4.4 对数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数函数核心知识点，从定义（y=logₐx，a>0且a≠1，定义域(0,+∞)）出发，系统梳理图像性质（分a>1和0<a<1的单调性、定点等），延伸至与指数函数的反函数关系（定义域值域互换、图像关于y=x对称），并对比指数、对数、一次函数的增长差异，构建完整知识支架。 该资料题型设计全面，含概念辨析、定义域求解等六大题型，例题与跟踪训练结合。通过表格对比培养数学语言表达，图像分析题发展几何直观的数学眼光，比较大小题型提升推理能力的数学思维。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

4.4 对数函数 知识点一、对数函数的定义 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二、对数函数的图像和性质 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞). x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]. 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 2.底数对对数函数图像的影响 底数a决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低： （1）上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴. （2）左右比较：比较图像与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 知识点三、反函数 1.指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax(a>0，且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1) 图像 y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称 定义域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值域 （0，+∞） （-∞，+∞） 单调性 当a>1时，y＝ax，y＝logax为增函数 当0<a<1时，y＝ax，y＝logax为减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数. 3.反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换. （2）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称. （3）若函数y=f(x)的图像上有一点(a,b)，则点(b,a)必在其反函数的图像上；反之也成立. （4）单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性. 知识点四、三种函数的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 题型一：对数函数的概念 例1.下列函数中是对数函数的为（ ） A. B. C. D. 解：由对数函数的定义可知，D选项正确.故选：D. 例2.若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝ . 解：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2. 故答案为：2. 跟踪训练： 1.下列函数是对数函数有 . ①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1. 解：①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数. ②符合对数函数的结构形式，是对数函数. ③自变量在底数位置上，不是对数函数. ④对数式log2x后又加上1，不是对数函数.故答案为：②. 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则＝ . 解：设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x， ＝log2＝log22－5＝－5.故答案为：-5. 3.函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝ . 解：依题意有，解得a＝3.故答案为：3. 题型二：求与对数函数有关的函数的定义域 例1.求下列函数的定义域： （1）y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； （2）y＝log2(16－4x)＋； （3）y＝log(1－x)5. 解：（1）由，解得－3<x<3，∴函数的定义域是(－3,3). （2）由， 解得1<x<2，∴函数y＝log2(16－4x)＋的定义域为(1,2). （3）由，解得x<1且x≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0,1). 例2.已知函数f（x）＝ln（mx2﹣4mx+m+3）的定义域为R，则实数m的取值范围是　 　. 解：∵函数f（x）＝ln（mx2﹣4mx+m+3）的定义域为R ∴mx2﹣4mx+m+3＞0在R上恒成立 ①当m＝0时，符合题意 ②解得：0＜m＜1 ∴综上所述0≤m＜1. 故答案为：0≤m＜1 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域： （1）f(x)＝lg(x－2)＋. （2）f(x)＝log(x＋1)(16－4x). （3）. （4）. 解：（1）要使函数有意义，需满足，解得x>2且x≠3， 所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足，解得－1<x<0或0<x<4， 所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,4). （3）由题意可得，﹣2x2+x+3＞0，即2x2﹣x﹣3＜0，解得﹣1＜x. 所以函数的定义域为. （4）由题知，可得， 故f（x）的定义域为{x|}. 2.若函数y＝ln（x2﹣kx+k）的定义域为R，则实数k的取值范围为　 　. 解：由函数y＝ln（x2﹣kx+k）的定义域为R，可得x2﹣kx+k＞0恒成立， 即Δ＝k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4，所以实数k的取值范围为（0，4）. 故答案为：（0，4）. 3.已知函数f（x）＝lg[（a2﹣1）x2+（a+1）x+1]，若f（x）的定义域为R，求实数a的取值 范围； 解：f（x）的定义域为R∴（a2﹣1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立， 当a2﹣1＝0时，得a＝﹣1，a＝1不成立， 当a2﹣1≠0时，，解得或a＜﹣1,， 综上得或a≤﹣1. 题型三：对数函数的图像及应用 例1.如图，①②③④中不属于函数y，y＝log2x，y＝log3x其中一个的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 解：函数y＝lox，y＝log2x，y＝log3x中两个底数a＞1，图象单调递增，故③，④满足题意.根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应y＝log3x，④对应y＝log2x.由于y＝lox＝﹣log3x，则它与y＝log3x的图象关于x轴对称，且②与③关于x轴对称，故y的图象为②，则①不属于y，y＝log2x，y＝log3x其中的个. 故选：A. 例2.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝ ，c＝ . 解：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c. 又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2. 故答案为：－2，2. 例3.（1）已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象. （2）若（1）条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象. （3）若（1）条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象. 解：（1）因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝，所以函数y＝log5|x|的图象如图所示. （2）因为f(x)＝log5|x|，所以g(x)＝log5|x－1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. （3）因为a＝5，所以h(x)＝|log5x|.h(x)的图象如图所示. 跟踪训练： 1.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 解：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.故选：B. 2.函数y＝loga（2x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为 . 解：函数y＝loga（2x﹣3）+2中，令2x﹣3＝1，得x＝2，此时y＝0+2＝2， 所以定点坐标为（2，2）.故答案为：（2，2）. 3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 解：∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称， 当x>0时，f(x)＝logax＋1是增函数； 当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数， 又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知C正确.故选：C. 4.画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间. 解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示. 由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞). 题型四：比较大小 例1.（1）若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 解：因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a. 故选：D. （2）比较下列各组中两个值的大小： ①log31.9，log32； ②log23，log0.32； ③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)； ④log50.4，log60.4. 解：①因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32. ②因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32. ③当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14. 综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14. ④在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4. 跟踪训练： 1.设a＝log23，b＝log35，c＝log58，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞a＞b 解：因为32＞23，所以log232＞log223，即2log23＞3，所以2log23，即a； 因为52＜33，所以log352＜log333，即2log35＜3，即log35，即b； 因为82＜53，所以log582＜log553，即2log58＜3，即log58，即c； 又因为b﹣c＝log35﹣log58log58， 且2log53+log58＝log524＜log525＝2，所以log53•log58＜1，所以b＞c. 综上所述，a＞b＞c.故选：A. 2.比较下列各组数中两个数的大小： （1）log23.4，log23.8. （2）log0.51.8，log0.52.1. （3）0.60.6，0.61.5. （4）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 解：（1）因为函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8； （2）因为函数y＝log0.5x在（0，+∞）上是减函数，1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1； （3）因为函数y＝0.6x在R上是减函数，0.6＜1.5，所以0.60.6＞0.61.5. （4）当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 综上，当a>1时，loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，loga5.1>loga5.9. 题型五：解对数不等式 例1.解下列关于x的不等式： （1） ； （2）loga(2x－5)>loga(x－1)； （3）logx>1. 解：（1）由题意可得,解得0<x<2.所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. （2）当a>1时，原不等式等价于,解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于,解得<x<4. 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0<a<1时，原不等式的解集为. （3）当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解； 当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1.综上，原不等式的解集为. 跟踪训练： 1.（1）求满足不等式log3x<1的x的取值集合； （2）已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围. （3）解不等式：2loga(x－4)>loga(x－2)(a>0，且a≠1). 解：（1）∵log3x<1＝log33，∴x满足的条件为，即0<x<3. ∴x的取值集合为{x|0<x<3}. （2）∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)<log0.7(x－1)，得，解得x>1.∴x的取值范围是(1，＋∞). （3）原不等式可化为loga(x－4)2>loga(x－2)， 当a>1时，有，解得：x>6， 当0<a<1时，有，解得：4<x<6. 所以当a>1时，原不等式的解集为{x|x>6}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|4<x<6}. 题型六：对数型函数的单调性问题及综合应用 例1.函数y＝的单调区间. 解：由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0， ∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R. 令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈时，u(x)单调递减，当x∈时，u(x)单调递增. 又y＝为减函数， ∴y＝在上单调递增，在上单调递减. 综上，函数y＝的增区间为，减区间为. 例2.已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是 （　　） A.（﹣∞，2] B.[2，+∞） C.（﹣4，2] D.[﹣1，2] 解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a，因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在[2，+∞）上为减函数， 只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0在[2，+∞）上恒成立， 所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0，解得﹣4＜a≤2.故选：C. 例3.函数的值域是________. 解：＝， 因为(x＋1)2＋2≥2，所以≤＝－1， 所以函数f(x)的值域是(－∞，－1].故答案为：(－∞，－1]. 跟踪训练： 1.求函数y＝的单调区间. 解：由条件知1－x2>0，∴－1<x<1.令t＝1－x2，x∈(－1,1). 当x∈(－1,0]时，随着x的增大t增大，y＝减少. ∴当x∈(－1,0]时，y＝单调递减. 同理，x∈(0,1)时，y＝单调递增. 故y＝的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]. 2.（1）已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2，＋∞) 解：∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减， 且y＝2－ax在[0,1]上单调递减，∴ ,∴1<a<2.故答案选：B. （2）已知函数f（x）＝loga[x（a﹣x）]（a＞0，且a≠1）在（1，2）上单调递增，则a 的取值范围为（　　） A.（1，2] B.（1，4] C.[2，+∞） D.[4，+∞） 解：若0＜a＜1，则x（a﹣x）＜0在（1，2）上恒成立，不符合条件. 若a＞1，则f（x）在（1，2）上单调递增， 得解得a≥4， 则a的取值范围为[4，+∞）.故选：D. 3.（1）函数y＝log3（2x+1）的值域为　 　. 解：令u（x）＝2x+1，则y＝log3u，u＞0，根据对数函数性质，y∈R， 故答案为：（﹣∞，+∞）. （2）函数y＝log2（x2﹣4x﹣5）的值域是　 　. 解：令t＝x2﹣4x﹣5，则函数t＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9≥﹣9，故可取到一切正数， ∴函数y＝log2（x2﹣4x﹣5）的值域是R，故答案为：R. （3）函数y＝log0.3（x2+4x+5）的值域是　 　. 解：要使函数有意义，则x2+4x+5＞0，解得x∈R， 故函数的定义域为R. 设t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，则t≥1， ∵函数y＝log0.3x在定义域上时减函数，∴y≤log0.31＝0，故所求的值域是（﹣∞，0]. 故答案为：（﹣∞，0]. 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝ln(x＋1) B.y＝log2x C.y＝logxe D.y＝logxx 解：由对数函数定义可知B选项为对数函数.故选：B. 2.对数函数的图象过点M(125,3)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log5x B.y＝ C.y＝ D.y＝log3x 解：设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1).由于对数函数的图象过点M(125,3)， 所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A. 3.函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　) A B C D 解：∵0<a<1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故排除C，D；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确.故选：A. 4.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 解：∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.故选：D. 5.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(0,2) B.(0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) 解：若函数f(x)有意义，则log2x－1>0，∴log2x>1，∴x>2.∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞). 故选：C. 6.不等式的解集为(　　) A.(－∞，3) B. C. D. 解析　由题意可得，解得<x<3.故选：D. 7.函数y＝ln(3－x)＋的定义域为 . 解：由，解得1≤x<3，则函数的定义域为[1,3).故答案为：[1,3). 8.函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为 . 解：令u＝x2＋2x＋4，则u＝(x＋1)2＋3≥3，∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞).故答案为：[1，＋∞). 1.给出下列函数： ①y＝；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logex. 其中是对数函数的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.故选：A. 2.函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A.2 B. C.2或 D.3 解：方法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 故y＝logax的图象过点(，a)，则a＝loga＝. 方法二：∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，∴函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，∴aa＝＝，即a＝.故选：B. 3.函数y＝的定义域为(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C. D. 解：要使函数有意义，需满足，∴，解得：x≥1. ∴函数y＝的定义域为[1，＋∞).故选：A. 4.已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解：∵0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝>＝1，∴c>a>b.故选：D. 5.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　) 解：由f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误.又当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，所以B正确.故选：B. 6.函数y＝的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(1,2) D.(2,3) 解：由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，得1<x<3. 设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2. ∵函数y＝为减函数，∴要求函数y＝的单调递增区间， 即求函数t＝－3＋4x－x2,1<x<3的单调递减区间， ∵函数t＝－3＋4x－x2,1<x<3的单调递减区间是(2,3)， ∴函数y＝的单调递增区间为(2,3).故选：D. 7.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 解：分别作出三个函数的大致图象，如图所示. 由图可知，x2<x3<x1.故选：A. 8.函数y＝的定义域是，则a＝ . 解：由y＝知，3x－a>0，即x>.∴＝，即a＝2.故答案为：2. 9.函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点 . 解：令x－4＝1得x＝5，此时y＝loga1＋2＝2，所以函数y＝loga(x－4)＋2恒过定点(5,2)． 故答案为：(5,2)． 10.函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是 . 解：－x2＋3x＋4＝，∴0<－x2＋3x＋4≤， ∴根据对数函数y＝log0.4x的图象(图略)即可得到：log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2， ∴原函数的值域为[－2，＋∞)．故答案为：[－2，＋∞)． 11.函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是 . 解：依题意，2kx2－kx＋>0的解集为R，即不等式2kx2－kx＋>0恒成立， 当k＝0时，>0恒成立，∴k＝0满足条件． 当k≠0时，则，解得0<k<3.综上，k的取值范围是[0,3)． 故答案为：[0,3)． 12.已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 . 解：二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2， 且满足当x≥2时x2－ax＋3a>0，即，解得－4<a≤4.故答案为：(－4,4]. 13.求下列函数的定义域： （1）y＝log5(1－x)； （2）y＝log(3x－1)5； （3）y＝. 解：（1）要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1， 所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}． （2）要使函数式有意义，需， 解得x>，且x≠， 所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是. （3）要使函数式有意义，需，解得x<4，且x≠3， 所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}． 14.比较下列各组中两个值的大小： （1）ln 0.3，ln 2； （2）0loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； （3）log30.2，log40.2； （4）log3π，logπ3. 解：（1）因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. （2）当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. （3）因为0>log0.23>log0.24，所以，即log30.2<log40.2. （4）因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 15.已知函数f（x）＝ln（x+1）． （1）求函数f（x）的定义域、值域； （2）求不等式f（x）＜2的解集； （3）如果f（3m）＜f（m+2），求m的取值范围． 解：（1）由x+1＞0，得x＞﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f（x）的值域为R． （2）因为ln（x+1）＜2＝lne2， 因为f（x）是增函数，所以0＜x+1＜e2，即﹣1＜x＜e2﹣1， 所以不等式的解集为（﹣1，e2﹣1）． （3）因为y＝ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且是增函数， 所以，解得， 所以m的取值范围是． 16.已知函数f（x）＝loga（1+x），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）+g（x）的定义域； （2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由； （3）当a＝2时，若h（x）＝f（x）+g（x）+m有两个零点，求实数m的取值范围． 解：（1）由函数f（x）＝loga（1+x），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）， 可得，由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1， 所以f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）； （2）因为，定义域（﹣1，1）关于原点对称， ，所以f（x）+g（x）是偶函数； （3）当a＝2时，， 令h（x）＝0，则， 令t＝1﹣x2，x∈（﹣1，1）， 则t∈（0，1]，函数y＝log2t在（0，1]上单调递增，y∈（﹣∞，0]， 易知，函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减． 要使h（x）有两个零点，即有两个解， 那么﹣m＜0，则m＞0，所以实数m的取值范围是（0，+∞）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 对数函数 知识点一、对数函数的定义 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二、对数函数的图像和性质 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞). x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]. 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 2.底数对对数函数图像的影响 底数a决定函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像相对位置的高低： （1）上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图像越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴. （2）左右比较：比较图像与直线y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大. 知识点三、反函数 1.指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax(a>0，且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1) 图像 y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称 定义域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值域 （0，+∞） （-∞，+∞） 单调性 当a>1时，y＝ax，y＝logax为增函数 当0<a<1时，y＝ax，y＝logax为减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数. 3.反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换. （2）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称. （3）若函数y=f(x)的图像上有一点(a,b)，则点(b,a)必在其反函数的图像上；反之也成立. （4）单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性. 知识点四、三种函数的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 题型一：对数函数的概念 例1.下列函数中是对数函数的为（ ） A. B. C. D. 例2.若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝ . 跟踪训练： 1.下列函数是对数函数有 . ①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1. 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则＝ . 3.函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝ . 题型二：求与对数函数有关的函数的定义域 例1.求下列函数的定义域： （1）y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； （2）y＝log2(16－4x)＋； （3）y＝log(1－x)5. 例2.已知函数f（x）＝ln（mx2﹣4mx+m+3）的定义域为R，则实数m的取值范围是　 　. 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域： （1）f(x)＝lg(x－2)＋. （2）f(x)＝log(x＋1)(16－4x). （3）. （4）. 2.若函数y＝ln（x2﹣kx+k）的定义域为R，则实数k的取值范围为　 　. 3.已知函数f（x）＝lg[（a2﹣1）x2+（a+1）x+1]，若f（x）的定义域为R，求实数a的取值 范围； 题型三：对数函数的图像及应用 例1.如图，①②③④中不属于函数y，y＝log2x，y＝log3x其中一个的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 例2.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝ ，c＝ . 例3.（1）已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象. （2）若（1）条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象. （3）若（1）条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象. 跟踪训练： 1.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 2.函数y＝loga（2x﹣3）+2（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为 . 3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 4.画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间. 题型四：比较大小 例1.（1）若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a （2）比较下列各组中两个值的大小： ①log31.9，log32； ②log23，log0.32； ③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)； ④log50.4，log60.4. 跟踪训练： 1.设a＝log23，b＝log35，c＝log58，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞a＞b 2.比较下列各组数中两个数的大小： （1）log23.4，log23.8. （2）log0.51.8，log0.52.1. （3）0.60.6，0.61.5. （4）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 题型五：解对数不等式 例1.解下列关于x的不等式： （1） ； （2）loga(2x－5)>loga(x－1)； （3）logx>1. 跟踪训练： 1.（1）求满足不等式log3x<1的x的取值集合； （2）已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围. （3）解不等式：2loga(x－4)>loga(x－2)(a>0，且a≠1). 题型六：对数型函数的单调性问题及综合应用 例1.函数y＝的单调区间. 例2.已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是 （　　） A.（﹣∞，2] B.[2，+∞） C.（﹣4，2] D.[﹣1，2] 例3.函数的值域是________. 跟踪训练： 1.求函数y＝的单调区间. 2.（1）已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2，＋∞) （2）已知函数f（x）＝loga[x（a﹣x）]（a＞0，且a≠1）在（1，2）上单调递增，则a 的取值范围为（　　） A.（1，2] B.（1，4] C.[2，+∞） D.[4，+∞） 3.（1）函数y＝log3（2x+1）的值域为　 　. （2）函数y＝log2（x2﹣4x﹣5）的值域是　 　. （3）函数y＝log0.3（x2+4x+5）的值域是　 　. 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝ln(x＋1) B.y＝log2x C.y＝logxe D.y＝logxx 2.对数函数的图象过点M(125,3)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log5x B.y＝ C.y＝ D.y＝log3x 3.函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　) A B C D 4.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 5.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(0,2) B.(0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞) 6.不等式的解集为(　　) A.(－∞，3) B. C. D. 7.函数y＝ln(3－x)＋的定义域为 . 8.函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为 . 1.给出下列函数： ①y＝；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logex. 其中是对数函数的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　) A.2 B. C.2或 D.3 3.函数y＝的定义域为(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C. D. 4.已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 5.函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　) 6.函数y＝的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(1,2) D.(2,3) 7.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 8.函数y＝的定义域是，则a＝ . 9.函数y＝loga(x－4)＋2(a>0且a≠1)恒过定点 . 10.函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是 . 11.函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是 . 12.已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 . 13.求下列函数的定义域： （1）y＝log5(1－x)； （2）y＝log(3x－1)5； （3）y＝. 14.比较下列各组中两个值的大小： （1）ln 0.3，ln 2； （2）0loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； （3）log30.2，log40.2； （4）log3π，logπ3. 15.已知函数f（x）＝ln（x+1）． （1）求函数f（x）的定义域、值域； （2）求不等式f（x）＜2的解集； （3）如果f（3m）＜f（m+2），求m的取值范围． 16.已知函数f（x）＝loga（1+x），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）+g（x）的定义域； （2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由； （3）当a＝2时，若h（x）＝f（x）+g（x）+m有两个零点，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $