精品解析：贵州遵义市汇川区周林高级中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

遵义周林28届高二开学考试 数学试卷 出卷人：熊威 审卷人：高一数学组 试卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可由集合的交运算求解. 【详解】由得，所以， 故选：C 2. 设复数，则的虚部是（  ） A. 1 B. C. -1 D. - 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的四则运算，计算z，得到虚部，即可． 【详解】,所以z的虚部为-1，故选C． 【点睛】本道题考查了复数的运算，关键化简复数z，难度较容易． 3. 在中，角所对的边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理面积公式计算即可得到答案. 【详解】由题知：. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的面积公式，属于简单题. 4. 已知向量，，若//，则的值是 A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两向量平行，列出方程即可解出. 【详解】因为//，所以，解得，故选D． 【点睛】本题考查了平行向量的性质，较为简单． 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故， 两边平方得，解得． 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 8. 设函数则满足的的取值范围（ ） A. （-1，+∞） B. （1，＋∞） C. ） D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式求得不等式的解集. 【详解】的定义域为， ， 当时，，， 当时，，， 所以为上的奇函数， 当时，为增函数， 所以在上为增函数. 由得， 即， 所以不等式的解集为 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性和单调性，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 方程在复数集C的两个根分别为：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据求根公式求出，再根据复数模的公式及复数运算法则，对选项进行逐一判断. 【详解】方程，判别式， 故方程的根为：. 不妨取，， 选项A：，故A错； 选项B：，，；故B对. 选项C：，，故C错. 选项D：，故D对. 故选：BD. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】考查三角恒等变换的核心知识点，选项A确定范围后由同角三角函数平方关系即可算出；选项B和C把正切的条件转化为正弦余弦的等量关系，即可判断；选项D首先算出，通过判断角的范围即可判断. 【详解】对于A：已知，则，则，A正确； 对于B：已知，则，即， 由选项A可知，， 将可得，则，B错误； 对于C：因，则，C正确； 对于D：，，则，D正确. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆直径为 D. 中线的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知正确；利用余弦定理求得，知正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知正确；由正弦定理先求出 再得出，由余弦定理可得出中线的长，知错误. 【详解】由正弦定理可得： 设，， ，解得： 所以，， 的周长为，故正确； 由余弦定理得： 由 ，得 又 ，即 ，故不正确； 由正弦定理知外接圆直径为，故正确； 由正弦定理可得，可得 又，则在中角 最小，所以角为锐角 所以 在中， 所以，故错误. 故选： 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【详解】为偶函数，， ，或. 13. 已知正数满足：，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】, , 当且仅当即时取等号． 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件式，利用正弦定理结合三角恒等变换求得，进而得到，，，取的中点，结合极化恒等式来处理. 【详解】由和正弦定理，得， 因为，所以，可得， 则，即， 又，则，故，即， 又，则，，所以， 取的中点，则， 由图知，当时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某中学随机调查了1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，. （1）求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）； （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4名学生，求恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率 【答案】（1）7.3 （2）0.3456 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，求出课外阅读时间在区间上的频率，再利用频率分布直方图平均数的求法求解即可； （2）结合（1）中结论，求得阅读时间在区间，，的频率和，即可得某一学生课外阅读时间超过8小时的概率，根据二项分布，求得从该校学生中随机抽取4名学生，恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率. 【小问1详解】 依题意，结合频率分布直方图，知课外阅读时间在区间上的频率为 所以该样本数据的平均数为：. 【小问2详解】 由（1）知课外阅读时间在区间上的频率为， 以频率代替概率，得该校某一学生课外阅读时间超过8小时的概率为. 从该校学生中随机抽取4名学生，记其中课外阅读时间超过8小时的人数为，则. 所以恰有1人课外阅读时间超过8小时的概率为. 16. 已知，，且与夹角为． （1）求在上的投影向量； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用投影向量的定义可求得在上的投影向量； （2）利用平面向量的数量积的运算性质求出、的值，可求得的值，再结合平面向量夹角的取值范围即可得出答案. 【小问1详解】 由投影向量的定义可知，在上的投影向量为. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 又因为，所以，即与的夹角为. 17. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用结合对数的运算性质，求得的值. （2）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围. 【小问1详解】 由得， 则，因为，且，解得：. 【小问2详解】 在单调递增， 由可得：对任意恒成立， 对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， 令，因为， 则， 在时为增函数， ∴，∴， 又∵，∴. 综上所述：实数的取值范围是. 18. 设函数， （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； （3）设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和差公式以及辅助角公式化简，再利用周期公式计算即可； （2）先求出的单调增区间，再令即可； （3）先求出的范围，再结合正弦函数的图象可得. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令，则， 令，则；令，则； 令，则； 若函数在是增函数，则， 则的最大值为. 【小问3详解】 ， 因为，则当时，， 结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则， 解得， 则的取值范围为. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. （1）证明：； （2）若，求； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理化简，得证； （2）由（1），利用同角关系式求得，将条件式，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换化简得解； （3）由正弦定理边化角可得，令，设，利用函数单调性求出值域. 【小问1详解】 由，得， 所以，得. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，且， 所以，解得，. 若，由正弦定理得，又， 所以，即， 所以， 所以，得， 又为锐角，所以. 【小问3详解】 由正弦定理， 因为是锐角三角形， 所以，且， 解得或（舍去）， 令，设， 当时，单调递增，故， 又，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义周林28届高二开学考试 数学试卷 出卷人：熊威 审卷人：高一数学组 试卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的虚部是（  ） A. 1 B. C. -1 D. - 3. 在中，角所对的边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知向量，，若//，则的值是 A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数则满足的的取值范围（ ） A. （-1，+∞） B. （1，＋∞） C. ） D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分. 9. 方程在复数集C的两个根分别为：，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆直径为 D. 中线的长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若为偶函数，且，则的值为______． 13. 已知正数满足：，则的最小值为________． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某中学随机调查了1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，. （1）求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）； （2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4名学生，求恰好有1人课外阅读时间超过8小时的概率 16. 已知，，且与夹角为． （1）求在上的投影向量； （2）求与的夹角． 17. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 设函数， （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； （3）设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. （1）证明：； （2）若，求； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $