第52讲 导数与不等式证明（三）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与不等式证明专题，将极值点偏移、双极值点综合、恒成立求参数范围等核心考点按题型分层，通过问题链和任务驱动引导学生自主构建知识网络，形成从基础放缩到综合证明的逻辑体系。 亮点在于诊断性例题与分层学习设计，如每个题型配备典型高考真题及变式训练，学生可通过错题归因自主匹配复习路径，培养数学思维与数学语言表达能力。模块末设反思总结表，帮助个性化知识内化，教师可依学情精准指导，提升备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第五十二讲 导数与不等式证明（三） 【学习目标】 能准确转化两类问题，掌握分离参数、分类讨论、隐零点、同构四种主流解题方法； 【学习重点】 恒成立问题的转化思路，分离参数法、隐零点法； 【学习难点】 同构变形识别，利用同构简化指数、对数型不等式； 必掌握知识点 一、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 或 ； 步骤：设 ，比值换元 ，转化为单变量函数，借助单调性证明； 二、双极值点综合题型 函数存在两个极值等价于导函数 有两个不等实数根； 三种求参数方法：判别式法、切线数形结合法、参变分离法； 利用韦达定理表示两根和、积，换元化简后证明双变量不等式。 三、恒成立与存在性求参数范围 恒成立规则：；； 存在性规则：； 双变量混合：； 通用解法：参变分离、分类讨论、构造新函数求最值。 四、对数均值不等式辅助证明 结论：；用于简化极值点偏移类不等式证明。 五、双变量不等式综合证明 分析法逆向等价变形，简化待证不等式； 比值换元统一双变量，多层构造辅助函数、多次求导分析单调性。 必考题型全归纳 题型一、基础指对不等式放缩 放缩：，； 证明不等式通用方法：构造差函数 ，求导研究最值完成证明； 多个不等式叠加，利用等号无法同时取到，证明严格不等关系。 1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题）已知函数，其中. （1）求证：； （2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围； （3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：. 2．（2025年高考数学预测卷（五））已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 题型二、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 或 ； 步骤：设 ，比值换元 ，转化为单变量函数，借助单调性证明； 数形结合思路：分离参数，转化为直线与曲线交点分析零点范围。 3．（备战2021年新高考数学一轮复习易错题）已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数） （1）求函数的递增区间； （2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: . 4．（广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解； （2）设，先确定，根据，可得，即，令，，则.令，求导后根据单调性可得，从而得到化简后即可证明. 5．（福建宁德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)若在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)设，为的两个不同的极值点，求． 6．（重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题）已知函数，其中a∈R． (1)令，讨论的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围． 题型四、恒成立与存在性求参数范围 恒成立规则：；； 存在性规则：； 双变量混合：； 7．（江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦函数为g(x)，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且f(x)在R上是增函数； ②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)求函数，的值域； (3)设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数m的取值范围． 8．（重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 9．（浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题）设函数，. （1）若对恒成立，求的取值范围； （2）若，当时，求证：. 题型五、凹凸函数与琴生不等式（新定义） 凹凸定义：凹（下凸）；凸（上凸）； 二阶导数判定： 为凹函数， 为凸函数； 琴生不等式：加权凹凸不等式，用于多元代数式求最值 10．（浙江省杭州市西湖区浙附（玉泉 丁兰）2024-2025学年高一上学期期中数学试题）小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若，求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，，且，求的最小值． 11．（湖南省天壹名校联盟2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题）给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： (1)证明：函数在上是凸函数； (2)求函数的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 题型六 数均值不等式辅助证明 结论：； 用于简化极值点偏移类不等式证明。 12．（湖南省新高考教学教研联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)设函数，若关于的方程有两个不同的解，，且．当时，证明：． 题型七、双变量不等式综合证明 分析法逆向等价变形，简化待证不等式； 比值换元统一双变量，多层构造辅助函数、多次求导分析单调性。 13．（江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设，，，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 巩固提升： 1．（测试二综合检测卷（期末卷））某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们在上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数来研究函数的凹凸性． (1)设，，…，，，且，求的最小值． (2)设，，…，为大于或等于1的实数，证明：．（提示：可设） 2．（浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题）一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 (1)求函数， ； (2)若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有两根，，求的最小值. 3．（上海市上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 4．（【百强校】2016届广东省广州六中等六校高三第一次联考理科数学试卷（带解析））设定义在区间上的函数的图象为C，点A、B的坐标分别为且为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量,若恒成立，则称函数在区间可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数． （1）求证：A、B、N三点共线 （2）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围； （3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似． （参考数据：2.718， 0.541） 5．（吉林省白山市2023-2034学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷）设函数，，． (1)求函数在上的单调区间； (2)若，，使成立，求实数a的取值范围； (3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）． 参考数据：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十二讲 导数与不等式证明（三） 【学习目标】 能准确转化两类问题，掌握分离参数、分类讨论、隐零点、同构四种主流解题方法； 【学习重点】 恒成立问题的转化思路，分离参数法、隐零点法； 【学习难点】 同构变形识别，利用同构简化指数、对数型不等式； 必掌握知识点 一、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 或 ； 步骤：设 ，比值换元 ，转化为单变量函数，借助单调性证明； 二、双极值点综合题型 函数存在两个极值等价于导函数 有两个不等实数根； 三种求参数方法：判别式法、切线数形结合法、参变分离法； 利用韦达定理表示两根和、积，换元化简后证明双变量不等式。 三、恒成立与存在性求参数范围 恒成立规则：；； 存在性规则：； 双变量混合：； 通用解法：参变分离、分类讨论、构造新函数求最值。 四、对数均值不等式辅助证明 结论：；用于简化极值点偏移类不等式证明。 五、双变量不等式综合证明 分析法逆向等价变形，简化待证不等式； 比值换元统一双变量，多层构造辅助函数、多次求导分析单调性。 必考题型全归纳 题型一、基础指对不等式放缩 放缩：，； 证明不等式通用方法：构造差函数 ，求导研究最值完成证明； 多个不等式叠加，利用等号无法同时取到，证明严格不等关系。 1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题）已知函数，其中. （1）求证：； （2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围； （3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3），证明见解析. 【分析】(1)构造函数，借助此函数的导数即可证得； (2)题设条件转化为恒成立，再借助(1)的结论及均值不等式解答恒成立即可； (3)题意转化为曲线与直线在上有两个公共点，利用函数的导数研究其图象与性质可得a范围，然后用极值点偏移的方法即可作答. 【详解】(1)令，则，当时，当时，即在上递减，在上递增， 所以，即恒成立； (2)函数定义域，， 由(1)知：， 依题意，，则当且仅当，而，于是得， 从而有，即， 所以函数为定义域上的增函数，的取值范围是； (3)依题意，， 由得，而时，，即得，令， 由题设知，函数在上有两个零点，即方程在上有两个根，也即是曲线，与直线有两个公共点， ，显然，当时，，当时，， 从而得在上递减，在上递增，可得， 而时，，于是得，时，，于是得，如图， 从而得曲线，与直线有两个公共点时，， 所以函数在上有两个零点，的取值范围； 函数在上的两个零点分别为，不妨令，显然有， 令， ， 而时，有，，又， 从而得， 即在上单调递增，有， 即有时，，而，则，又，于是得，因时，，即，而，由在上递增可得，，即，所以. 【点睛】：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 2．（2025年高考数学预测卷（五））已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. (2)当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立 .再构造函数，证明，令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以，又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是）所以，即. (3)先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简，，则， 所以 .由，得， 所以要证，即证， 即证，即证， 即证，即证.令，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解； （2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可； （3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可. 【点睛】：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 题型二、极值点偏移（双零点不等式） 题型条件：，求证 或 ； 步骤：设 ，比值换元 ，转化为单变量函数，借助单调性证明； 数形结合思路：分离参数，转化为直线与曲线交点分析零点范围。 3．（备战2021年新高考数学一轮复习易错题）已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数） （1）求函数的递增区间； （2）若函数为定义域上的增函数，且，证明: . 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求函数求导，对参数的取值进行分类讨论，即可求得在不同情况下函数的单增区间； （2）根据（1）中所求，求得的范围，再构造函数，通过讨论其单调性和最值，即可容易证明. 【详解】（1）易知， ①若，由解得，∴函数的递增区间为； ②若，则 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数的递增区间为和； ③若，则，∴函数的递增区间为； ④若，则 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数的递增区间为和； 综上，若，的递增区间为； 若，的递增区间为和； 若，函数的递增区间为； 若，函数的递增区间为和. （2）∵函数为上的增函数，∴，即， 注意到，故， ∴不妨设， 欲证，只需证，只需证， 即证，即证， 令，，只需证， ∴ ， 下证，即证， 由熟知的不等式可知，当时，即， ∴ ， 易知当时，，∴， ∴， ∴，即单调递增，即，从而得证. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究极值点偏离问题，注意构造函数即可，属中档题. 题型三、双极值点综合题型 函数存在两个极值等价于导函数 有两个不等实数根； 三种求参数方法：判别式法、切线数形结合法、参变分离法； 利用韦达定理表示两根和、积，换元化简后证明双变量不等式。 4．（广西南宁市2023届高三二模数学（理）试题）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解； （2）设，先确定，根据，可得，即，令，，则.令，求导后根据单调性可得，从而得到化简后即可证明. 【详解】（1）解法一：， 令，则. 因有两个极值点，，故有两个零点， 若，则，单调递增，不可能有两个零点， 所以，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 因为有两个零点，所以，则. 又，，，故实数a的取值范围为. 解法二： 由题意知，有两个根，即 ，设，即函数与有两个不同交点， 设过点的直线与相切的切点为 ，，则有 ， 解得：，此时切线斜率为：， 当斜率大于时，与有两个交点， 则, 故有，故实数a的取值范围为. 解法三：，因力有两个极侑点 ， 则有两个零点.即， 转化为与有2个交点， 时，.， 当时，， 当时，， 当时，， 在递减，在递增， 要使与有2个交点，即 故实数a的取值范围为. （2）设，因为，，则， 因为，所以，， 则，取对数得. 令，，则. 令 则，在上单调递增. 则， 则 两边约去后化简整理 得，即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； （2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 5．（福建宁德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)若在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)设，为的两个不同的极值点，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数对称中心的充要条件，通过计算，可直接得出对称中心. （2）利用对称性将不等式转化为，再利用导数求的单调性，转化为与的比较，最后分离参数，求的取值范围； （3）先求得，然后对多次求导，找到的零点，即的极值点，根据，找到之间的关系，进而求得的值. 【详解】（1）因为的定义域为，且定义域关于对称中心对称，所以对称中心的横坐标为2， 而，         所以的对称中心为． （2）由（1）知，则， 即，因为，所以在上单调递增，         则，整理得，             令，则，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故，         所以，即a的取值范围为． （3）由题意得， 则，令， 则，那么， 而，所以在上单调递减，在上单调递增， 即．故在和上单调递增．             又因为，， 则存在使得， 从而在和单调递减，在单调递增．         而， ，，， 所以，， 使得，． 整理得，，则，而，所以， 所以. 6．（重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题）已知函数，其中a∈R． (1)令，讨论的单调性； (2)若函数在上单调递增，求a的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求出函数及导数，再利用导数分类讨论求出单调区间即可. （2）由在上恒成立，得在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案. （3）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，恒成立，则函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）函数，求导得， 由函数在上单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立，令， 求导得，则在上单调递增，， 所以，即的取值范围是. （3）由（2）知，， 令函数，设图象上一点为， 函数图象在点处的切线方程为， 将代入上式得，解得， 则过点的的切线方程为， 因此要使的图象与直线有两个交点，则， 此时函数有两个极值点，且， 则，即，整理得， 令，，则，即， 解得，因此， 令， 令，函数在上递增， 于是，即，函数在上递增， 而，因此当时，， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案. 题型四、恒成立与存在性求参数范围 恒成立规则：；； 存在性规则：； 双变量混合：； 7．（江苏省常州市溧阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为f(x)，双曲余弦函数为g(x)，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且f(x)在R上是增函数； ②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)求函数，的值域； (3)设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)[－1，1] 【分析】（1）由方程的思想以及奇偶性得出解析式； （2）令，由f(x)的单调性得出的范围，再由一元二次函数的单调性得出值域； （3）由分解因式得出，由化简得出，再由指数函数的性质得出实数m的取值范围． 【详解】（1）由性质③知，，所以， 由性质②知，，所以， 解得 （2）函数， 设，由性质①，在R是增函数知，当时，， 因为，所以原函数即：，故值域为 （3）对任意的正数，，都有， 可知．即对一切正数x恒成立， 又，可得，即对一切正数x恒成立，所以； 由， 可得 整理得，， 两边同乘以得，， 所以， 因为，所以， 因此只需对任意恒成立， 所以，即． 综上可知，实数m的取值范围为[－1，1] 【点睛】方法点睛：对函数不等式的恒成立问题，一般是采用分离参数，结合函数的单调性求出最值，进而得出参数的范围. 8．（重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得出，与联立方程组，即可解出、的解析式； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）分析函数的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，令，可得出对任意的恒成立，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，根据可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 所以， 即，解得，， 因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意. （(2)函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则，， 所以， ，即， 所以，函数在上为增函数. （3）因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 所以，即，即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 9．（浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题）设函数，. （1）若对恒成立，求的取值范围； （2）若，当时，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出导函数，分类讨论，确定的单调性，最大值，解相应的不等式可得； （2）变形为，在证的不等式中若或，不等式已经成立，因此只要证时不等式成立， 首先引入函数，，，由导数确定出的单调性，要证的不等式为转化为证，，即证：，为此再引入新函数，，利用导数可证． 【详解】（1）解：， 当时，，令得：， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减. ∴，由，得：， 当时，，则对恒成立， ∴在区间上单调递增，且，所以不符合.故的取值范围为. （2）∵， ∴，得：， 若或，则结论显然成立. 当时，，令，， ，所以为单调递增函数， 则，证：证：，而， 所以等价于证：，即证：， ， 令：，， 得：在区间上递增，在区间上递减， ∴，因为，所以，所以， 故原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查考查不等式恒成立问题，考查与方程根的不等式的证明．证明不等式时第一个关键点是利用两个变量之间的关系，把问题转化为一个变量，第二个关键点在于等价转化，通过引入函数，利用函数的单调性进行转化．最终转化为研究函数的性质即可证．同时注意问题的转化，如本题中或时，不等式已经成立，只要证明时即可． 题型五、凹凸函数与琴生不等式（新定义） 凹凸定义：凹（下凸）；凸（上凸）； 二阶导数判定： 为凹函数， 为凸函数； 琴生不等式：加权凹凸不等式，用于多元代数式求最值 10．（浙江省杭州市西湖区浙附（玉泉 丁兰）2024-2025学年高一上学期期中数学试题）小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若，求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，，且，求的最小值． 【答案】(1)2； (2)函数的定义域为R， ， ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是上凸函数. (3). 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案. （2）利用上凸函数的定义，列式计算得证. （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【详解】（1）由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即，所以的最大值是2. （2）略 （3）令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其凹凸性，再利用琴生不等式求出最小值. 11．（湖南省天壹名校联盟2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题）给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，都有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的凸函数.若是区间上的凸函数，则对任意和任意满足的正实数，都有当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题： (1)证明：函数在上是凸函数； (2)求函数的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用基本不等式结合凸函数定义证明； （2）应用凸函数的定义求解最大值即可； （3）应用基本不等式结合凸函数定义再分和两种情况分别求解最值列式得出参数范围即可. 【详解】（1）对任意，， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以函数在上是凸函数. （2）函数在上是凸函数，令，，则由凸函数的性质有 ，其中， 即，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为. （3）法一：因为函数在上是凸函数，所以对任意都有， 即， 当且仅当时等号成立.因为函数在上是增函数， 所以，当且仅当时等号成立. 当时，函数在上单调递增，所以，符合题意； 当时，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以在上的最小值为， 由题意有，解得， 综上得实数的取值范围为. 法二：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 由法一可知对任意，都有 当且仅当时等号成立 所以当时， 当且仅当即时等号成立； 所以的最大值为，所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是对凸函数定义的理解及结合应用基本不等式. 题型六 数均值不等式辅助证明 结论：； 用于简化极值点偏移类不等式证明。 12．（湖南省新高考教学教研联盟2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)设函数，若关于的方程有两个不同的解，，且．当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解； （2）依题意可得，设，，结合函数的单调性得到，是方程的两个解，则，由（1）求出的取值范围，再得到，由对数均值不等式得到（需证明），即可得到，则问题转化为证明，再构造函数利用导数证明即可. 【详解】（1）的定义域为， 若恒成立，则在上恒成立， 令，，则， 所以当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围为. （2）函数， 设，，易知单调递增，且， 所以是的唯一解， 所以，是方程的两个解，则，设， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，当时， 当时，所以， 因为，则 即，而， 其中的证明如下： 设，不等式等价于，即， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以得证，所以， 再证明，其中，则只需证明， 只需证明， 即证，设，则， 所以在上单调递减，所以， 则得证，所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型七、双变量不等式综合证明 分析法逆向等价变形，简化待证不等式； 比值换元统一双变量，多层构造辅助函数、多次求导分析单调性。 13．（江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设，，，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，求出切线斜率，然后利用点斜式求出直线方程； （2）将条件转换为，根据恒成立的关系，即，然后利用导数求出两边的最值即可； （3）现根据条件推出，然后利用反证法证明. 【详解】（1），所以， 又，所以切线方程为； （2），，， 所以， 由（1）得，令， 当时，，严格增， 当时，，严格减， 所以； 令， ， 令， 当时，，严格减， 当时，，严格增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）得当时，，严格增， 当时，，严格减， 若，则 假设，则， 所以， 下面比较时，与的大小， 令，则，， ， 令， ， 所以单调递增， 所以，与假设推出的矛盾， 所以假设不成立，所以. 巩固提升： 1．（测试二综合检测卷（期末卷））某数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们在上都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．已知定义：设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的，，…，，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）．小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．小组成员选择了反比例型函数来研究函数的凹凸性． (1)设，，…，，，且，求的最小值． (2)设，，…，为大于或等于1的实数，证明：．（提示：可设） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明在上为凹函数，再由琴生不等式证明即可求解； （2）不等式转化为证，根据题意即证明在上为凹函数，然后利用定义证明即可. 【详解】（1）对于函数，首先证明其凹凸性， ，，则 ， 所以在上为凹函数 由琴生不等式，得， 即， 又， 所以， 即． 所以，当时等号成立， 即求的最小值为. （2）设，因为，所以（，2，3，…，n）． 要证， 只需证， 即． 由琴生不等式，只需证在上为凹函数 设，，则，， 下面证， 即证， 即证， 化简得， 即证．（*） 因为，所以，（*）式显然成立， 所以成立，即在上为凹函数， 则得证. 2．（浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题）一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 (1)求函数， ； (2)若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. （2）由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 （3）由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 3．（上海市上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“逆构造函数”. (1)设，判断是否为“逆构造函数”，并说明理由； (2)若函数是“逆构造函数”，求的取值范围； (3)已知“逆构造函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义即可验证； （2）先在函数是“逆构造函数”的条件下证明，再在的条件下证明函数是“逆构造函数”，即可得到的取值范围是； （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【详解】（1）由于，故对有. 所以是否为“逆构造函数”. （2）由于，故. 一方面，若函数是“逆构造函数”，则，即. 所以对任意成立. 特别地，取，得，从而，故. 再取，得，从而. 此即，故，解得； 另一方面，若，则. 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 所以对，有 . 从而此时函数是“逆构造函数”. 综上，的取值范围是. （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有； 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾. 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“逆构造函数”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 4．（【百强校】2016届广东省广州六中等六校高三第一次联考理科数学试卷（带解析））设定义在区间上的函数的图象为C，点A、B的坐标分别为且为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量,若恒成立，则称函数在区间可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数． （1）求证：A、B、N三点共线 （2）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围； （3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似． （参考数据：2.718， 0.541） 【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）证明详见解析． 【分析】（1）利用向量共线证明三点共线； （2）将恒成立，转化为，通过已知条件得N与M的横坐标相同，根据，得的解析式，再利用配方法求最值，即得到的取值范围，即可得到k的取值范围； （3）先利用得到A、B点坐标，用两点式得到直线AB的方程，点N在直线AB上，得到N点坐标，计算，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值，证明结论． 【详解】（1）由=λ+（1－λ），得到=λ，所以B，N，A三点共线． （2）由与向量， 得N与M的横坐标相同． 对于上的函数，A（0，0），B（1，1）， 则有， 故；所以k的取值范围是． （3）对于定义在上的函数，A（），B（） 则直线AB的方程， 设，则易知，且点N在直线AB上， 所以， 令，其中， 于是， 列表如下： em （em，em+1-em） em+1-em （em+1-em，em+1） em+1 + 0 － 0 增 减 0 则，且在处取得最大值， 又0.123，从而命题成立． 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 5．（吉林省白山市2023-2034学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷）设函数，，． (1)求函数在上的单调区间； (2)若，，使成立，求实数a的取值范围； (3)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x的最大整数，如，）． 参考数据：，． 【答案】(1)单调增区间是和；单调减区间是和 (2) (3)由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数， 所以在上是减函数，， 又，， 根据零点存在性定理知在上有唯一零点， 当时，，， 所以， 即在上无零点， 综上，在上有且只有一个零点. 【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出的单调区间； （2）由已知得到的值域为的值域的子集，转化为求函数最值的问题； （3）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解. 【详解】（1）令，，解得，， 又，得的单调增区间是和； 令，，解得，， 又，得的单调减区间是和. 函数在上的单调增区间是和，单调减区间是和； （2）若，，使成立， 则，，的值域应为的值域的子集. 由（1）知，在单调递减， 的值域为， ，当时，令， 则，开口方向向上，对称轴是，， 当时，在单调递减，不符合题意； 当时，在单调递减，在单调递增， ，即，解得， 所以； （3）， ， ， . 【点睛】结论点睛：本题第（2）问考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $