2026年山东省济南市中考数学试题

秘密女启用前 济南市2026年初中学业水平考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟， 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将 答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.-7的倒数是 A.7 B.-7 D.-7 2.如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是 B 才正面 第2题图 C D. 3.在《城市综合发展指数报告(2025年)》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客 前来旅游.据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人.数据183000 用科学记数法表示为 A.1.83×104 B.18.3×104 C.1.83×105 D.0.183×106 4.下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 5.下列运算正确的是 A.x.x=x B.()2=x2y C.x8÷x2=x D.3x+3y=6xy 6.若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是 A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 7计算2 4x-4的结果是 x-2x-2 A.1 B.2-x C.x+2 D.x-2 8.经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两 人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是 A司 9如图，在平面直角坐标系x0中，A(3,0),B(9,0)是x轴上的两点，P是函数y= 3+ 图象上一动点，连接AP,BP.则AP2+BP的最小值为 A.30 B.36 C.42 D.63 10.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC,BC,CD LAB,垂足为点D. 以点B为圆心，以BC的长为半径作弧，交AB于点E;以点A为圆心，以AE的长为半 径作弧，交AC于点F.设BC=a,AC=b,CD=h,AD=m,BD=n,有下列结论： ①m+n≥2h; ②a2+m2≤3h2； 回若b=2a,则45-5+1。 CE 2 ④(m+n-a,0)是二次函数y=x2+2ax-b2的图象与x轴的一个交点； ⑤若F为AC的中点，则=3 以上结论正确的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B EO D 第9题图 第10题图 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案， 11.27的立方根是 12.如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上， 每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是 第12题图 13.如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD, 则图中阴影部分的面积是（结果保留π). 14.某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河一黄河”活动，两个年级匀速步行前进， 七年级比八年级早出发20min,七年级经过40min抵达目的地.两个年级之间的距离 y（单位：m)和七年级出发后的时间x（单位：min)之间的关系如图所示.则八年级 从出发到抵达目的地所用的时间是_min. 15.如图，平行四边形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=3,BC=4,M是AD上一点，将 纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕交BC 于点N,EF与BC交于点G.若BE=2AE,则BG= y/m 1500 M 1200 900 600 300 0204060x/min FN C 第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分7分) 计算：4sin60-反--3引+(-2》+(x-3.14)0。 17.(本小题满分7分) [2x+5≤3(x+2),① 解不等式组： ②’ 并写出它的所有整数解 2 18.(本小题满分7分) 已知：如图，E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点， 且∠BAE=∠DCF E B 求证：BF=DE. 第18题图 19.（本小题满分8分) 小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成缋可 以利用所学的知识进行估算.估算前、需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近 似看成线段)的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数.小明帮甲、乙 两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务， 动作图片 任务和示意图 相关条件 (1)计算甲同学的成绩（线段AE 的长度) AB=58 cm, BC=40 cm, E CD=78 cm, ∠ABC=150°， ∠BCD=30°， 第19题图1 ED⊥CD (2)计算乙同学的成绩（线段AE AB=61cm, 的长度) BC=41cm, CD=78.5cm, B ∠ABC=122°， ∠BCD=45°， ED⊥CD, D 第19题图2 AE⊥ED (结果精确到0.01cm,参考数据：sin77°≈0.974，cos77°≈0.225，tan77°≈4.331； 2=1.414,√3=1.732) 20.（本小题满分8分) 如图，AB是⊙O的直径，直线I与⊙O相切于点D,BE⊥I,垂足为点E,交⊙O于点C, 连接OE,交弦BD于点F. (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若DP=2,c0s∠4BC-号，求BF的长 0 第20题图 21.（本小题满分9分) 某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制)，从中随机抽取了部分学 生的成绩（成绩用x表示，单位：分)，并对数据（成绩)进行整理，数据分为五组： A:50≤x<60;B:60≤x<70;C:70≤x<80;D:80≤x<90;E:90≤x≤100， 下面给出了部分信息： a.C组的数据：70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,77,77,77,78,79,79. b.不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下： ◆人数（频数） 16 16 14 14 0 E 12 10 8 A 6 6 4 B12% 2 50 60708090100 成绩分 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； (3)请补全频数直方图； (4)抽取的学生成绩的中位数是 分； (5)该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到 80分及以上的学生人数： 22.（本小题满分10分) 为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准 备购买甲、乙两种型号的视力训练仪.已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共 需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元. (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不 少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲种 型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23.（本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标 为(6,4，反比例函数y=k(x>0)的图象经过BC的中点D,与AB交于点E: (1)求k的值； (2)点P是y冬(x>0)图象上一点 ①如图I,若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂足为点F,连接PE,EF,若△PEF 的面积为2，求点P的坐标； ②如图2，作直线AC,连接OP，,在OP上方作∠OP2=∠OAC,过点O作OP的垂线， 交PQ于点M,当点M落在直线AC上时，求点P的坐标 D 第23题图1 第23题图2 24.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c（c≠0)与x轴交于A,B两点（点B在 点A右侧)，点A的坐标为（-1,0)，与y轴交于点C. (1)若点（2,3)在该抛物线上， ①求该抛物线的表达式及点B的坐标； ②如图，连接BC,D为线段BC上一点，连接AD并延长，交抛物线于点E,F为第四 象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离为h,以AE,AF为边作平行四边形AEGF, 若△ADF的面积为2h,求平行四边形AEGF面积的最大值； (2)作直线BC,P是直线BC上一点，若使∠APO=45°的点P恰有两个，求b的取值 范围。 0 第24题图 第24题备用图 25.（本小题满分12分) 矩形ABCD中，BC=kMB(k≥1)，O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM, 过点O作OM的垂线，交BC于点N,连接MN, (1)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为 用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM,MW,NC的数量关系，并证明： (3)如图3，当-手，=6时，莲接0B,过点N作MLO8,垂足为点，E为AD 上一点，连接EC,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接MF,DF,当NO 平分∠CNH时，求MF+DF的最小值. D 0 M H N C 第25题图1 第25题图2 第25题图3秘密女启用前 济南市2026年初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分意见 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 题号 1 2 3 8 9 10 答案 D B A A B B 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分 11.3 2 13.8- 4 14.100 3 1s9 三、解答题：本题共10小题，共90分， 16.解：原式4x5-25-3-2+1 2 …5分 =-4… …7分 17.解：解不等式①，得x≥-1… …2分 解不等式②，得x<3… …4分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是一1≤x<3… …6分 整数解为-1,0,1,2…7分 18.证明：四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,AB∥CD…2分 .∠ABE=∠CDF …3分 .∠BAE=∠DCF ,△ABE≌△CDF… …4分 .BE=DF… …5分 ∴.BE+EF=DF+EF… 6分 即BF=DE… …7分 19.解：(1)如答案图1，过点B作BP⊥CD,垂足为点P,则∠BPC=∠BPD=90° 在Rt△BPC中 cosC=c0s30°=C2 BC BC=40 P=BCc0s300=40X/3=203=20X1.732=34.640 :∠ABC=150°，∠BCD=30° B ∴.∠ABC+∠BCD=180° .AB∥CD D .∠PBE=180°-∠BPD=90° 第19题答案图1 又，ED⊥CD,即∠PDE=9O 四边形BPDE是矩形… …2分 ..BE=DP .AE=AB+CP-CD=58+34.640-78=14.640=14.64(cm) 答：甲同学的成绩是14.64cm… …3分 (2)如答案图2，过点B作BMLCD,垂足为点M,交AE的延长线于点N…4分 在Rt△BMC中，∠BMC=90° BC-41 cosC=cos45CM CM=BCcos45°=41xY5_41W241x1,414 28.987…5分 22 2 又：'ED⊥CD,AE⊥ED则∠EDM=∠DEN=∠NMD=90° ∴.四边形NMDE是矩形，则NE=MD,∠AWB=9O° 在Rt△BMC中，∠C=45°，则∠CBM=45° dD 又，∠ABC=122° 第19题答案图2 .∠ABW=∠ABC-∠CBM=77°…6分 在Rt△ANB中，∠AWB=90° sin∠ABN=sin77°=ANW, AB 4B=61 .AW=ABsin77°=61X0.974=59.4]4…7分 ∴.AE=CM+AN-CD=28.987+59.414-78.5=9.901=9.90(cm) 答：乙同学的成绩是9.90cm. …8分 20.解：（1)如答案图1，连接OD ,直线1与⊙O相切于点D .∠ODE=90° …1分 ,BE⊥1 ∠BED=90° ∴.∠ODE+∠BED=180° ∴OD∥BE… …2分 ∴∠ODB=∠DBC .OB=OD .∠ODB=∠OBD …3分 ∴.∠OBD=∠DBC .BD平分∠ABC…4分 第20题答案图1 (2)如答案图2，过点D作DGLAB,垂足为点G,设⊙O的半径为” .OD∥BE .∠GOD=∠ABC ,DG⊥AB ∴.∠DG0=90° 在Rt△DGO中 cos∠GoD=O S,又c0s∠GoD=cos∠1BC 3 2 …5分 第20题答案图2 5 .BG=OB+OG= 3 ∠DGB=∠DEB=90°，∠DBG=∠DBE,DB=DB '.△DBG≌△DBE .5 ∴.BE=BG=r …6分 3 :∠ODF=∠EBF,∠OFD=∠EFB ∴.△ODF∽△EBF… …7分 .DFOD 即2=3 BEBE BF 5 ·BF=10 …8分 3 21.解：(1)6÷12%=50（人) 答：随机抽取的学生人数为50人. …2分 (2）28.8…3分 4人数（顿数） (3) 6 10 10 5060708090100 成绩分 …5分 (4)）79…7分 (5)14+10 600 …8分 50 =288(人) 答：估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数有288人.…9分 22.解：（1)设甲型视力训练仪的单价为x元，乙型视力训练仪的单价为y元，…1分 根据题意，得 2x+3y=850 …3分 3x+4y=1200 [x=200 解得 …4分 y=150 答：甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元. …5分 (2)设购买甲型视力训练仪m台，则购买乙型视力训练仪(60-m)合，购买甲型和乙型 视力训练仪共花费W元，…6分 根据题意，得m≥2（60-m）… …7分 解得m≥40 w=200×0.9m+150(60-m)=30m+9000 …8分 30>0 ,∴w的值随m值的增大而增大 当m=40时，w取得最小值…9分 此时w=30×40+9000=10200（元) 答：购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元.…10分 23.解：（1)四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6,4，点D为BC的中点 ∴点D的坐标为（3,4)… …1分 将点D(3,4)代入反比例函数y=华，得k=12 …2分 反比例函数的表达式为y=12 (2)①设点P的坐标为(m, ,PFLx轴，点P在矩形OABC的内部，E在AB上 m 则PF=12,PF边上的高为6-m。 …3分 SArEr126m)36 一6=2…… …4分 2 m ∴.m= ……5分 y “点P的坐标为(， 8) 3 …6分 ②如答案图，过点M作MG⊥x轴，垂足为点G,过点P作PHLx轴，垂足为点H 设直线AC的表达式为y=Sx+1 将A(6,0),C(0,4)代入，得 6s+1=0 2 解得 1=4 1=4 6直线4C的表达式为y=-子x+4 …7分 由题意，设点M的坐标为(m,一号+4(n<0) 则MG=-2n+4,0G=-n 3 M .∠OPM=∠OAC ·ian∠OPM=tanLOAC= 即OM=2 OP3 第23题答案图 '∠OMG+∠MOG=90°，∠POH+∠MOG=90° ∴.∠OMG=∠POH 又，∠MG0=∠OHP=90° ∴.△MGO∽△OHP :M6-0G0M2 OH PH OP 3 ÷0H=3MG=-n+6,PH=30G=-3 2 点P的坐标为（一n+6,一n）… …8分 2 :P是反比例丽数)=2(>0)图象上一点 (-n+6(-2=12 解得n=3+V7（舍去)，”，=3-7 …9分 ∴将n=3-7代入P(-n+6,-3n) 2 得点P的坐标为(3+，3万-9)…10分 2 24.解：（1)①地物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),点（2,3)在该抛物线上 [-1-b+c=0 …1分 14+2b+c=3 解 b=2 c=3 …2分 抛物线的表达式是y=一X2+2r+3…3分 令y=0,即-242x+3=0解得x=-1（舍去），x2=3 点B的坐标是(3,0)…4分 ②如答案图1，连接BF,EF,过点E作EH∥y轴，交AF于点H ,点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为（3,0)，点C的坐标为(0,3) AB=4」 又点F到x轴的距离为h ∴.SAABF= 2X4h=2h又SaM0r=2h .SAABF=S△MDF AF∥BC…5分 设直线BC的表达式为y=a+a 将B(3,0),C(0,3)代入，得 第24题答案图1 |状+日-0 1-3 房得1 a=3 ,直线BC的表达式为，=-+3 AF/BC 可议直线AF的表达式为y=-+1,将A(一1,0)代入，得1=-1 直线AF的表达式为y=-r-1 …6分 联立y--x2+2x+3和y=-r-1,得-x2+2xr+3=-r-1,解得x=-1（舍去)，x2=4 ,点F的坐标为(4，-5) 设点B的坐标为(m,-m2+2m+3).点H的坐标为(m,-m-1) .El--m2+2m+3-(-m-)--m2+3m+4 Sar-m2+3m+40x4-(i训=-m㎡+3m+④x5 .S FTiNON AEGF=2SAx--5n2+15m+20…7分 当m=号时，Sm4a取得最大值，最大值为 平行四边形AGF而积的最大值为2 …8分 4 (2)抛物线y=-x2+br+c与x轴交于A（-1,0) ∴.-1-b+c=0即b=c-1 ,y=-x2+(c-I)x+c 令y=0,得x=-1（舍去)，2=c ∴.点B的坐标为(c,0),c>-1 N 当x-0时，y=c,即点C的坐标为(0，c) 第24题答案图2 可得直线BC的表达式为y=一x+C…9分 如答案图2，以AO为斜边作等樱直角△AO0O1和等腰直角△AOO2 分别以O1,O2为圆心，以O10和O0的长为半径作⊙O1,⊙O2,与坐标轴的交点分别 为A(-1,0),0(0,0),M(0,1),N(0,-1) ,l圆心角∠AO1O=∠AO20-90 .当点P在优弧AMO和优抓ANO上（异于A,O)时，圆周角∠APO=45 ∴.当直线BC与优抓AMO和优抓AWO共有两个交点（异于A,O)时，使∠AP0=45° 的点P恰有两个 'c>-1,c0 .当直线BC与⊙O1相交时，符合题意… …10分 直线BC:y=-x+c过点M(0,1)或A(-1,0)时恰好与⊙O1相切 将M(0,1)代入直线BC的表达式y=-x+c,得c=1 将A(-1,0)代入直线BC的表达式y=-r+c,得c=-1…11分 ∴c的取值范围是-1<c<0或0<c<1 b=c-1 b的取值范围是-2<b<-1或-1<b<0… …12分 25.解：(1)0M=OW:AM2+NC2=MW2… …2分 (2)①OM=kON 证明如下： 如答案图1，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OQ⊥AB,垂足为点2 ,OQ⊥AB,BC⊥AB 00∥BC又点0为4C中点即40=} D AC 2 :但=40=即Q为AB的中点，02为△ABC的中位线 AB AC 2 B PN ∴00=号8c同理oP=0 第25题答案图1 BCk e .. OP AB …3分 .'∠MO2+∠MOP=90°，∠NOP+∠MOP=90° (当AM<AB时，∠MO2+∠QON=90,∠NOP+∠QON=90°) 2 .∠MO2=∠NOP 又'.∠O0M=∠0PN=90° ∴.△O2M∽△OPN … …4分 :OM-9=k,即OM=kON ·ON=0P …5分 ②AM2+NC2=MN2 6分 N 证明如下： 如答案图2，延长NO,交AD于点N,连接MW' ,四边形ABCD是矩形 M ∴AD∥BC 少 ∴.∠OCN=∠OAN 第25题答案图2 又.'∠CON=∠AON',OA=OC ∴.△OCW≌△OAN' OW=OW',CW=W…7分 .OM⊥NW',即MO垂直平分NW' ∴.MN=MN' 在Rt△MAN'中，由勾股定理得AM2+AN2=MN2 即AM2+NC2=W2…8分 (3)如答案图3，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OQ⊥AB,垂足为点g 由题意得，9C-号4B=8,0P-0=40=3,02=2R=4,0n=5 ,NO平分∠CNH,OP⊥BC,OHL HN .OH=OP=3,BH=2,又ON=ON,则Rt△OHN≌Rt△OPN .设NH=NP=x,BW=4-x 在△BW中，由勾股定理得公+2=(4-，解得x=号 由△OgM∽△OPN得Mg-OM=4 NP ON 3 :M0=4p=2 3 .AM=AQ-Mg=1… …9分 当点E与点D重合时，点F落在点F的位置 D 此时DC=DF。=6,∠CDF。=90° A∠DRc=∠DCR=45°， C=2 D 连接FC,FFo,由于EF=EC,∠FEC=90° A Fo M G .∠ECF=45°， 器=5，Dc=∠EcF ∴.∠DCF。-∠DCF=∠ECF-∠DCF N P (当AE<2时，∠DCF。十∠DCF=∠ECF+∠DCF) 第25题答案图3 即∠ECD=∠FCF。 c乐=cg-万 CD CE .△EDC∽△FFC .∠FFC=∠EDC=90° ∴点F在过点E。并且垂直于C,的射线F,F上运动 LFFD=∠FF,C-∠DF,C=45 当点E与点A重合时，点F落在点F的位置 点F的轨迹是线段F厂…l0分 作D关于F,F的对称点D',连接D,过点M作MG⊥DF,交DF,的延长线于点G 则MF+DF=AMF+D'F≥MD',∠DFD'=2LDF,F=90°=LGFA,D'F。=DF。=6 当M.F、D'三点共线时，F+DF取最小值…l川分 :∠G=∠Gf,A=∠AE。=90° 四边形AMGF是矩形 .MG=AFo=14.AM=FoG=1 .DG=Df。+FG=6+1=7 ∴.D'=VAMG+D'G2=75 .AF+DF的最小值为7W5…12分