10.1.1平方根（第1课时：平方根的概念与计算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练通过A、B、C三层递进设计，以平方根概念为起点，从基础运算到实际应用再到探究创新，构建“概念理解-技能应用-综合探究”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|平方根概念、性质及基本计算|单选题考查概念辨析（如平方根表示方法），解答题训练开平方运算，培养运算能力与符号意识| |B能力提升|平方根与代数、几何结合应用|结合数轴移动（点A到点B）考查实数运算，物理热量公式情境题体现模型意识，发展推理能力| |C综合与实践|跨学科及创新探究|“劳格数”新定义问题、卡片运算设计，培养抽象能力与创新意识，体现数学思维的逻辑性与探究性|

10.1.1平方根 （第1课时：平方根的概念与计算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 2．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 3．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 4．若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解． 【详解】∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是， ∴ 它的另一个平方根是． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 二、填空题 7．已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 8．已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 三、解答题 9．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键． 依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．解方程． （1）     （2）     （3） 【答案】（1）；（2），；（3），． 【分析】（1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可； （2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可； （3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； （2）系数化为1得：， 两边同时开平方得：； 即或， 解得，； （3）移项得： 两边同时开平方得：； 即或， 解得，． 【点睛】本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解． 【B能力提升】 一、单选题 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 2．日常生活中，很多同学发现，用电器的导线在使用过程中会发热，这是因为用电器在使用过程中，电流通过导线时会产生热量，并且满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为电阻（单位：），是通电时间（单位：）．如果导线的电阻为，时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知数值代入热量公式，得到关于电流的方程，求解后取正根即可得到结果． 【详解】解：将 ，，代入公式，得， ， 整理得 ， 解得（负值舍去）， ∴． 二、填空题 3．若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平方根的定义等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 先计算的值，再根据平方根的定义和条件确定的值；由是的一个平方根求的值；最后计算． 【详解】解：∵， ∴ ∵ 是 的平方根，且 ， ∴ ∵，且 是 的一个平方根， ∴ 则 故答案为：8． 4．已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 三、解答题 5．如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【C综合与实践】 1．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数）．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义求得，的值，然后求得L（m，n）的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 2．在数学活动课上，老师组织同学们两人一组设计有理数计算练习，以提升运算的速度和准确性．小强和小亮一起设计了五张写有不同运算的卡片A，B，C，D，E，如下图    小强任意选择一个有理数，小亮选择A，B，C，D，E中的四个卡片顺序，进行一次列式计算（每次卡片不重复使用），如：小强选择了有理数，小亮选择了的顺序，其列式及计算结果是． 请根据以下要求解答问题： (1)若小强选择了3，小亮选择了的顺序，请列出算式并计算结果； (2)若小强选择了，小亮选择了（    ）（    ）的顺序，且列式计算的结果刚好为15，请补全选择的顺序并列出算式； (3)若小强选择了8，小亮选择了（    ）（    ）（    ）的顺序后，计算结果为86，请写出所有可能的顺序； (4)若小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25，求的值． 【答案】(1)；16 (2)； (3)或 (4)0或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确而熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则进行计算，即可解答； （2）分六种情况讨论，分别计算出相应式子的值，即可解答； （3）根据题意可得第三次运算选择D，则第二次运算后的结果为9或，再结合小强选择了8，即可求解； （4）根据运算顺序，列出方程，即可求解， 【详解】（1）解：算式为 （2）解：若选择， ，符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 若选择， ，不符合题意； 综上所述，所选择的顺序为，即； （3）解：∵计算结果为86， 第三次运算后的结果为， ∴第三次运算选择D， ∴第二次运算后的结果为9或， ∵小强选择了8， 当第一次运算选择A，第二次运算选择B时，第二次运算的结果为9，符合题意； 当第一次运算选择B，第二次运算选择A时，第二次运算的结果为9，符合题意； ∴小亮选择了或的顺序后，计算结果为86； （4）解：∵小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25， ∴， ∴， ∴或0． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.1平方根 （第1课时：平方根的概念与计算） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 4．若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知的平方根是，则的值是__________． 8．已知是9的平方根，则的值是__________． 三、解答题 9．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)； (4)． 10．解方程． （1）     （2）     （3） 【B能力提升】 一、单选题 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．日常生活中，很多同学发现，用电器的导线在使用过程中会发热，这是因为用电器在使用过程中，电流通过导线时会产生热量，并且满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为电阻（单位：），是通电时间（单位：）．如果导线的电阻为，时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则________． 4．已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 三、解答题 5．如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【C综合与实践】 1．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数）．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 2．在数学活动课上，老师组织同学们两人一组设计有理数计算练习，以提升运算的速度和准确性．小强和小亮一起设计了五张写有不同运算的卡片A，B，C，D，E，如下图    小强任意选择一个有理数，小亮选择A，B，C，D，E中的四个卡片顺序，进行一次列式计算（每次卡片不重复使用），如：小强选择了有理数，小亮选择了的顺序，其列式及计算结果是． 请根据以下要求解答问题： (1)若小强选择了3，小亮选择了的顺序，请列出算式并计算结果； (2)若小强选择了，小亮选择了（    ）（    ）的顺序，且列式计算的结果刚好为15，请补全选择的顺序并列出算式； (3)若小强选择了8，小亮选择了（    ）（    ）（    ）的顺序后，计算结果为86，请写出所有可能的顺序； (4)若小强选择了有理数为，小亮选择了的顺序后，计算结果为25，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $