专题3.2 基本不等式重难点题型讲义（2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题3.2 基本不等式重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 基本不等式的内容及辨析 题型二 由基本不等式比较大小 题型三 由基本不等式证明不等关系 题型四 基本不等式求积的最大值 题型五 基本不等式求和的最小值 题型六 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型七 基本不等式“1”的妙用求最值 题型八 条件等式求最值 题型九 基本不等式的恒成立问题 题型十 对勾函数求最值 题型十一 基本不等式的实际应用 题型十二 基本（均值）不等式的应用 拓展训练一 基本不等式的综合应用 拓展训练二 基本不等式的求值问题 知识点一：基本不等式的证明 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【即时训练】 1.（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 2.（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故答案为： 知识点二：基本不等式的应用 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【即时训练】 1.（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 2.（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】为正实数，则为正数，由得， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：8 【经典例题一 基本不等式的内容及辨析】 【例1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用大正方形的面积不小于四个小矩形的面积构造不等式. 【详解】如图:    设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为， 则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为， 显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以 所以（当且仅当时取等号）. 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 2．（多选题）（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 【答案】6 【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值. 【详解】由题意，由，得， 即，故． 又，所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，解得或，则， 所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求方程的正数解． 【答案】，，且． 【分析】利用均值不等式对原式中的每一项进行分析，然后根据已知方程求解，，的值. 【详解】，，为正数，则 由此得到， 当且仅当，，且时，等号成立． 所以，原方程的正数解是，，且． 【经典例题二 由基本不等式比较大小】 【例1】（2023高三上·广西·学业考试）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号. 1．（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 2．（多选题）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 3．（22-23高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 【答案】. 【分析】利用做差比较法和基本不等式方法依次比较；；；;的大小即可得答案. 【详解】解：∵， ∴，∴ ∵，∴ ∴ 基本不等式容易得， ∵， ∴， ∵， ∴ 故. 【点睛】本题考查作差法比较大小和基本不等式比较大小，是基础题. 【经典例题三 由基本不等式证明不等关系】 【例1】（2023·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知正数，，满足：，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用，然后应用基本不等式可得所求最大值． 【详解】． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2．（多选题）（22-23高一上·河北保定·期中）设，，给出下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式及不等式的性质判断. 【详解】，， 则，A恒成立； 时，，，，B不恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，C恒成立； ，当且仅当时等号成立，D恒成立． 故选：ACD． 3．（24-25高三下·上海徐汇·阶段练习）已知、为实数且，有下列不等式：① ；② ；③ ；④ ；其中恒成立的不等式序号为 ． 【答案】①② 【分析】根据基本不等式，结合特例法逐一判断即可. 【详解】因为，所以不等式①正确； 因为，所以，当且仅当时取等号，所以不等式②正确； 当一正一负时，显然，所以不等式③不正确； 当时，，，显然不等式④不正确， 故答案为：①② 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，，求证：，并指出何时取等号． 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式，构造求解即可 【详解】因为，，，， ，当且仅当时，等号成立． 【经典例题四 基本不等式求积的最大值】 【例1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式直接求解. 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值． 【答案】 【分析】将函数两边取平方，通过凑项，利用三维的基本不等式即可求得函数的值域. 【详解】由题意知， 则， 当且仅当，即时取等号．故， 又，所以． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 2．（多选题）（23-24高一下·河南·开学考试）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式求解出的最值，从而得出结果. 【详解】解：依题意得， 则，当且仅当时，等号成立． 故选： 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为 【答案】/ 【分析】利用长方体的表面积和体积公式，结合均值不等式即可求解. 【详解】设长宽高分别为， 则长方体的表面积为， 由均值不等式：， （当且仅当取等号） 所以长方体容积的最大值为， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值． 【答案】 【分析】函数在给定区间内求最大值问题，进行函数合理变形，结合基本不等式满足条件，从而求得最值； 【详解】， 所以，当，即时，． 【经典例题五 基本不等式求和的最小值】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）若，求的最小值． 【答案】 【分析】利用不等式构造，可求解 【详解】由不等式，． 当且仅当，即，时取等号，的最小值为． 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（多选题）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误， 故选：BC． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据已知条件得到，代入到要求的式子中，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】 【分析】由,得到当时，算出最值即可. 【详解】， 当且仅当即时，． 【经典例题六 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【例2】（2023高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 2．（23-24高一上·天津蓟州·阶段练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 4．（2024高一·上海·专题练习）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润（单位：10万元）与运营年数为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润. 【答案】x=5，最大年平均利润是20万元. 【分析】设二次函数解析式，，将代入求出解析式，进而得出平均利润表达式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设，， 点在二次函数图象上，则， 解得，所以， 所以平均利润， 当且仅当时，即时取等号， 此时最大年平均利润是20万元. 【经典例题七 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知正数满足，求的最小值． 【答案】16 【分析】法一，根据条件，利用“1”的妙用，即可求解；法二，根据条件，利用权方和不等式，即可求解. 【详解】法一，因为，所以． 又均为正数，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号．综上，的最小值为16． 法二，利用权方和不等式得，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为16． 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 【答案】AB 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以，即xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确； ＝ ， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误； ，即， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 故选：AB 3．（2025高三·全国·专题练习）已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】通过对进行变形，构造出可以使用的基本不等式的形式，从而求出最小值. 【详解】，，，，，， 根据基本不等式可得，， 当且仅当时，即时等号成立． ． 【经典例题八 条件等式求最值】 【例1】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立. 故的最小值为. 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 2．（多选题）（23-24高一上·四川达州·阶段练习）若 ，且，则的取值可能是（  ） A．10 B．23 C．25 D．28 【答案】CD 【分析】利用基本不等式的性质进行判断. 【详解】若,, 则，当且仅当取等号， 令,, 则， 所以或（舍去）， 所以. 故选：CD. 3．（24-25高二下·上海·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据重要不等式，即可求解. 【详解】由重要不等式， 得，即，当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 4．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据已知先求的最大值，然后对目标式通分，结合不等式性质可得； （2）先将目标式平方，然后根据重要不等式可得. 【详解】（1），，， ， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为8. （2）因为，， 所以 . 所以，当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为. 【经典例题九 基本不等式的恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】已知，则， 因为4， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4. 因为恒成立，所以，解得，即. 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】恒成立问题转化为求最值问题，通过等价变形与配凑，可以使用基本不等式求最值即可求解 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴，即． 1．（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最大值，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又对任意恒成立，所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意得，再利用基本不等式即可求得其最大值，进而即可求得的取值范围． 【详解】由， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故的取值范围为． 【经典例题十 对勾函数求最值】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，若函数的值域为，求实数b的值； 【答案】； 【分析】由题意，先排除的情况，再根据给定的对勾函数的性质，可得答案. 【详解】当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则. ∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. ∴在上是减函数，在上是增函数. ∴函数的值域为， ∵函数的值域为， ∴，即. 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 2．（多选题）（22-23高一上·陕西西安·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合均值不等式即可得出结果. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；故A正确，B错误； 当时， ，当且仅当时，等号成立；故C正确，D错误； 故选：AC. 3．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在时取得最小值，求的值． 【答案】36 【分析】利用基本不等式，可知当且仅当时，取得最小值，再结合题意，得到，即可求出的值. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值， 又由在时取得最小值，所以，解得. 故的值为. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【经典例题十一 基本不等式的实际应用】 【例1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 1．（2023高二·全国·专题练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 【答案】B 【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴， 即， 解得， ∴． ∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立． ∴车厢容积的最大值为．选B． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 3．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 4．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 【经典例题十二 基本（均值）不等式的应用】 【例1】（25-26高三上·广东·开学考试）若实数满足，则下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得，结合求出，再结合，，逐一判断即可. 【详解】由得， 结合可得，， 得，等号成立时， 结合可得，， 得，等号成立时， 综上可得：，故B正确； 由可得，则有， 解得：，则，故A正确； 由及得，， 解得，故C正确； 由得，，即, 因，则，，故D错误. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，设，求S的取值范围． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出时，当时，将表示为的函数， 再利用基本不等式及不等式性质求出范围. 【详解】当时，，则， 当时，，令， 则，而， 当且仅当时取等号， 因此，即，则， 解得，而， 所以S的取值范围是. 1．（25-26高三上·北京·开学考试）如果正数满足，那么（    ） A．，且等号成立时取值唯一 B．，且等号成立时取值唯一 C．，且等号成立时取值不唯一 D．，且等号成立时取值不唯一 【答案】A 【分析】利用基本不等式和重要不等式逐项分析即可. 【详解】对于A、B，因为为正数，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立，故A正确，B错误； 对于C、D，，当且仅当等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立，故C、D错误. 故选：A 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则函数（    ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．最大值为 D．最小值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式求最值． 【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即，所以函数有最大值，无最小值. 故选：BC． 3．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 【答案】 二 ，（或者） 【分析】根据策略，列出两种的平均价格，利用基本不等式作比较，得出结论. 【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济； 不等关系是：，，等号成立时. 故答案为：二；， 4．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 【答案】 【分析】设步，步，根据，求得，得到该小城的周长为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设步，步， 由，可得，即，可得， 所以该小城的周长为（步）， 因为1里300步，所以（步）（里）， 所以该小城的周长最小值为里. 【拓展训练一 基本不等式的综合应用】 【例1】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【详解】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由，整理后利用不等式的性质即可判断B. 【详解】对于A，， 当且仅当且，即时取等号，故A正确； 对于B，由D选项证得，则有： ， 当且仅当时取等号，所以，即，故B正确 （也可利用三元基本不等式，，相加得证）； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为，，，所以， 所以，当且仅当时取等号，故D错误． 故选：D． 2．（多选题）（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（    ） A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为1 D．的范围是 【答案】BD 【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解 【详解】对于A，，故，化简得， ，所以，，A错 对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对 对于C，由于，所以，， 故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错 对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时， 即时，直线与圆相切， 当过定点的直线的斜率存在时，令， 则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率， 可设过定点的直线为：， 该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为， 可求得，化简得，故，故D对 故选：BD 【点睛】本题考查基本不等式的运用，以及直线与圆的位置关系，主要考查学生的转化思想和数形结合思想，属于中档题 3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【分析】设的长为，总造价为元，根据面积关系得阴影部分面积为，草坪面积为，花坛面积，进而得到，利用基本不等式求最值，得到答案. 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）两次利用基本不等式得到，再利用基本不等式即可得证； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，求出的范围，再由及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为， 则，，其中，即， 由基本不等式得 ， 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 【拓展训练二 基本不等式的求值问题】 【例1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【例2】（23-24高一上·上海·阶段练习）仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 【答案】(1)9； (2)18； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用“1”的代换整理目标代数式，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，， 则 ， 当且仅当时等号成立，故最小值为9； （2）由，则 ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为18； （3）由，，则，即， 所以，显然， 所以， 当且仅当，即，则时等号成立， 所以最小值为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 2．（多选题）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A，B，D，特殊值法判断C. 【详解】对于A： ，故，即，当且仅当取等号，故A正确； 对于B：因为， ，当且仅当取等号，故B正确； 对于C：若，令，故C错误； 对于D：，故，当且仅当取等号，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，又，用基本不等式求和的最小值. 【详解】， ，当且仅当即，时等号成立， 则xy的最大值是, ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：； 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质以及充分与必要条件的判断即可. 【详解】取，则，故充分性不成立； 当时，一定有，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 6．（多选题）（22-23高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，且，则（    ） A． B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是1 【答案】ABD 【分析】易求得，可判断A；利用基本不等式可得，可判断B；由，可求得最大值与最小值，可判断CD. 【详解】由，可得，因为，所以，解得， 又，所以，即，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，可得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； 当或时，取最大值，最大值是，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ACD 【分析】作差比较判断A、C；运用基本不等式并验证等号成立的条件，可判断B；利用重要不等式可判断D. 【详解】对于A：若，由， 因，故，又，即，.故A正确； 对于B：当时，，则， 当且仅当，即时取等号， 因，则有，故B错误； 对于C：若，则， 故由，可得，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时取等号， 因，故，即有最大值，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 【答案】BC 【分析】根据条件，结合基本不等式，以及“1”的妙用，即可判断选项. 【详解】因为a，b为正实数，且，由，可得，当且仅当时取等号，所以ab有最大值，故A错误； 解法一：因为，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 解法二：由不等式，可得，所以，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 解法一：因为，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C正确； 解法二：因为，所以，当且仅当时取等号，则有最小值4，故C错误； 由不等式，可得，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误． 故选:BC． 10．（多选题）（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式和重要不等式，分别判断各选项的正误. 【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，A错误． 因为，所以．因为，所以0，解得，B正确． 因为，所以，所以．因为2，所以，即，C正确． 因为，所以，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 11．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为 ． 【答案】4 【分析】如图所示，作于E，设，，在中利用勾股定理得出一个关于b、h的等式，并用均值不等式放缩得到关于面积的一个不等式，即可得到题目所要求的等腰三角形的面积最大值． 【详解】如图所示，作于E，于F，则，又因为D为中点，所以，设，，故，在中，由可得，，即， 当且仅当等号成立，此时，，所以， ． 故答案为：4． 12．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13．（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】或 【分析】由条件和基本不等式直接可得. 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 14．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是假命题，则的取值范围 【答案】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】若命题时，是假命题， 则命题时，是真命题， 则，由于，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 15．（2025高三下·全国·专题练习）设，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得恒大于三个式子的和，再结合均值不等式求出和的最小值即可 【详解】因为， 所以， 故，当且仅当取等号. 故答案为：3 16．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求x的最大值． 【答案】18 【分析】利用换元法把条件转化，结合基本不等式可求答案. 【详解】设，，a，，则， 于是， 从而可得，等号当即时取得， 因此所求的最大值为18． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为．若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，由实际意义及已知条件列出不等式组即可得. 【详解】由题意平行于墙的一条边长为，铁皮总长即矩形其中三边长和为40m， 如图，可知矩形的另一条边长为， 由实际意义可得，即， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为． 18．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值． 【答案】81 m2 【分析】先设矩形菜园的长和宽，再根据，应用基本不等式得出面积的最大值即可. 【详解】设矩形菜园的长和宽分别为，则， 由题意有，所以，所以矩形菜园的面积， 当且仅当时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为9 m时，矩形菜园的面积最大为81 m2． 19．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）（1） “，不等式恒成立”为真命题，求实数a的取值范围． （2）已知正数a，b满足，证明： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1） 根据基本不等式求出，，再根据不等式，不等式恒成立”可得答案． （2）利用“1”的变形技巧，结合基本不等式求解． 【详解】（1）由基本不等式可知，（当且仅当时取“＝”）， 因为，不等式恒成立”，所以，故， （2），，， ， 当且仅当即时，等号成立． 20．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【分析】先用边长通过几何关系表示出所求面积，再用基本不等式即可求解，注意检验等号是否能取得 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 基本不等式重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 基本不等式的内容及辨析 题型二 由基本不等式比较大小 题型三 由基本不等式证明不等关系 题型四 基本不等式求积的最大值 题型五 基本不等式求和的最小值 题型六 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型七 基本不等式“1”的妙用求最值 题型八 条件等式求最值 题型九 基本不等式的恒成立问题 题型十 对勾函数求最值 题型十一 基本不等式的实际应用 题型十二 基本（均值）不等式的应用 拓展训练一 基本不等式的综合应用 拓展训练二 基本不等式的求值问题 知识点一：基本不等式的证明 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【即时训练】 1.（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是 ． 知识点二：基本不等式的应用 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【即时训练】 1.（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2.（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【经典例题一 基本不等式的内容及辨析】 【例1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【例2】（25-26高一上·全国·课堂例题）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求方程的正数解． 【经典例题二 由基本不等式比较大小】 【例1】（2023高三上·广西·学业考试）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 1．（23-24高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．（多选题）（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）当时，比较，，，，，的大小（运用基本不等式及比较法） 【经典例题三 由基本不等式证明不等关系】 【例1】（2023·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知正数，，满足：，求证：． 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·河北保定·期中）设，，给出下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海徐汇·阶段练习）已知、为实数且，有下列不等式：① ；② ；③ ；④ ；其中恒成立的不等式序号为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，，求证：，并指出何时取等号． 【经典例题四 基本不等式求积的最大值】 【例1】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一下·河南·开学考试）已知正数a，b满足则ab的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求函数的最大值． 【经典例题五 基本不等式求和的最小值】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）若，求的最小值． 1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 2．（多选题）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最小值． 【经典例题六 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【例2】（2023高三·全国·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）. 1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 2．（23-24高一上·天津蓟州·阶段练习）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 4．（2024高一·上海·专题练习）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润（单位：10万元）与运营年数为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润. 【经典例题七 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知正数满足，求的最小值． 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 3．（2025高三·全国·专题练习）已知且满足，则的最小值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，求的最小值． 【经典例题八 条件等式求最值】 【例1】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选题）（23-24高一上·四川达州·阶段练习）若 ，且，则的取值可能是（  ） A．10 B．23 C．25 D．28 3．（24-25高二下·上海·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 4．（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【经典例题九 基本不等式的恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 1．（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 2．（多选题）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【经典例题十 对勾函数求最值】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，若函数的值域为，求实数b的值； 1．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 2．（多选题）（22-23高一上·陕西西安·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最小值 C．若，则有最大值 D．若，则有最大值 3．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数在时取得最小值，求的值． 【经典例题十一 基本不等式的实际应用】 【例1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 1．（2023高二·全国·专题练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 4．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【经典例题十二 基本（均值）不等式的应用】 【例1】（25-26高三上·广东·开学考试）若实数满足，则下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，设，求S的取值范围． 1．（25-26高三上·北京·开学考试）如果正数满足，那么（    ） A．，且等号成立时取值唯一 B．，且等号成立时取值唯一 C．，且等号成立时取值不唯一 D．，且等号成立时取值不唯一 2．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则函数（    ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．最大值为 D．最小值为 3．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 4．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 【拓展训练一 基本不等式的综合应用】 【例1】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（    ） A．的范围是 B．的范围是 C．的最大值为1 D．的范围是 3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【拓展训练二 基本不等式的求值问题】 【例1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【例2】（23-24高一上·上海·阶段练习）仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）设，且.则xy的最大值是 ；的最小值为 . 4．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 2．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 4．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 6．（多选题）（22-23高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 7．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，且，则（    ） A． B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是1 8．（多选题）（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 9．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最大值 10．（多选题）（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为 ． 12．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 13．（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是假命题，则的取值范围 15．（2025高三下·全国·专题练习）设，，则的最小值为 . 16．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求x的最大值． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为．若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系. 18．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值． 19．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）（1） “，不等式恒成立”为真命题，求实数a的取值范围． （2）已知正数a，b满足，证明： 20．（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 学科网（北京）股份有限公司 $