第50讲导数与不等式证明（一）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学导学案聚焦导数与不等式证明高考核心考点，以单变量不等式证明、双变量割线斜率、极值点偏移等为脉络，系统梳理构造差函数、比值换元、同构思想等必掌握方法，通过问题链设计引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于诊断性题型分层与方法指导，如割线斜率型双变量题设置比值换元标准解题流程，培养学生数学思维与逻辑推理能力。每个题型配备真题演练与反思总结，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依据学情精准指导，助力个性化复习与高效备考。

2027届高三数学一轮复习 第五十讲 导数与不等式证明（一） 【学习目标】1.会构造差函数证明单变量不等式，能够利用题干已证结论、指对经典放缩完 成不等式放缩证明。 2.攻克割线斜率类双变量证明题，熟练使用比值换元将双变量式子转化为单变量函数，借助函数单调性完成证明。 【学习重点】1.割线斜率型双变量不等式，比值换元转化单变量的标准解题流程。 2.同构思想在双变量等式、不等式、极值点偏移中的应用。 【学习难点】1.利用已有结论进行不等式放缩，无法灵活选择放缩尺度，容易出现放缩过度或放缩不足。 2.区分同构、比值换元、构造差函数三种方法的适用场景，综合大题难以快速匹配最优解法。 必掌握知识点： 1、单变量不等式证明与放缩 构造差函数法：欲证 ，令 ，证明 ；欲证 ，证明 。 指对放缩： ，辅助完成不等式证明。 2、切线斜率恒成立求参数 任意 处切线斜率 （或 ）恒成立 等价于：（或 ）；结合二次函数、韦达定理化简导函数，求最值解参数。 3、割线斜率型双变量不等式（本节核心） 特征是给出两点 ，求证割线斜率 与常数、导数值的大小关系。比值换元：令 ，将双变量式子全部转化为关于 的单变量函数；构造 ，利用单调性证明 或 ，逆推原不等式。 4、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 、 类不等式。 解题思路：同构变形统一结构，比值换元转化单变量，结合函数单调性完成证明。 5、同构思想 常见同构模型：。 原理：若 单调，则 ，。 用途：简化双零点、极值点偏移、双变量不等式的变量关系。 必考题型全归纳: 题型一、经典不等式放缩证明（单变量不等式） 构造差函数，利用最值证明； 指对基础放缩辅助证明。 1．（河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试题）已知函数的图像与轴相切，． (1)求证：； (2)若，求证： 2．已知函数，，直线与的图象相切． (1)求的值； (2)若方程在上有且仅有两个解，求的取值范围，并比较与的大小； (3)若，，求证：． 题型二、割线斜率型双变量不等式（核心题型） 已知，两点割线斜率，证明斜率与某常数、 导数值大小关系； 通法：换元，将双变量化为单变量，构造函数结合导数单调性证明。 3．（2015届江苏高考南通密卷一数学试卷）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴． （1）确定与的关系； （2）若，试讨论函数的单调性； （3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：． 4．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 5．（重庆市第十一中学2024届高三上学期第一次质量监测数学试题）已知函数，为的导函数， (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，有. 题型三、极值点偏移（双零点不等式证明） 6．（天津和平区2024届高三一模数学试题）已知函数，（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间： (2)设在处的切线方程为，求证：当时，； (3)若，存在，使得，且，求证：当时，. 题型四 、切线斜率恒成立求参数范围 任意点切线斜率恒成立； 结合二次函数、韦达定理化简导函数最值求解参数。 7．（新课标高三数学导数专项训练（河北））已知函数． (1)若，求的极值和单调区间； (2)已知为的极值点，且，若当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒小于，求的取值范围. 巩固提升： 1．（安徽省黄山市2021届高三下学期第二次质量检测文科数学试题）已知函数，，，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对任意实数，都有函数的图象与直线相切，求证：．（参考数据：） 2．（北京一零一中矿大分校2026届高三下学期开学考试数学试卷）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 3．（湖南师范大学附属中学2022届高三下学期月考（七）数学试题）已知函数，其中为常数. (1)设为的导函数，当时，求函数的极值； (2)设点，，曲线在点处的切线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：. 4．（天津市河北区2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷）已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，证明：对于任意的，，有. 5．（广东省广雅中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷）已知三次函数 (1)当时，试求的单调区间和零点． (2)若函数存在3个不同的零点，证明下列结论： （i）； （ii）当时，成等差数列的充要条件是； （iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：，请同学们结合本题中的关系证明如下命题：记，是函数的导函数，令，证明：对任意是一个次数不超过2的多项式函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十讲 导数与不等式证明（一） 【学习目标】1.会构造差函数证明单变量不等式，能够利用题干已证结论、指对经典放缩完 成不等式放缩证明。 2.攻克割线斜率类双变量证明题，熟练使用比值换元将双变量式子转化为单变量函数，借助函数单调性完成证明。 【学习重点】1.割线斜率型双变量不等式，比值换元转化单变量的标准解题流程。 2.同构思想在双变量等式、不等式、极值点偏移中的应用。 【学习难点】1.利用已有结论进行不等式放缩，无法灵活选择放缩尺度，容易出现放缩过度或放缩不足。 2.区分同构、比值换元、构造差函数三种方法的适用场景，综合大题难以快速匹配最优解法。 必掌握知识点： 1、单变量不等式证明与放缩 构造差函数法：欲证 ，令 ，证明 ；欲证 ，证明 。 指对放缩： ，辅助完成不等式证明。 2、切线斜率恒成立求参数 任意 处切线斜率 （或 ）恒成立 等价于：（或 ）；结合二次函数、韦达定理化简导函数，求最值解参数。 3、割线斜率型双变量不等式（本节核心） 特征是给出两点 ，求证割线斜率 与常数、导数值的大小关系。比值换元：令 ，将双变量式子全部转化为关于 的单变量函数；构造 ，利用单调性证明 或 ，逆推原不等式。 4、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 、 类不等式。 解题思路：同构变形统一结构，比值换元转化单变量，结合函数单调性完成证明。 5、同构思想 常见同构模型：。 原理：若 单调，则 ，。 用途：简化双零点、极值点偏移、双变量不等式的变量关系。 必考题型全归纳: 题型一、经典不等式放缩证明（单变量不等式） 构造差函数，利用最值证明； 指对基础放缩辅助证明。 1．（河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试题）已知函数的图像与轴相切，． (1)求证：； (2)若，求证： 【分析】（1）对函数求导，设的图像与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可； （2）构造函数，对其求导结合（1）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（1）中的不等式可得 ，再次运用可得结论. 【详解】（1）解：， 设的图像与轴相交于点， 则，即解得．所以， 所以，等价于．设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，（*），所以． （2）证明：设，则， 由（1）中可知，当时，， 所以，有，即单调递增，又，所以， 从而有，即，因为， 所以，即， 另一方，由（1）知，且，所以， 所以， ，又，所以， 又，所以．综上可知，． 【点睛】本题考查利用导数研究切线问题，证明不等式等，考查运算求解能力，逻辑推理能力等，是难题.本题第二问解题的关键在于结合（1）中的不等式构造函数证明，利用不等式放缩证明. 2．已知函数，，直线与的图象相切． (1)求的值； (2)若方程在上有且仅有两个解，求的取值范围，并比较与的大小； (3)若，，求证：． 【答案】(1)(2)，(3)证明见解析 【分析】（1）首先设切点为，根据导数的几何意义构造方程组，解方程组即可求出参数的值； （2）首先构造函数，利用导数求得函数的单调性，然后根据零点存在定理构造不等式组，求解不等式组即可求出参数的取值范围，最后根据根的范围，利用作差法比较与的大小. （3）首先构造函数（），利用导数证明当时，，即当时，.利用证明的不等式可得当，时，，进而得到.利用这个放缩不等式即可证明结论成立. 【详解】（1）设切点为，则，，由， 得，且，所以，． （2）由，得．令， 则．在上，，单调递减； 在上，，单调递增．要使的图象在上与轴有两个不同的交点，则，所以， 此时，故的取值范围是． 由此可知，方程在上有且仅有两个解，满足，． 因为，所以． （3）令（）， ，得：在上单调递增， 故当时，，即当时，， 故当，时，，所以， 从而． 题型二、割线斜率型双变量不等式（核心题型） 已知，两点割线斜率，证明斜率与某常数、 导数值大小关系； 通法：换元，将双变量化为单变量，构造函数结合导数单调性证明。 3．（2015届江苏高考南通密卷一数学试卷）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴． （1）确定与的关系； （2）若，试讨论函数的单调性； （3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：． 【答案】（1）（2）①当时，在单调减函数，在单调增；②当时，在上单调减；在和单调增；③当时，在单调增；④当时．在和单调增；在单调减（3）详见解析 【详解】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定与的关系：（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由知需分，，，四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设， ，再构造函数进行论证：， 解析：（1）， ， 由题意得， ； （2）， ①当时，， 当时，，函数在单调减； 当时，，函数在单调增； ②当时，即，，函数在上单调减；函数在和单调增； ③当时，即，，函数在单调增； ④当时．即，， 函数在单调减区间；函数在和单调增； （3）由题设， ① 令，则， 时，， 函数在是减函数， 而，时， ，， ，即， ② 令，则， 时，， 在是增函数， 时，， ，即③由①②③得． 考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式 4．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值； 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得，整理可得：， 令，解得.当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）（Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令.当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 5．（重庆市第十一中学2024届高三上学期第一次质量监测数学试题）已知函数，为的导函数， (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的单调区间； (2)当时，求证：对任意的，有. 【答案】(1)（i）；（ii）在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析. 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求解即可；（ii）求导，通过导函数的符号求解单调区间即可； （2）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证明. 【详解】（1）（i）当时，， 则，， 所以在处切线的斜率， 所以切线方程为. （ii）由（i）可知， 所以，令解得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意可知，， 对任意的，令，，则 ①， 令，，当时，， 由此可得在上单调递增，所以当时，，即， 因为，，， 所以 ②， 由（1）（ii）可知当时，，即， 故③， 由①②③可得， 所以当时，对任意的，. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性，已知单调性求参数； （3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题； （4）考查数形结合思想的应用. 题型三、极值点偏移（双零点不等式证明） 6．（天津和平区2024届高三一模数学试题）已知函数，（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间： (2)设在处的切线方程为，求证：当时，； (3)若，存在，使得，且，求证：当时，. 【详解】（1）因为，定义域为， 令，即，所以递减区间为，递增区间为. (2)证明：因为，所以，而， 所以在点处的切线方程为：， 当时，令， 由，，当时，，当时，， 所以在递减，在上单调递增，故，即， 所以，所以， 所以在时恒成立，即时，得证. (3)证明：由题意可知，因为时，， 令，所以在时单调递减， 所以，所以在上为减函数，且，此时， 则由（1）有在上单调递减，在上单调递增，且，此时，由题意，设，    设与交点的横坐标为，则，有， 因为，且，所以，又， 所以， 令，则 ， 令，则， 所以时，，时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 所以，， 所以在单调递增. 在时，， 所以， 所以. 【点睛】：第三步证明困难，关键在于由，转化为，再利用导数求出在上的最值. 题型四 、切线斜率恒成立求参数范围 任意点切线斜率恒成立； 结合二次函数、韦达定理化简导函数最值求解参数。 7．（新课标高三数学导数专项训练（河北））已知函数． (1)若，求的极值和单调区间； (2)已知为的极值点，且，若当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒小于，求的取值范围. 【答案】(1) 极大值为，极小值为0；单调增区间，单调减区间为， (2)   【分析】(1) 把代入函数解析式，求得导函数，令导函数等于0求得极值点，再根据导函数的符号即可判断单调区间． (2) 根据为的极值点，可知为的两个根，由韦达定理可得的值，代入中化简，结合导数的几何意义及题意，即求得的最大值小于即可． 【详解】(1) 因为函数， 求得导函数为 则 的情况如下表： －1 － 0 ＋ 0 － 减 极小值0 增 极大值 减 由表格可知 的极大值为，极小值为0. 的单调增区间为，单调减区间为，. (2)∵ ∴，又为的极值点 ∴为方程的两根， ， ∵，∴ 整理得 即，∴ ，∴  . ∵ ，根据二次函数的性质， ， 【点睛】：令，列出方程，由韦达定理可得的值，代入中化简，结合导数的几何意义及题意进行求解，主要利用导数解决函数的单调性、极值问题，属于难题 巩固提升： 1．（安徽省黄山市2021届高三下学期第二次质量检测文科数学试题）已知函数，，，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对任意实数，都有函数的图象与直线相切，求证：．（参考数据：） 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导，讨论的取值范围，判断函数单调性即可；（2）设切点为，求出，由得，分区间讨论即可． 【详解】（1）， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 当时，由得，由得，故函数在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：设切点为，则且，即，，，， 由得， 设，则，得，得， 故在上单调递减，在上单调递增， ①在单调递增区间上，，故，由得 ②在单调递减区间上，，， 故在区间上存在唯一的，使得，故， 此时由，得， 函数在上递增，，，故． 综上所述，． 【点睛】本题难度较大，关键之处在于设出切点后，找到等式，通过“设而不求”的思想求出参数的取值范围． 2．（北京一零一中矿大分校2026届高三下学期开学考试数学试卷）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. （3）由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 3．（湖南师范大学附属中学2022届高三下学期月考（七）数学试题）已知函数，其中为常数. (1)设为的导函数，当时，求函数的极值； (2)设点，，曲线在点处的切线的斜率分别为，直线的斜率为，证明：. 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案； （2）由题设，，，则，即证，令，，再利用导数即可得证. 【详解】（1）解：当时，，， 则， ，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，且无极大值； （2）证明：由题设，，， 则， 又，则所证不等式化为， 因为，， 则 ， 令，，因为，则，， 所以在上单调递增，从而，即， 因为， 则 ， 从而，所以. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及极值，考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式成立问题，考查了数据分析能力和逻辑推理能力，难度较大. 4．（天津市河北区2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷）已知函数（）. (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，证明：对于任意的，，有. 【答案】(1)， (2)当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (3)当时，, 对于任意的，有 因为,所以即得； 所以,进而得出 所以所以. 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． （3）先写出函数解析式，再做差化简，再结合定义域范围得出差小于零即可. 【详解】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得，由，解得， （2），其中，函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）略 【点睛】：第二小问中，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，分四种情况分别结合导函数的正负得出函数的单调性即可解题. 5．（广东省广雅中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷）已知三次函数 (1)当时，试求的单调区间和零点． (2)若函数存在3个不同的零点，证明下列结论： （i）； （ii）当时，成等差数列的充要条件是； （iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：，请同学们结合本题中的关系证明如下命题：记，是函数的导函数，令，证明：对任意是一个次数不超过2的多项式函数． 【详解】（1）因为，所以， 求导得，令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 令，可得，所以， 所以，解得或或， 所以函数的零点为0，1，2； (2)（i）因为函数存在3个不同的零点， 所以， 所以， 又， 所以. （ii）先证明必要性： 由成等差数列， 所以， 所以, 由， 所以， 整理可得. 再证明充分性：由，所以， 即， 所以是函数的一个零点， 当时，, 又∵, 所以,所以, 所以成等差数列. （iii）因为， 所以， 所以, 所以， 由， 可得 所以 所以 ， 所以， 所以， 所以对任意是一个次数不超过2的多项式函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $