精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2027届重庆市第一中学高三上学期开学考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后， 将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合， 所以， 所以. 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 【答案】A 【解析】 【详解】设原数据为， 由题设得原数据的平均数，方差． 新数据满足，即． 根据平均数的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的平均数为． 根据方差的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的方差为．  因此新数据的平均数为7，方差为8． 3. 已知函数在处的导数值为1，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题设 . 4. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. 12 C. 21 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得：  ，展开整理为一元二次方程：  ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 5. 某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（ ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】D 【解析】 【分析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元，根据题意得出，化简结合对数的运算得出，即可得出答案. 【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元， 由题意得出，整理得， 两边取对数得，则， ， 则，即该公司全年投入的研发资金开始超过1 亿元的年份是年． 6. 事件与事件相互独立，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为事件与事件相互独立， 所以， 则， 即， 设，则， 结合，代入公式可得， 解得或． 因为概率的范围为， 所以， 则． 7. 若函数有三个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将待求问题转化为直线与函数的图象有3个不同交点的问题，通过分离常数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】. 若有三个不同的极值点，则有3个不等实根，且导数在根两侧变号， 即方程有3个不等实根，也即有3个不等实根. 当时，左边，右边，故不是的根， 则可化为，故有3个不等实根可化为直线与函数的图象有3个不同交点. 对求导得，. 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增， 当时，；当时，；所以. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，此时. 作出的图象如下： 若使直线与函数的图象有3个不同交点，则. 故实数的取值范围是. 8. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段比例关系，双曲线定义，余弦定理可得方程，得到，求出离心率 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项 是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】A：若时，，显然错误， B：若时，无意义，显然错误， C：若时，，显然错误， D：由题设， 所以，故正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 若时取得极大值，则 B. 若，则当时， C. 若在上不单调，则 D. 若，设 ，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性及极值，再逐一判断A、B、C，分析时，在上的单调性及最值，从而得到 ，并判断D. 【详解】函数 的定义域为. . 令，得或. 当，即时，恒成立，所以单调递增. 当，即时， 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，在处取得极大值. 当，即时， 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以A正确. 对于B，当  时， ，所以. 若 ，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在上不单调，所以B不正确. 对于C，若  在  上不单调， 则或，解得或，所以.所以C正确. 对于D，若  ，则函数  ， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 设  ， 则当时，在上单调递增，所以，即. 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. ，所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ， 若，则，即； 若，则，即. 综上所述，. 所以D正确. 11. 已知函数 ，则（ ） A. B. 的图象是轴对称图形 C. 曲线 不存在斜率为 的切线 D. 在 内所有零点之和为 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据解析式判断函数的单调性，即可判断A，B；利用导数的几何意义，求得曲线  的切线的斜率的取值范围，从而判断C；易得，构造函数，分析及的对称性，将 在  内所有零点之和转化为两个函数图象交点的横坐标之和，数形结合求解可判断D. 【详解】函数  的定义域为， 因为，且为增函数，所以为减函数； 又是减函数，所以函数是减函数. 对于A，因为，所以， 所以A正确. 对于B，因为函数是减函数，所以不可能是轴对称图形，所以B不正确. 对于C， . 因为， 所以，. 即. 所以曲线  不存在斜率为  的切线，所以C正确. 对于D， . 令，则是减函数. 因为， 所以， 所以关于点对称. 又，且， 所以当时，. 因为， 所以关于点对称. ，且. ， ， 因为， 所以，所以， 即. 如图，与 在  内有3个交点， 其横坐标之和为，所以 在  内所有零点之和为 3. 所以D正确. 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，若 ，则 _____. 【答案】2027 【解析】 【详解】令，因为，则， 则. 13. 在 的展开式中， 的系数为_____. 【答案】 28 【解析】 【分析】先写出的展开式通项，再分别计算1乘项、乘项对应的系数，相加即得的系数. 【详解】 ,  的展开式通项为：  , 要得到展开式中的项，分两类讨论： 取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得， 对应系数为； 取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得， 对应系数为； 将两类系数相加，得的系数为. 14. 已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】同构变形，令，得到，根据函数单调性得到不等式，参变分离，进行求解 【详解】由题意得在上恒成立， 变形得到，， 令，则， 其中在R上单调递增，故，， 因为，所以， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 所以，的最小值为. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 （1）计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； （2）设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为. . 【答案】（1）下四分位数为190万元，第60百分位数为210万元； （2）线性回归方程为，推测2030年投资额首次超过286万元。 【解析】 【小问1详解】 先将投资额数据从小到大排序为：160,190,200,220,230，总样本量 下四分位对应第25百分位数，计算位置索引：不是整数， 向上取得位置为2，因此下四分位数为第2项数据190；第60百分位数的位置索引： 是整数，因此第60百分位数为第3项和第4项数据的平均值： 【小问2详解】 由可得对应的取值为计算得： 计算回归系数 ， 因此线性回归方程为. 令代入得： 取最小正整数，对应 即推测2030年投资额首次超过286万元. 16. 已知椭圆的右焦点为，是上动点， 是直线上的动点， 最大值为 ， 最小值为 . （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 作直线交椭圆于两点， 为原点，已知面积为，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆上点到右焦点的最大距离为、椭圆上点到直线的最小距离为，联立求解参数得椭圆标准方程； （2）设直线斜率并联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式列方程，验证判别式后得斜率值 【小问1详解】 设椭圆半焦距为，则，右焦点为， 椭圆上任意点到右焦点的最大距离为，由题意得；  在直线上，的最小值为椭圆上点到直线的最小垂直距离，即，解得， 代入得， 因此，故椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设直线的斜率为，则直线方程为， 联立椭圆方程得 消去整理得， 直线与椭圆交于两点，故判别式，即， 设，由韦达定理得 ， 原点到直线的距离，弦长， 面积，两边平方得， 整理得，解得，满足，故. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【小问1详解】 的定义域为，. 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 18. 现有张标号为的质地、大小完全相同的卡片，其中.甲先随机抽张卡片，记录标号后全部放回，乙再随机抽张卡片，记录标号后全部放回，.设随机变量是甲、乙分别抽到的标号中，有多少种相同标号的数目;随机变量是甲和乙抽到的标号中，一共多少种标号的数目.如甲抽1，2，3、乙抽2，3，4，有两种相同标号2，3，则;一共有四种标号1，2，3，4，则. （1）若，求随机变量的分布列； （2）求和的数学期望； （3）求的方差. (若随机变量服从两点分布，则也服从两点分布，且有.) 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）甲固定抽取3张卡片，乙从6张中抽取3张，X代表两人抽取卡片重合的标号数，服从超几何分布，直接按组合数计算各取值概率，写出分布列. （2），由集合容斥，得 ， 求得期望，再利用期望线性求出 （3）构造0‑1指示变量， 利用方差公式展开平方，计算，代入化简得到方差. 【小问1详解】 所以分布列是 【小问2详解】 如果设甲抽到的标号集合为，乙抽到的标号集合为，那么实际上， 所以利用容斥原理得到， 又服从超几何分布， 所以， 进而. 【小问3详解】 设随机变量 则， ，第（2）问已知， 计算，只需要算出即可， 而注意到， 所以 所以方差 19. 我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”，是指 ，若 ，则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . （1）求出 的定义域 ； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）由对数的真数必须为正，结合 为整数确定定义域；（2）先取定义域左端点 得到必要条件，再证明该条件下不等式恒成立；（3）令 ，研究 与 的单调变化，并对 构造使函数值下降的两个自变量，从而得到 的范围． 【小问1详解】 因为 有意义，所以 ． 又因为 为整数，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ． 故 的定义域为 【小问2详解】 必要性：由（1）知 ． 此时所以 若 恒成立，则从而 解得 结合 ，得 充分性：当 时，对任意 ，有 令 则 因为 ，所以 ； 又 ，故 ． 所以 在 上单调递增，从而 于是 又因为 ，所以 ，从而 ． 因此 故 的取值范围为. 【小问3详解】 令 在定义域 上， 随 的增大而不减，因此 也随 的增大而不减． 下面研究 ． 先证明当 时， 在 上具有不减性质． 因为且 随 的增大而增大，所以 随 的增大而增大． 若则对任意 ，均有 ，所以 在 上单调递增，从而 在 上具有不减性质． 若则 ． 此时必有 ． 事实上，若 ，则 ； 又 ，所以 ，从而 ，矛盾． 因此 又由 可得 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 因为 ，所以 于是当 时，从而 当 时， 单调递增，所以 也具有不减性质． 因此 在整个定义域 上具有不减性质． 由此，当 时， 与 都具有不减性质，所以 在 上具有不减性质． 下面证明 时不满足题意． 当 时，对 ，有所以 在该区间上单调递减． 又而 因此存在 ，使得 取 且充分接近 ，使得并且 于是而 这与 且 在 上具有不减性质矛盾． 所以 不合题意． 综上， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届重庆市第一中学高三上学期开学考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上. 写在本试卷及草稿纸上无效. 3. 考试结束后， 将答题卡交回. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（ ） A. 7，8 B. 4，2 C. 2，4 D. 7，7 3. 已知函数在处的导数值为1，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. 12 C. 21 D. 5. 某公司欲加大对 AI 研究的投入，该公司年全年投入资金 5000 万元，之后每年投入资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入资金从（ ）年起超过 1 亿元？(参考数据:，) A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 6. 事件与事件相互独立，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 若函数有三个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项 是符合题目要求的， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 若时取得极大值，则 B. 若，则当时， C. 若在上不单调，则 D. 若，设 ，则， 11. 已知函数 ，则（ ） A. B. 的图象是轴对称图形 C. 曲线 不存在斜率为 的切线 D. 在 内所有零点之和为 3 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知 ，若 ，则 _____. 13. 在 的展开式中， 的系数为_____. 14. 已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的最小值是_____. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 （1）计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； （2）设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为. . 16. 已知椭圆的右焦点为，是上动点， 是直线上的动点， 最大值为 ， 最小值为 . （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 作直线交椭圆于两点， 为原点，已知面积为，求直线的斜率. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若满足，求实数的取值范围. 18. 现有张标号为的质地、大小完全相同的卡片，其中.甲先随机抽张卡片，记录标号后全部放回，乙再随机抽张卡片，记录标号后全部放回，.设随机变量是甲、乙分别抽到的标号中，有多少种相同标号的数目;随机变量是甲和乙抽到的标号中，一共多少种标号的数目.如甲抽1，2，3、乙抽2，3，4，有两种相同标号2，3，则;一共有四种标号1，2，3，4，则. （1）若，求随机变量的分布列； （2）求和的数学期望； （3）求的方差. (若随机变量服从两点分布，则也服从两点分布，且有.) 19. 我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”，是指 ，若 ，则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . （1）求出 的定义域 ； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $