第4章 4.4 4.4.2 第1课时 对数函数的图象与性质-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的图象与性质核心知识点，通过类比指数函数的研究方法，系统梳理对数函数定义域、值域、定点及单调性，建立与指数函数的反函数关系，形成从图象到性质的完整学习支架。 资料以纳皮尔对数历史情境引入激发兴趣，通过表格对比不同底数对数函数性质培养直观想象，例题变式训练结合图象分析、大小比较提升逻辑推理，预习自测与分层练习助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识。

4．4.2　对数函数的图象与性质 第1课时　对数函数的图象与性质 课程标准 素养解读 1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象 2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点 1.通过对数函数的图象培养直观想象素养 2．通过对数函数的性质提升数学建模和逻辑推理素养 [情境引入] 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749－1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”． [问题]　我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？ 提示：研究指数函数和对数函数的方法是相同的． [知识梳理] [知识点一]　对数函数的图象和性质　 1．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为　(0，＋∞)　，值域为　R　. 图象都过定点　(1,0)　，即　x＝1　时，　y＝0　. 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　. 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　. 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 2.本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质． 3．应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围． 1.底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． [知识点二]　反函数　 1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的　定义域　和　值域　正好互换． 2．反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 2.函数y＝log3x与y＝x互为反函数吗？ 提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与 (a>0且a≠1)有什么关系？ 提示：在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与 (a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． [预习自测] 1．已知实数a＝log45，b＝()0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a　　　　　 B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 答案：D 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x　　 B.　　 C．　　 D．2x－2 答案：A 3．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为　________　. 答案：y＝log2x 　　　对数函数的图象 [例1] (1)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A．c<d<1<a<b B．1<d<c<a<b C．c<d<1<b<a D．d<c<1<a<b [思路点拨]　根据对数函数的图象特点判断． (2)函数f(x)＝logax(0<a<1)的图象大致为(　　) [思路点拨]　先化简，再判断． [解析]　(1)在图中作出直线y＝1，则1＝logax1,1＝logbx2,1＝logcx3,1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2>x1>1>x4>x3，即c<d<1<a<b，故选A. (2)在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0<a<1)，故选B. [答案]　(1)A　(2)B 1．函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响． 观察图象，注意变化规律： 上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象向右越靠近x轴． 左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 2．有关对数型函数图象问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． (2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 3．对数型函数图象恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a＞0，且a≠1，都有loga1＝0.例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)． [变式训练] 1．(多选)函数f(x)＝loga的图象可以为(　　) 解析：ACD　[由题意得函数f(x)＝loga的定义域为. ①当a＞1时，函数f(x)单调递增，且0＜＜1，又f(0)＝loga＝loga＝－1，故A满足题意，B不满足题意． ②当0＜a＜1时，函数f(x)单调递减，且＞1， 又f(－1)＝loga， 当1＜＜2时，f(－1)＝loga＞loga1＝0，故C满足题意；当＝2时，f(－1) ＝loga＝loga1＝0，故D满足题意．] 　　　利用对数的单调性比较大小 [例2] 比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9； (2)log20.3与log0.20.3； (3)log25与log35. [思路点拨]　利用对数函数的单调性判断． [解]　(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9，∴log2π＞log20.9. (2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0， ∴log20.3＜log0.20.3. (3)函数y＝log2x和y＝log3x的图象如图所示．当x＞1时，y＝log2x的图象在y＝log3x的图象上方．这里x＝5，∴log25＞log35. 比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． [变式训练] 2．比较下列各组数的大小： 解：(1) 在(0，＋∞)上递减， 又因为<， 所以 (2)法一：＝－ ＝. ∵y＝lg x是增函数，∴lg <lg <0<lg 3. 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，的图象在图象的上方，所以 (3)当a>1时，y＝logax为增函数， 所以loga2<loga3. 当0<a<1时，y＝logax为减函数， 所以loga2>loga3. 　　　求函数的值域问题 [例3] (1)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为　________　. (2)函数y＝的值域为(　　) A．(0,3)　　　　 B．[0,3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) [思路点拨]　先求定义域，再根据对数函数的单调性求值域． [解析]　(1)f(x)的定义域为R. 因为3x>0，所以3x＋1>1. 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log2(3x＋1)>log21＝0. 即f(x)的值域为(0，＋∞)． (2)x<－1时，0<3x<3－1＝. x≥1时，log2x≥log21＝0. 所以函数的值域为(0，)∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)． [答案]　(1)(0，＋∞)　(2)D 求形如y＝logaf(x)(a>0.且a≠1)的复合函数的值域的步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． [变式训练] 3．求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； 解：(1)设u＝x2＋4≥4. 而y＝log2u是增函数，y＝log24＝2. ∴函数的值域为[2，＋∞)． 设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4. 令t>0.－1<x<3. 0<t≤4. 1．(多选)函数f(x)＝loga(x＋e)的图象可能不过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AD 2．函数f(x)＝log2|2x－4|的图象为(　　) 答案：A 3．已知，则a，b，c，d的大小关系为(　　) A．b＜a＜d＜c B．b＜d＜a＜c C．d＜b＜a＜c D．b＜d＜c＜a 答案：D 4．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点　________　. 答案：(－1,3) 5．已知函数 (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围为　________　. (2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围为　________　. 解析：(1)定义域为R即真数恒大于0，则a＝0或解得a∈[0,1)． (2)值域为R即真数能取遍(0，＋∞)，故a＝0或解得a∈[1，＋∞)． 答案：(1)[0,1)　(2)[1，＋∞) 1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(　　) A．0.5　　　　　　　 B．2 C．e D．π 答案：A 2．已知，则实数a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 答案：C 3．已知点(m，n)在函数y＝lg x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是(　　) A．(m2,2n) B．(10m,10n) C．(m＋10，n＋1) D. 答案：A 4．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　) A. B．2 C. D．2或 答案：D 5．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：BCD　[作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限．] 6．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足，则a的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：BC　[∵＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)，又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2，∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.故选B、C.] 7．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,3]，则区间[a，b]长度的最大值为　________　. 解析：由题知函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0,3]，要使定义域区间的长度最长，则－3≤log2x≤3，解得≤x≤8，故区间[a，b]长度的最大值为8－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a＞0，a≠1)的图象经过定点A(m，n)，若正数x，y满足＋＝1，则＋2x＋y的最小值是　________　. 解析：函数f(x)＝1＋loga(x－2)(a＞0，a≠1)，令x－2＝1，可得x＝3，代入函数解析式可得f(3)＝1，∴定点A的坐标为(3,1)，代入＋＝1，可得＋＝1，∴＝x－3，且x＞0，y＞0， 则＋2x＋y＝3x＋y－3＝(3x＋y)－3＝＋＋7≥2＋7＝6＋7＝13，当且仅当＝，即x＝y＝4时，取等号，∴＋2x＋y的最小值为13. 答案：13 9．设常数a>1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，y的最大值为，则a的值为　________　，x的值为　________　. 解析：由logax＋2logxa＋logxy＝－3，得logax＋＋＝－3(x>0，y>0，x≠1)， 整理可得logay＝－(logax)2－3logax－2. 设logax＝t(t≠0)，则有logay＝－2＋. ∴当t＝－时，logay的最大值为，y的最大值为， ∴＝， ∴a＝4，此时 答案：4　 10．比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解：(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<， 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3， 所以log3π>log33＝1. 同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 11．已知函数f(x)＝lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得到函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2| ＝lg＝lg. ∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x1， ∴|x1|>|x2|>0. ∴>1.∴lg>0.∴f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 即－2≤t≤－1. 可知y＝2－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取最大值为10； 当t＝－1时，y取最小值为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 13．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围． 解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图象，如图所示． 要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1. ∵x＝时，y＝x2＝， 又0＜m＜1， ∴≤m＜1，即实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $