B 8、C 9、C 10、B 11、D 12、A  二．填空题（共5小题） 13、九； 14、60； 15、4.8； 16、； 17、5；；  三．解答题（共5小题） 18、（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠B=∠D=60°， ∴∠BAC=90°-∠B=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即：BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OC， ∵∠B=∠D=60°，且OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=OC=BC=4， ∵∠D=60°， ∴∠AOC=2∠D=120°， ∴劣弧AC的长为=． 19、（1）证明：如图，连接OD． ∵DF与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∴∠ODF=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD=2∠ACD=90°=∠ODE， ∴DE∥AB； （2）解：如图，连接AD，作AG⊥DC，垂足为点G． ∵DF∥AB， ∴∠ABC=∠F=60°． ∴∠ADC=∠ABC=60°． 在Rt△AOD中，． 在Rt△ADG中，∠AGD=90°，∠ADG=60°， ∴∠DAG=30°， ∴，． 在Rt△AGC中，∠AGC=90°，∠ACG=45°， ∴∠CAG=∠ACG=45°， ∴． ∴． 20、（1）证明：如图，连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD． ∵OD⊥CE，BE⊥CD， ∴∠E=90°， ∴∠ODC=∠E， ∴OD∥BE， ∴∠ODB=∠EBD， ∴∠ABD=∠EBD； （2）解：设⊙O的半径为r,且AC=2， 则OD=r,OC=r+2． ∵OD2+CD2=OC2，CD=4， ∴r2+42=（r+2）2， 解得：r=3， ∴OD=3，OC=5，BC=8． 由（1）知OD∥BE， ∴∠COD=∠CBE，∠CDO=∠E， ∴△COD∽△CBE， ∴，即， 解得． 21、（1）证明：连接OE， ∵PN=PE， ∴∠PEN=∠PNE=∠BNF， ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE． ∵AB⊥CD， ∴∠OBE+∠BNF=90°， ∴∠OEB+∠PEN=90°， 即∠OEP=90°， ∴PE⊥OE， ∵OE是半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：连接CE，： ∵DE∥AB，AB⊥CD， ∴∠EDC=90°， ∴CE为⊙O的直径． ∵AB⊥CD， ∴， 设⊙O的半径为x, ∴OF=x-2， ∵CF2+OF2=OC2， ∴42+（x-2）2=x2， 解得x=5， ∴CE=2x=10． ∴． 22、（1）证明：∵AD=AC， ∴，即点A在CD的垂直平分线上， 又∵AB是⊙O的直径， ∴直径AB平分弧CD， 根据垂径定理，可得AB⊥CD． （2）证明：由（1）知， ∵AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD=∠ABC， ∵DC⊥AB， ∴∠AHC=∠BHC=90°， ∴∠BAC+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠BCD， 又∵DE⊥BC， ∴∠CDE+∠BCD=90°，∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠CDE=∠ABC， ∴， ∴AC=CE； （3）解：延长FE至L使EL：EF=25：39，连接CF，CL，AE， 又∵AG：EF=25：39， 则AG=EL， 根据圆内接四边形的性质，有∠FAC+∠FEC=180°， 又∵∠CEL+∠FEC=180°， ∴∠FAC=∠CEL， 由（2）知，AC=CE， ∴△GAC≌△LEC（SAS）， ∴∠ECL=∠DCA=∠CFL，CL=CG， 又∵∠L=∠L， ∴△CEL∽△FCL， ∴， ∴， ∴， ∴， 设AG=5x,CG=8x,CD=8x+2，DH=1+4x,GH=DH-2=4x-1， 在Rt△AHG中，有AG2=AH2+GH2即（5x）2=（4x-1）2+42， 解得x1=1，（舍去）， ∴CH=DH=5，CD=10， 又∵∠ADH=∠ABC，∠AHD=∠CHB， ∴△ADH∽△CBH， ∴， 则AH•HB=CH•HD， ∴， ∴， 连接AE，由AB是直径，则∠BEA=90°， 又∵AD=AC=CE， ∴， ∴∠EAC=∠CEA=∠ADC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ACE， ∴△DAC≌△ACE（SAS）， ∴AE=CD=10， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $