考点13：导数与不等式证明（四大题型23题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案聚焦导数与不等式证明核心考点，整合直接构造函数、放缩法、凹凸反转、同构变形等证明方法，梳理指数、对数等常用放缩结论，按直接法、放缩、最值比较、同构判断题型分层构建知识体系，通过问题链引导学生自主推导证明思路，形成系统认知框架。 亮点在于真题诊断与方法指导结合，开篇设置2026天津高考真题等典型例题，拆解直接法“构造函数-求导分析-求最值”步骤，培养数学思维与逻辑推理能力。每个题型配自测题和反思表，学生可自主诊断薄弱环节，教师能依据学情精准指导，助力学生提升自主复习效率与应试能力。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点13 导数与不等式证明 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；不等式的证明正是最值问题的直接应用，除此之外还有对于函数单调性的应用。纵观近三年的新高考试题难度范围较大。但考点综合性强，出题形式比较多变，本专题旨在研究不含参数情况下的不等式证明，而不研究参数范围。可以预测2027年新高考命题方向将式有可能的出题方向。 1.证明方法的理论基础 （1）若要证(为常数），则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值; （2）已知的公共定义域为，若，则，＞0.证明一元不等式主要的方法三个： ①第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 . ②第二个方法是在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度. ③第三个方法适当放缩构造法，一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. （3）利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法. （4）对数单身狗，指数找朋友：遇到 里面有不要直接求导，越导越麻烦，优先分离出来，让它一个人待着；遇到含的式子，如不要直接求导，两边除以，求导之后式子里面不再含有，极大简化运算。 （5）凹凸反转，转化为最值问题：左边函数是下凸（凹函数），有最小值； 右边函数是上凸（凸函数），有最大值； 两个函数一凹一凸，中间卡在同一个常数 A，所以叫凹凸反转。高频凹凸反转模型：①最小值，凹函数；②最大值，凸函数；最小值，凹函数；④最大值，凸函数。 （6）同构变形：把不等式两边整理成同一个函数外壳若能变形为再研究外层函数 的单调性。 2.常用放缩 指数函数①；②；③. 对数函数①；③； 指数双向放缩;②. 对数双向放缩①；②. 三角放缩①. 分式放缩①②. 经典跨阶放缩. 1.（2026·天津高考真题第20题节选）已知．当时，证明. 【答案】证明见解析 【解析】方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 题型一：直接法 题型分析：直接作差构造辅助函数是证明一元函数不等式最基础的手段。解题步骤：①移项作差，构造新函数 ，写出定义域；②求一阶导数，分析导数符号，判断 的单调性；③求出 的最值，比较最值与 0 的大小，完成不等式证明。 1.（2026届·辽宁鞍山·5月检测·19题节选）已知函数，求证：。 【答案】证明见解析 【解析】要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故，因此. 2.（2026届· 四川成都· 定时训练·19题节选）设函数.当时，证明：； 【答案】证明见解析 【解析】设，则， 因为，所以， 则函数在上单调递增，所以， 得当时，，即得证． 3.（2026届· 东北三省三校·18题节选）已知（） 当时,证明：. 【答案】证明见解析 【解析】，当时，，故，所以要证， 即证明：，即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. 4.（2026届·浙江强基联盟· 1月联考·19题节选）已知，证明：； 【答案】证明见解析 【解析】，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. 5.（2026届·湖北十一校· 二模）已知，其中．求证：当时，. 【答案】证明见解析 【解析】， 令，则， 而且，所以， 即在上单调递增，， 所以，即在上单调递增， 所以。 6.（2026届·山东济宁· 一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 7.（2026届·天津部分区·二模·20题节选）已知函数．证明：. 【答案】证明见解析 【解析】要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； 8.（2026届·山东名校联盟· 2月开始· 18题节选）已知函数． 当时，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】当时，，所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 于是. 9.（2026届·湖南湘一名校联盟· 12月质检·17题节选）函数.，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 10.（2026届·江西部分学校·1月测试·18题节选）已知函数，． 证明：，. 【答案】证明见解析 【解析】要证明，，即证，， 设，则，问题转化为，， 设，则， 所以在区间上单调递减，所以， 即，，即，， 所以，． 题型二：放缩 题型分析：当直接构造函数求导运算繁琐、导数零点难以求解时，可以借助常见的指数、对数、三角不等式放缩，把复杂函数替换成简单函数实现不等式证明。两类放缩思路：①常见切线放缩，注意等号成立条件，证明时要留意若两个放缩的等号不能同时取到，则最终不等式不取等号；②结合题目给出函数值域、单调性做适度放大 、缩小，不需要追求严格相等，只需要放缩后得到比目标不等式更强的命题。 1.（2026届·河南郑州· 一模·18题节选）已知函数. 证明存在唯一的极大值点，且. 【答案】证明见解析 【解析】，设， 因为，所以在上单调递减，又，时， 因此，使得，即，即， 当时单调递增，当时单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. 2.（2026届·江西重点校联盟·一模·19题节选）已知函数．求证：恒成立. 【答案】证明见解析 【解析】先证：， 令，则， 所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立． 又， 由知，，所以，即，得证. 3.（2026届·江西部分高中·一模· 19题节选）已知函数． 当时，证明：不等式在恒成立. 【答案】证明见解析 【解析】因为，则， 由，所以，即在是减函数， 则，即在是减函数， 所以，即不等式在恒成立. 4.（2026届·江西重点高中协作体·一模·18题节选）已知函数，． ，证明不等式恒成立 【答案】证明见解析 【解析】可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 5.（2027届· 中荟高级中学· 8月调研·19题节选）已知函数.证明：对任意，都有. 【答案】 【解析】设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，即. 当时，（当且仅当时，等号成立）. 因为（当且仅当，即时，等号成立）， 所以（两个等号不能同时成立），所以, 所以对任意，都有. 6. （2026届· 山海关区第一中学· 期末·19题节选）已知双曲正弦函数的定义为.证明：当时，. 【答案】 【解析】设，， ，当且仅当即时等号成立， ，在上单调递增， 又，所以当时，，即； 题型三： 题型分析：原不等式很难移项合并成一个方便求导的函数，但是可以拆成左右两个独立函数 ，可以分别独立求出的最小值、的最大值。 1.（2026届·湖北智学联盟· 12月联考· 19题节选）已知函数当∈（0，1），求证：>--1 【答案】证明见解析 【解析】原不等式为>，即> 令，故函数在上单调递减，（，1）上单调递增 所以= 设函数，则. 设函数，则， 易知在上单调递增. 因为， 所以存在，使得， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 当时，， 当时，，， 故存在，使得， 即当时，，当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，， 所以> 故. 2.（2027届·银川一中· 第一次月考· 17题节选）已知函数． 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】要证明， 只需证，只需证，        设，则， 所以单调递增；单调递减， ； 设·，则 所以单调递减；单调递增， ； ≤，即 题型四：同构判断不等式 题型分析：对不等式两边做代数变形，整理成同一个外层函数的复合形式： 之后不需要直接研究原复杂不等式，转而分析外层函数 的单调性：若外层单调递增，则等价于证明；若外层单调递减，则等价于证明 。 1.（2026届· 天津十二区重点· 二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 故选：D. 2.（2026届·山东济宁·5月针对训练）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即， 令，， 当时，，单调递减， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，即，即， 综上． 故选：A. 3.（2026届·湖北智学联盟· 12月联考）已知，，，则 。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 4.（2026届·深圳中学· 二轮一模·19题节选）定义．证明：； 【答案】证明见解析 【解析】设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 则. 5.（2026届·广东湛江· 二模·18题节选）已知函数，. 证明：对任意，都有. 【答案】证明见解析 【解析】证明：要证，即证，即 设， 故当时，，在区间（0，1）上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故，又，，0， 所以. 要证即证F=，. =≥0，所以F在区间（0，）上单调递增. 又F=-2，所以F＜0. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点13 导数与不等式证明 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；不等式的证明正是最值问题的直接应用，除此之外还有对于函数单调性的应用。纵观近三年的新高考试题难度范围较大。但考点综合性强，出题形式比较多变，本专题旨在研究不含参数情况下的不等式证明，而不研究参数范围。可以预测2027年新高考命题方向将式有可能的出题方向。 1.证明方法的理论基础 （1）若要证(为常数），则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值; （2）已知的公共定义域为，若，则，＞0.证明一元不等式主要的方法三个： ①第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 . ②第二个方法是在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度. ③第三个方法适当放缩构造法，一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. （3）利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法. （4）对数单身狗，指数找朋友：遇到 里面有不要直接求导，越导越麻烦，优先分离出来，让它一个人待着；遇到含的式子，如不要直接求导，两边除以，求导之后式子里面不再含有，极大简化运算。 （5）凹凸反转，转化为最值问题：左边函数是下凸（凹函数），有最小值； 右边函数是上凸（凸函数），有最大值； 两个函数一凹一凸，中间卡在同一个常数 A，所以叫凹凸反转。高频凹凸反转模型：①最小值，凹函数；②最大值，凸函数；最小值，凹函数；④最大值，凸函数。 （6）同构变形：把不等式两边整理成同一个函数外壳若能变形为再研究外层函数 的单调性。 2.常用放缩 指数函数①；②；③. 对数函数①；③； 指数双向放缩；②. 对数双向放缩①；②. 三角放缩①. 分式放缩①②. 经典跨阶放缩. 1.（2026·天津高考真题第20题节选）已知．当时，证明. 2.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 题型一：直接法 题型分析：直接作差构造辅助函数是证明一元函数不等式最基础的手段。解题步骤：①移项作差，构造新函数 ，写出定义域；②求一阶导数，分析导数符号，判断 的单调性；③求出 的最值，比较最值与 0 的大小，完成不等式证明。 1.（2026届·辽宁鞍山·5月检测·19题节选）已知函数，求证：。 2.（2026届· 四川成都· 定时训练·19题节选）设函数.当时，证明：； 3.（2026届· 东北三省三校·18题节选）已知（） 当时,证明：. 4.（2026届·浙江强基联盟· 1月联考·19题节选）已知，证明：； 5.（2026届·湖北十一校· 二模）已知，其中．求证：当时，. 6.（2026届·山东济宁· 一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 7.（2026届·天津部分区·二模·20题节选）已知函数．证明：. 8.（2026届·山东名校联盟· 2月开始· 18题节选）已知函数． 当时，证明：. 9.（2026届·湖南湘一名校联盟· 12月质检·17题节选）函数.，证明：. 10.（2026届·江西部分学校·1月测试·18题节选）已知函数，． 证明：，. 题型二：放缩 题型分析：当直接构造函数求导运算繁琐、导数零点难以求解时，可以借助常见的指数、对数、三角不等式放缩，把复杂函数替换成简单函数实现不等式证明。两类放缩思路：①常见切线放缩，注意等号成立条件，证明时要留意若两个放缩的等号不能同时取到，则最终不等式不取等号；②结合题目给出函数值域、单调性做适度放大 、缩小，不需要追求严格相等，只需要放缩后得到比目标不等式更强的命题。 1.（2026届·河南郑州· 一模·18题节选）已知函数. 证明存在唯一的极大值点，且. 2.（2026届·江西重点校联盟·一模·19题节选）已知函数．求证：恒成立. 3.（2026届·江西部分高中·一模· 19题节选）已知函数． 当时，证明：不等式在恒成立. 4.（2026届·江西重点高中协作体·一模·18题节选）已知函数，． ，证明不等式恒成立 5.（2027届· 中荟高级中学· 8月调研·19题节选）已知函数.证明：对任意，都有. 6. （2026届· 山海关区第一中学· 期末·19题节选）已知双曲正弦函数的定义为.证明：当时，. 题型三： 题型分析：原不等式很难移项合并成一个方便求导的函数，但是可以拆成左右两个独立函数 ，可以分别独立求出的最小值、的最大值。 1.（2026届·湖北智学联盟· 12月联考· 19题节选）已知函数当∈（0，1），求证：>--1 2.（2027届·银川一中· 第一次月考· 17题节选）已知函数． 求证：. 题型四：同构判断不等式 题型分析：对不等式两边做代数变形，整理成同一个外层函数的复合形式： 之后不需要直接研究原复杂不等式，转而分析外层函数 的单调性：若外层单调递增，则等价于证明；若外层单调递减，则等价于证明 。 1.（2026届· 天津十二区重点· 二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2.（2026届·山东济宁·5月针对训练）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026届·湖北智学联盟· 12月联考）已知，，，则 。 A. B. C. D. 4.（2026届·深圳中学· 二轮一模·19题节选）定义．证明：； 5.（2026届·广东湛江· 二模·18题节选）已知函数，. 证明：对任意，都有. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $