3.2 波的描述（导学案）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦“波的描述”，核心知识点涵盖波的图像物理意义、与振动图像的区别联系、波长频率波速的概念及关系、波传播方向与质点振动方向互判，以及波的多解问题。课堂通过观察水波情景提问，引导学生思考波的周期性描述方法，建立波的图像概念，搭建前后知识学习支架。 此资料突出自主预习与情景导学结合，典例与变式分层训练，重点强化波的图像信息读取及互判方法，难点厘清波的多解逻辑。通过物理观念建构波的相关概念，科学思维培养推理与模型建构能力，助力学生深化理解并提升规范解题逻辑。

3.2 波的描述 导学案 1．知道波的图像中横、纵坐标表示的物理量，理解波的图像的物理意义。 2．知道波的图像与振动图像的区别与联系。 3．理解波长、频率和波速的概念及关系，并能进行相关的计算。 4．会根据波的图像进行波的传播方向和质点的振动方向的判断 1．理解波的图像的物理意义，会从波形图读取信息，掌握波传播方向与质点振动方向的互判方法。（重点） 2．理解波长、频率、波速的物理含义，掌握三者关系式，分清三个物理量的决定因素。（重点） 3．结合波的空间周期性、时间周期性分析波的多解问题，厘清多解产生的原因，规范多解题型解题逻辑。（难点） 【自主预习】 一、波的图像 1．波的图像的画法 (1)建立坐标系并选取正方向 用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。规定，位移向上时y取正值，向下时y取负值。 (2)描点 把平衡时位于x1，x2，x3，…的质点的位移y1，y2，y3，…画在Oxy坐标平面内，得到一系列坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…的点。 (3)作图 上述这些点的集合就是这一时刻波的图像，有时也称波形图。 2．正弦波(简谐波) (1)如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。 (2)介质中有正弦波传播时，介质的质点在做简谐运动。 3．波形图与振动图像 (1)波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。 (2)振动图像表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移。 二、波长、频率和波速 1．波长 (1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，叫作波长，通常用λ表示。 (2)特征 ①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长；在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。 ②相距一个(或整数倍个)波长的两个质点在任意时刻振动状态都相同。 2．周期(T)和频率(f) (1)定义：在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率。 (2)特征 ①波的周期或频率是由波源决定的。 ②一个周期内，振动在介质中传播的距离等于一个波长。 3．波速 (1)定义：机械波在介质中传播的速度。 (2)波速、波长、周期或频率的关系：由于波在一个周期内传播的距离等于一个波长，故有v＝＝fλ。 (3)决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定。在不同的介质中，波速是不同的。声速还与温度有关。 一、波的图像 【情景导学】观察水波 提问：水波在时间和空间上在做周期性变化，我们如何去描述水波？ 提问：波是不断变化的，如果知道了某一时刻的水波，又如何判断上一时刻或下一时刻的水波呢？ （一）波的图象表示法 在学生回答问题的基础上提示：我们可以用照象机把波的形状摄下来，就是按下快门瞬间各个质点离开各自平衡位置时的情形。我们就把这些质点连成曲线，就是该时刻的波的图象。 我们怎么准确描述上述图形中各个质点的位置？ 可以建立直角坐标系： （1）用横坐标表示在波传播方向上各质点的平衡位置。 （2）用纵坐标表示某时刻各质点偏离平衡位置的位移。 波的图像是在波的传播方向上介质中各振动质点的连线在某一时刻的波形． （3）图像的物理意义：波的图像表示某一时刻各个质点相对平衡位置的位移。 （4）波的图象也称波形图或波形曲线． （5）简谐波：如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。 ①简谐运动在介质中传播形成简谐波. ②简谐波是一种最基本、最简单的波. 然后提问：我们可以根据波的图像得出那些信息？ 应用一：波的传播方向 质点的振动方向 （1）质点带动法 先振动的质点带动邻近的后振动质点，在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P′，若P′在P点下方，则P向下振动，若P′在上方，则P向上振动。 （2）图象微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定. 从波源沿传播方向看：上坡下，下坡上 （3） 上下坡法 判断方法：上坡上的质点向下振动，下坡上的质点向上振动 （4）三角形法 三角形顶部表示波峰或波谷 （5）同侧法 在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧。 应用二：求波在任意时刻的波形图 画出经t=T/4后的波形图 （1）描点法： 操作：先找出两点（平衡位置和波峰及波谷特殊点）并确定其运动方向；然后确定经△t时间内这两点所达到的位置；最后按正弦规律画出新的波形。 （2）平移法: 操作：经过时间 ∆t，波在传播方向上移动的距离∆x,把图象沿传播方向平移∆x=v∆t即得到相对应的图象． 【典例1】如图所示的简谐横波正在沿x轴正方向传播。请回答下列问题： (1)质点P此时速度方向如何？加速度方向如何？ (2)质点K和P哪个先回到平衡位置？ (3)经过半个周期，质点L的位移和路程分别等于多少？ (4)请画出此波从图示状态传播四分之一个完整波形长度后的波形曲线。 【答案】　(1)向上　向下　(2)质点K(3)0　0.2 m　(4)图见解析 【解析】　(1)横波正在沿x轴正方向传播，此时质点P左侧质点在P上方，故质点P此时速度方向向上；此时质点P的位移向上，则回复力方向向下，加速度向下。 (2)横波正在沿x轴正方向传播，质点K在P左侧，则质点K先回到平衡位置。 (3)由题图知，各质点的振幅均为A＝0.1 m，此时质点L位于平衡位置，则经过半个周期，质点L又回到平衡位置，位移为0，路程为s＝2A＝2×0.1 m＝0.2 m。 (4)此波向右传播四分之一个完整波形长度，如图中虚线所示。 【变式1】(多选)根据图甲、乙所示，判断下列说法正确的是(　　) A.甲是振动图像，乙是波的图像 B.甲是波的图像，乙是振动图像 C.甲中A质点向下振动，乙中B时刻质点向下振动 D.甲中A质点向上振动，乙中B时刻质点向下振动 【答案】BD 【解析】　波的图像的横坐标表示波的传播方向上各质点的平衡位置，振动图像的横坐标为时间，故A错误，B正确；题图甲中A质点被其左侧的质点带动向上振动，题图乙中B时刻后质点的位移由零变为负值，故向下振动，故C错误，D正确。 二、波长、频率和波速 （一）波长 在上节图中，从 t=0 到 t=T 这段时间里，由质点 P0 发出的振动传到质点 P8，使质点 P8 开始振动。这时质点 P0 恰好结束了一次全振动而开始下一次全振动，此后质点 P0 和质点 P8 的振动步调相位是否完全一致？ 此后质点 P0 和质点 P8 的振动步调相位完全一致。 像这样的质点你还能找到哪些？他们有什么共同点？ 质点 P1和 P9 、P2和 P10……，他们振动的步调完全一致，且每两点的距离相等。 阅读课文，请总结波长的概念。 1.定义: 在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离，叫做波的波长。 2.几点说明 ： （1）“位移总相等” 的含义是“每时每刻都相等” （2）位移总相等的两个质点,其速度也总是相等的，相位也相同。 （3）在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。 （4）相距λ整数倍的质点振动步调总是相同的；相距λ/2奇数倍的质点振动步调总是相反的。 （二）周期（T）、频率（f） 在振源 P0完成一次全振动的时间里,波是否也完成了一次周期性的波动? 提示：波源振动一个周期,其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动。 每个质点是否都在做受迫振动？如果都在做受迫振动，那么每个质点的振动周期与波源振动的关系是怎样的？ 提示：各点都做受迫振动，受迫振动的一个规律是振动周期等于驱动力的周期。机械波的波源提供驱动力。 由振源 P0 发出的振动，经过一个周期 T，振动在介质中传播的距离等于多长一段距离？ 提示：每经过一个周期的时间波就沿传播方向传播一个波长的距离。 阅读课文，请总结周期（T）、频率（f） 的概念。 1.定义：波源质点振动的周期（或频率）就是波的周期（或频率）。 2.几点说明： （1）波的周期和频率的关系： （2）波的周期（或频率）应由波源决定，与传播波的介质无关。 （3）每经过一个周期的时间波就沿传播方向传播一个波长的距离。 （4）每经历一个周期的时间，当前的波形图与原有的波形图相同。 （三）波速（v） 阅读课文，请总结波速（v）的概念。 1.定义：单位时间内振动所传播的距离叫做波速。 2.物理意义：反映振动在介质中传播的快慢程度. 3.几点说明： （1）波速的大小由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度不同。 （2）一列波在同一均匀介质中是匀速传播的。 （3）要区分波速与质点振动速度的含义。 【典例2】(2025·随州市高二检测)一列简谐横波在某时刻的波形图如图所示，已知图中质点b的起振时刻比质点a延迟了0.5 s，b和c之间的距离是5 m，以下说法正确的是(　　) A.此列波的波长为2.5 m B.此列波的频率为2 Hz C.此列波的波速为2.5 m/s D.此列波的传播方向为沿x轴正方向传播 【答案】　D 【解析】　由题图可知，b和c之间的距离等于波长，则λ=5 m，故A错误；由于质点b的起振时刻比质点a延迟了0.5 s，则波沿x轴正方向传播，而质点a、b平衡位置之间的距离等于半个波长，所以振动周期是T=1 s，频率f=1 Hz，故B错误，D正确；波速为v=λf=5 m/s，故C错误。 【变式2】　(来自教材)图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。设该波的周期T大于0.5 s。 (1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？ (2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？ 【答案】　(1)0.12 m/s　2.0 s　(2)0.36 m/s　0.67 s 【解析】　(1)如果波是向左传播的，从题图看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了6 cm(个波长)， 由此可求出波速的大小 v== m/s=0.12 m/s 波的周期为T== s=2.0 s (2)如果波是向右传播的，从题图看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了18 cm(个波长)， 由此可以求出波速的大小 v== m/s=0.36 m/s 波的周期为 T== s≈0.67 s。 三、波的多解性 （1） 思考与讨论 思考与讨论：图中实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图。据此能否判定波的传播方向？ 在学生思考基础上，引领学生总结： （二）波的多解问题 1．造成波动问题多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解． ②空间周期性：沿传播的方向上，相隔波长的整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解． (2)双向性 对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定． ②振动方向双向性：质点振动方向不确定． 2．波动问题的几种可能性 (1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 (2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。 (3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿x轴正方向和x轴负方向两个方向传播的可能。 (4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能等。 3．解决波的多解问题的方法 (1)解决周期性多解问题时，一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δ t或Δ x，若此关系为时间，则t ＝ nT＋ Δ t(n ＝ 0，1，2，…)；若此关系为距离，则x ＝ n λ＋Δ x(n ＝ 0，1，2，…)。 (2)解决双向性多解问题时,养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、下(或左、右)两方向振动的可能。 现在你可以回答思考与讨论了吗？ 提示：只知道两个时刻的波形,不能判断波的传播方向。图示波形中,若0.1s=(n+ )T,可判定波向-x方向传播，若0.1s=(n+ )T,可判定波向+x方向传播。 【典例3】(多选)(2025·河南省豫北名校高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，t=0时波形如图所示，质点P的平衡位置位于x=7 m处。t=2 s时，质点P第一次到达波峰位置。下列判断正确的是(　　) A.若波沿着x轴正方向传播，周期为6 s B.若波沿着x轴正方向传播，波速为3 m/s C.若波沿着x轴负方向传播，周期为4 s D.若波沿着x轴负方向传播，波速为4 m/s 【答案】　AD 【解析】　由波形图可知波长λ=12 m，设周期为T，若波沿着x轴正方向传播，质点P此时正沿y轴正方向运动，则有T+T=t=2 s，解得周期T=6 s，则波速为v==2 m/s，故A正确，B错误；若波沿着x轴负方向传播，质点P此时正沿y轴负方向运动，则有T+T=t=2 s，解得周期T=3 s，则波速为v==4 m/s，故C错误，D正确。 【变式3】一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5 s。 (1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？ (4)若波速v=68 m/s，则波向哪个方向传播？ 【答案】　见解析 【解析】　(1)由题图可知波长λ=8 m， 当波向x轴正方向传播时Δt1=nT1+ 则周期T1= s(n=0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时Δt2=nT2+T2 T2= s(n=0，1，2…) (2)当波向x轴正方向传播时， 波速v1==4(4n+1) m/s(n=0，1，2…) 当波向x轴负方向传播时， 波速v2==4(4n+3) m/s(n=0，1，2…) (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T 则Δt=3T，解得周期T= s 波速为v==60 m/s (4)Δt内波传播的距离为 x=vΔt=68×0.5 m=34 m=4λ 故波向x轴正方向传播。 课堂小结： 一、单选题 1．一个人手拿着长绳的一端，当手上下振动，绳子上产生了波（如图所示）。当人的手频率加快，则下列错误的是（     ） A．波速变大 B．波速不变 C．波长变小 D．周期变小 【答案】A 【详解】AB．机械波的波速由传播介质本身的性质决定，本题中波沿同一根绳子传播，介质没有变化，因此波速保持不变，故A错误，B正确； D．波的频率等于振源即人手的振动频率，人手振动频率加快时，波的频率增大，而周期，因此周期变小，故D正确； C．根据波速公式，不变、增大，可得波长会减小，故C正确。 题目要求选择错误选项，故选A。 2．某同学手握弹簧左侧左右来回振动，使弹簧形成如图所示的纵波。已知相邻的密部和疏部相距0.4m，手每分钟左右完整振动30次，则该波的（　　） A．波长为0.8m B．波长为0.4m C．波速为4m/s D．波速为8m/s 【答案】A 【详解】AB．弹簧波为纵波，纵波波长为相邻的密部和密部间的距离，可知该波的波长为0.8m，故A正确，B错误； CD．因手每分钟左右完整振动30次，故该波的振动周期 波速，故CD错误。 故选A。 3．“战绳”又称“力量绳”，是一种比较粗重的绳，通过挥舞战绳能提高身体协调性，起到良好的身体塑形作用。如图，运动员用手以每秒2次全振动来抖动绳子左端，可形成一列向右传播的波，波速保持不变，a、b分别是波上最高点和最低点，ab间的水平距离为2m，下列说法正确的是（　　） A．波长等于2m B．波速等于8m/s C．抖动的频率越高波长越长 D．质点a此时速度水平向右 【答案】B 【详解】A．间的水平距离等于半个波长，所以波长等于4m，选项A错误； B．频率，可得波速，选项B正确； C．由于波速一定，则频率越高，波长越短，选项C错误； D．点此时速度为零，以后会向下振动，不会向右运动，选项D错误。 故选B。 4．一列简谐横波在介质中沿x轴正方向传播，波速为2m/s，时的波形图如图所示，为该介质中的一质点，下列说法正确的是（    ） A．该波的波长为14m B．该波的周期为7s C．时质点沿轴正方向运动 D．时质点的加速度方向沿轴负方向 【答案】C 【详解】A．由波形图可知 可得该波的波长为λ=16m，A错误； B．该波的周期为，B错误； C．根据“同侧法”可知时质点沿轴正方向运动，C正确； D．时质点的加速度方向指向平衡位置，即沿轴正方向，D错误。 故选C。 5．在xOy直角坐标系中，平衡位置位于O点的波源沿y轴振动，形成沿x轴传播的简谐横波，波源的位移y随时间t变化的关系为。则该简谐波在t=T时刻的波形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知，在前的短时间内，且随着增大，增大到零，所以波源在时位于平衡位置并沿轴正方向运动。机械波向轴正、负两个方向传播，邻近点的质点振动状态均比波源稍滞后，故它们的位移均为负，且波形关于轴对称。 故选A。 6．水上蹦床设施如图甲所示，游客在蹦床上规律跳动，水面激起一圈圈水波，波源位于点，水波在水平面内沿各方向匀速传播，导致波面呈现为圆形。时刻的部分波面分布如图乙所示，虚线、实线表示两相邻的波谷、波峰。已知处质点的振动图像如图丙所示，轴正方向表示竖直向上。下列说法正确的是（     ） A．水波的波速为 B．时，处质点位于波峰 C．时，处质点具有负向最大加速度 D．若游客加快跳动频率，则相邻波峰的间距将变大 【答案】B 【详解】A．由图丙可知周期，图乙中相邻波峰与波谷间距为，故水波波速，故A错误； B．由和，可得，从到，波峰传播距离，原来半径为的波峰到达半径为的处，故B正确； C．由和，可得，从到，原来半径为的波峰向外传播，到达半径为处，处与该波峰相距，故其位移为，由简谐运动规律，故C错误； D．水波传播介质不变，波速不变，由，可知频率增大时波长减小，即相邻波峰的间距变小，故D错误。 故选B。 7．一列简谐横波在时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点，图乙是质点Q的振动图像。关于该简谐波，下列说法正确的是（     ） A．波速为18m/s B．该横波沿x正方向传播 C．时，质点P正向下运动 D．一定时间后，质点P将会运动到Q的位置 【答案】C 【详解】A．由图甲可知，半个波长，则波长，由图乙可知，周期，所以波速 故A错误； B．由图乙可知，在时，质点振动方向沿轴正方向，在图甲中，对质点由同侧法知，这列波沿轴负方向传播，故B错误； C．在时，质点处于平衡位置且振动方向向上，从到过程经过半个周期，所以在时，质点处于平衡位置但振动方向向下，故C正确； D．在简谐横波传播过程中，介质中的质点只在平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移，故D错误。 故选C。 二、多选题 8．一列简谐横波在某均匀介质中沿直线传播，沿波的传播方向上依次有P、Q两个质点，其平衡位置相距9m，如图甲所示是质点P的振动图像，如图乙所示是质点Q的振动图像，t＝0时刻质点P和质点Q间有两个波峰。下列说法正确的是（　　） A．该简谐横波的周期为3s B．该波的波长是4m C．该波的传播速度为2m/s D．质点P位于波峰时，质点Q一定处于波谷 【答案】BC 【详解】A．由图可知，该简谐横波的周期为，故A错误； B．波的传播方向由P传到Q，t＝0时刻质点P在平衡位置向上振动，质点Q在波谷，且质点P和质点Q间有两个波峰，则 可得，故B正确； C．该波的传播速度为，故C正确； D．由振动图像可知，质点P位于波峰时，质点Q一定处于平衡位置，故D错误。 故选BC。 9．一列沿x轴传播的简谐横波在0时刻和t=3s时的部分波形分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．该横波的波长为3m B．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的周期可能为4s C．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s D．若该横波沿x轴负方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s 【答案】BD 【详解】A．由图可知，该横波的波长为4m，故A错误； B．若该横波沿x轴正方向传播，则传播的时间 解得 当时，故B正确； C．若该横波沿x轴正方向传播，周期为 则传播速度为 若，代入上式有 解得，不符合要求，故C错误； D．若该横波沿x轴负方向传播，则传播的时间 解得 则传播速度为 若，代入上式有 解得，符合要求，故D正确。 故选BD。 10．一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于，a、b为介质中平衡位置相距的两质点，其振动图像如图所示。则时的波形图可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，， 解得 即 当波的传播方向为b到a时，， 解得 即 同时时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知AD符合； 故选AD。 11．如图所示，波源O沿y轴作简谐运动，形成两列简谐横波，一列波在介质Ⅰ中沿x轴正方向传播，另一列波在介质Ⅱ中沿x轴负方向传播。t=0时刻完整波形如图所示，此时两列波分别传到x1=6m和x2=-4m处。t=1s时质点M位移不变，振动方向与t=0时刻相反，已知波源振动周期大于1s。下列说法正确的（　　） A．波源的起振方向为沿y轴负方向 B．介质Ⅱ中波的周期为 C．介质Ⅰ中与介质Ⅱ中波速之比为3∶2 D．质点M的振动方程为 【答案】CD 【详解】A．时，两列波分别传到和，由上下坡法可知，波源的起振方向沿轴负方向，故A错误； B．当时质点M位移不变，振动方向相反可知 已知波源振动周期大于1s，故两列波的周期均，此时，故B错误； C．介质I中与介质II中波长分别为、，由且周期相同，故介质I中与介质II中波速之比为3∶2，故C正确； D．设M点的振动方程为 由题意可知， 结合图可知 则质点M的振动方程为，故D正确。 故选CD。 12．如图所示，实线和虚线分别表示简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，平衡位置位于处的质点沿轴正方向运动，波的周期为，且，下列说法正确的是（     ） A．简谐波沿轴负方向传播 B．简谐波的周期为 C．简谐波的周期为 D．简谐波的传播速率为 【答案】AC 【详解】A．根据“上坡下，下坡上”，已知时点沿轴正方向运动，说明处于下坡段，可得波沿轴负方向传播，故A正确； BC．由图可知，该波波长 波沿负方向传播，从到 时间间隔满足 整理得周期 当不满足题意； 当时满足题意，故B错误，C正确； D．波速公式，若则 此时，不满足题意，故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0~3 s内的振动图像如图1所示。已知波的振幅为5 cm，波长为1 m。 (1)求波传播速度的大小； (2)求波源在3 s内通过的路程； (3)在图2中画出t=2 s时刻完整的波形图，并标出关键坐标。 【答案】(1)0.5 m/s (2)0.30 m (3) 【详解】（1）由图1可知波源振动周期为 根据，其中波长，可得波传播速度的大小 （2）波的振幅为，波源在0~3 s内通过的路程为 （3）由图1可知在t=0时波源的起振方向向下，由于波速为0.5 m/s，根据 可知该波在t=2 s时刚好传到位置为1 m的质点，且波源刚好回到平衡位置，又该波沿正方向传播，可绘制出t=2 s时刻的波形图如图所示 14．如图所示，一列简谐横波在均匀介质中沿轴传播，图中的实线和虚线分别为和时的波形图。 (1)若波沿轴正方向传播，求该波的周期； (2)若该波的周期，求该波的速度的大小和传播方向。 【答案】(1)（n=0，1，2，……） (2)5m/s，向负向传播 【详解】（1）波沿x轴正方向传播，由图可知，波向右传播的距离至少为，经历的时间至少为 考虑到波的周期性，则（n=0，1，2，……）   由题意知，   可得（n=0，1，2，……）   （2）由图可知，波长为，根据   可得波速 若波沿轴正方向传播，则（n=0，1，2，……） 得n=0.5不是整数，故该波不能向正方向传播   若波沿x轴负方向传播，则（n=0，1，2，……） 把代入上式，为整数。 故该波向负向传播（或向左侧传播） 【点睛】 15．如图甲所示是一列简谐横波在时的波形图，、是介质中的两个质点，图乙是质点的振动图像。求： (1)波的传播速度大小和传播方向 (2)质点的平衡位置坐标 【答案】(1)，沿轴正方向传播 (2) 【详解】（1）由波形图可知，图示相邻两个过零点的间距为半个波长，故 整理得，可用于计算波速。由质点的振动图像可知，由波速公式得 这就是波的传播速度大小。在时，质点向下振动，而波形图在处向右上方倾斜。由波形传播与质点振动的关系可知，波沿轴正方向传播。 （2）取质点经过平衡位置向上运动时相位为零。由图乙可知，质点在时经过平衡位置向上运动，所以在时的相位为 且正在向下振动。图甲中处质点的位移为，该处波形向右上方倾斜。由于波沿轴正方向传播，该质点在时向下振动，故其相位为，比质点超前，体现原点处质点的相位更大。沿波的传播方向，相位每减小对应一个波长。由相位差 可知质点位于原点右侧，故 所以所求平衡位置坐标为正。 质点振动方向与波的传播方向的互判方法 已知质点的运动方向来判断波的传播方向或已知波的传播方向来判断质点的运动方向时，依据的基本规律是横波的形成与传播的特点，常用方法有： (1)质点带动法 质点带动法是判断质点的振动方向的最直接的方法。波形成的过程中，靠近波源的质点带动离波源较远的质点振动，后振动的质点总是重复相邻的先振动的质点的运动。故在波形图上靠近波源的一侧临近的位置找一点(P′)，若这点在所研究点上方则研究点(P)向上运动，反之研究点向下运动，如图甲所示。 (2)微平移法 波向前传播，波形也向前平移。作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，运动方向也就知道了，如图乙所示。 (3)上下坡法 如图丙所示，沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。 (4)同侧法 如图丁所示，质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 波的描述 导学案 1．知道波的图像中横、纵坐标表示的物理量，理解波的图像的物理意义。 2．知道波的图像与振动图像的区别与联系。 3．理解波长、频率和波速的概念及关系，并能进行相关的计算。 4．会根据波的图像进行波的传播方向和质点的振动方向的判断 1．理解波的图像的物理意义，会从波形图读取信息，掌握波传播方向与质点振动方向的互判方法。（重点） 2．理解波长、频率、波速的物理含义，掌握三者关系式，分清三个物理量的决定因素。（重点） 3．结合波的空间周期性、时间周期性分析波的多解问题，厘清多解产生的原因，规范多解题型解题逻辑。（难点） 【自主预习】 一、波的图像 1．波的图像的画法 (1)建立坐标系并选取正方向 用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的 ，纵坐标y表示某一时刻各质点 。规定，位移向上时y取正值，向下时y取负值。 (2)描点 把平衡时位于x1，x2，x3，…的质点的位移y1，y2，y3，…画在Oxy坐标平面内，得到一系列坐标为 ， ， ，…的点。 (3)作图 上述这些点的 就是这一时刻 的图像，有时也称 。 2．正弦波(简谐波) (1)如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作 ，也叫 。 (2)介质中有正弦波传播时，介质的质点在做简谐运动。 3．波形图与振动图像 (1)波形图表示介质中的“各个质点”在“ ”的位移。 (2)振动图像表示介质中“某一质点”在“ ”的位移。 二、波长、频率和波速 1．波长 (1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个 间的距离，叫作波长，通常用 表示。 (2)特征 ①在横波中，两个 或两个 之间的距离等于波长；在纵波中，两个 或两个 之间的距离等于波长。 ②相距一个(或整数倍个)波长的两个质点在任意时刻振动状态都 。 2．周期(T)和频率(f) (1)定义：在波动中，各个质点的振动周期或频率是相同的，都等于波源的振动周期或频率，这个周期或频率也叫作波的周期或频率。 (2)特征 ①波的周期或频率是由 决定的。 ②一个周期内，振动在介质中传播的距离等于 。 3．波速 (1)定义：机械波在介质中传播的速度。 (2)波速、波长、周期或频率的关系：由于波在一个周期内传播的距离等于一个波长，故有v＝ ＝ 。 (3)决定因素：机械波在介质中的传播速度由 决定。在不同的介质中，波速是不同的。声速还与温度有关。 一、波的图像 【情景导学】观察水波 提问：水波在时间和空间上在做周期性变化，我们如何去描述水波？ 提问：波是不断变化的，如果知道了某一时刻的水波，又如何判断上一时刻或下一时刻的水波呢？ （一）波的图象表示法 在学生回答问题的基础上提示：我们可以用照象机把波的形状摄下来，就是按下快门瞬间各个质点离开各自平衡位置时的情形。我们就把这些质点连成曲线，就是该时刻的波的图象。 我们怎么准确描述上述图形中各个质点的位置？ 可以建立直角坐标系： （1）用横坐标表示在波传播方向上各质点的平衡位置。 （2）用纵坐标表示某时刻各质点偏离平衡位置的位移。 波的图像是在波的传播方向上介质中各振动质点的连线在某一时刻的波形． （3）图像的物理意义：波的图像表示某一时刻各个质点相对平衡位置的位移。 （4）波的图象也称波形图或波形曲线． （5）简谐波：如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。 ①简谐运动在介质中传播形成简谐波. ②简谐波是一种最基本、最简单的波. 然后提问：我们可以根据波的图像得出那些信息？ 应用一：波的传播方向 质点的振动方向 （1）质点带动法 先振动的质点带动邻近的后振动质点，在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P′，若P′在P点下方，则P向下振动，若P′在上方，则P向上振动。 （2）图象微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定. 从波源沿传播方向看：上坡下，下坡上 （3） 上下坡法 判断方法：上坡上的质点向下振动，下坡上的质点向上振动 （4）三角形法 三角形顶部表示波峰或波谷 （5）同侧法 在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧。 应用二：求波在任意时刻的波形图 画出经t=T/4后的波形图 （1）描点法： 操作：先找出两点（平衡位置和波峰及波谷特殊点）并确定其运动方向；然后确定经△t时间内这两点所达到的位置；最后按正弦规律画出新的波形。 （2）平移法: 操作：经过时间 ∆t，波在传播方向上移动的距离∆x,把图象沿传播方向平移∆x=v∆t即得到相对应的图象． 【典例1】如图所示的简谐横波正在沿x轴正方向传播。请回答下列问题： (1)质点P此时速度方向如何？加速度方向如何？ (2)质点K和P哪个先回到平衡位置？ (3)经过半个周期，质点L的位移和路程分别等于多少？ (4)请画出此波从图示状态传播四分之一个完整波形长度后的波形曲线。 【变式1】(多选)根据图甲、乙所示，判断下列说法正确的是(　　) A.甲是振动图像，乙是波的图像 B.甲是波的图像，乙是振动图像 C.甲中A质点向下振动，乙中B时刻质点向下振动 D.甲中A质点向上振动，乙中B时刻质点向下振动 二、波长、频率和波速 （一）波长 在上节图中，从 t=0 到 t=T 这段时间里，由质点 P0 发出的振动传到质点 P8，使质点 P8 开始振动。这时质点 P0 恰好结束了一次全振动而开始下一次全振动，此后质点 P0 和质点 P8 的振动步调相位是否完全一致？ 此后质点 P0 和质点 P8 的振动步调相位完全一致。 像这样的质点你还能找到哪些？他们有什么共同点？ 质点 P1和 P9 、P2和 P10……，他们振动的步调完全一致，且每两点的距离相等。 阅读课文，请总结波长的概念。 1.定义: 在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离，叫做波的波长。 2.几点说明 ： （1）“位移总相等” 的含义是“每时每刻都相等” （2）位移总相等的两个质点,其速度也总是相等的，相位也相同。 （3）在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。 （4）相距λ整数倍的质点振动步调总是相同的；相距λ/2奇数倍的质点振动步调总是相反的。 （二）周期（T）、频率（f） 在振源 P0完成一次全振动的时间里,波是否也完成了一次周期性的波动? 提示：波源振动一个周期,其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动。 每个质点是否都在做受迫振动？如果都在做受迫振动，那么每个质点的振动周期与波源振动的关系是怎样的？ 提示：各点都做受迫振动，受迫振动的一个规律是振动周期等于驱动力的周期。机械波的波源提供驱动力。 由振源 P0 发出的振动，经过一个周期 T，振动在介质中传播的距离等于多长一段距离？ 提示：每经过一个周期的时间波就沿传播方向传播一个波长的距离。 阅读课文，请总结周期（T）、频率（f） 的概念。 1.定义：波源质点振动的周期（或频率）就是波的周期（或频率）。 2.几点说明： （1）波的周期和频率的关系： （2）波的周期（或频率）应由波源决定，与传播波的介质无关。 （3）每经过一个周期的时间波就沿传播方向传播一个波长的距离。 （4）每经历一个周期的时间，当前的波形图与原有的波形图相同。 （三）波速（v） 阅读课文，请总结波速（v）的概念。 1.定义：单位时间内振动所传播的距离叫做波速。 2.物理意义：反映振动在介质中传播的快慢程度. 3.几点说明： （1）波速的大小由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度不同。 （2）一列波在同一均匀介质中是匀速传播的。 （3）要区分波速与质点振动速度的含义。 【典例2】(2025·随州市高二检测)一列简谐横波在某时刻的波形图如图所示，已知图中质点b的起振时刻比质点a延迟了0.5 s，b和c之间的距离是5 m，以下说法正确的是(　　) A.此列波的波长为2.5 m B.此列波的频率为2 Hz C.此列波的波速为2.5 m/s D.此列波的传播方向为沿x轴正方向传播 【变式2】　(来自教材)图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s后，其波形如图中虚线所示。设该波的周期T大于0.5 s。 (1)如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？ (2)如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？ 三、波的多解性 （1） 思考与讨论 思考与讨论：图中实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图。据此能否判定波的传播方向？ 在学生思考基础上，引领学生总结： （二）波的多解问题 1．造成波动问题多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解． ②空间周期性：沿传播的方向上，相隔波长的整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解． (2)双向性 对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定． ②振动方向双向性：质点振动方向不确定． 2．波动问题的几种可能性 (1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 (2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。 (3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿x轴正方向和x轴负方向两个方向传播的可能。 (4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能等。 3．解决波的多解问题的方法 (1)解决周期性多解问题时，一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δ t或Δ x，若此关系为时间，则t ＝ nT＋ Δ t(n ＝ 0，1，2，…)；若此关系为距离，则x ＝ n λ＋Δ x(n ＝ 0，1，2，…)。 (2)解决双向性多解问题时,养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、下(或左、右)两方向振动的可能。 现在你可以回答思考与讨论了吗？ 提示：只知道两个时刻的波形,不能判断波的传播方向。图示波形中,若0.1s=(n+ )T,可判定波向-x方向传播，若0.1s=(n+ )T,可判定波向+x方向传播。 【典例3】(多选)(2025·河南省豫北名校高二期中)一列简谐横波沿x轴传播，t=0时波形如图所示，质点P的平衡位置位于x=7 m处。t=2 s时，质点P第一次到达波峰位置。下列判断正确的是(　　) A.若波沿着x轴正方向传播，周期为6 s B.若波沿着x轴正方向传播，波速为3 m/s C.若波沿着x轴负方向传播，周期为4 s D.若波沿着x轴负方向传播，波速为4 m/s 【变式3】一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5 s。 (1)这列波的周期可能是多大？ (2)这列波可能的波速表达式是怎样的？ (3)若波向x轴负方向传播，且3T<Δt<4T，波速为多大？ (4)若波速v=68 m/s，则波向哪个方向传播？ 课堂小结： 一、单选题 1．一个人手拿着长绳的一端，当手上下振动，绳子上产生了波（如图所示）。当人的手频率加快，则下列错误的是（     ） A．波速变大 B．波速不变 C．波长变小 D．周期变小 2．某同学手握弹簧左侧左右来回振动，使弹簧形成如图所示的纵波。已知相邻的密部和疏部相距0.4m，手每分钟左右完整振动30次，则该波的（　　） A．波长为0.8m B．波长为0.4m C．波速为4m/s D．波速为8m/s 3．“战绳”又称“力量绳”，是一种比较粗重的绳，通过挥舞战绳能提高身体协调性，起到良好的身体塑形作用。如图，运动员用手以每秒2次全振动来抖动绳子左端，可形成一列向右传播的波，波速保持不变，a、b分别是波上最高点和最低点，ab间的水平距离为2m，下列说法正确的是（　　） A．波长等于2m B．波速等于8m/s C．抖动的频率越高波长越长 D．质点a此时速度水平向右 4．一列简谐横波在介质中沿x轴正方向传播，波速为2m/s，时的波形图如图所示，为该介质中的一质点，下列说法正确的是（    ） A．该波的波长为14m B．该波的周期为7s C．时质点沿轴正方向运动 D．时质点的加速度方向沿轴负方向 5．在xOy直角坐标系中，平衡位置位于O点的波源沿y轴振动，形成沿x轴传播的简谐横波，波源的位移y随时间t变化的关系为。则该简谐波在t=T时刻的波形为（     ） A． B． C． D． 6．水上蹦床设施如图甲所示，游客在蹦床上规律跳动，水面激起一圈圈水波，波源位于点，水波在水平面内沿各方向匀速传播，导致波面呈现为圆形。时刻的部分波面分布如图乙所示，虚线、实线表示两相邻的波谷、波峰。已知处质点的振动图像如图丙所示，轴正方向表示竖直向上。下列说法正确的是（     ） A．水波的波速为 B．时，处质点位于波峰 C．时，处质点具有负向最大加速度 D．若游客加快跳动频率，则相邻波峰的间距将变大 7．一列简谐横波在时的波形图如图甲所示，P、Q是介质中的两个质点，图乙是质点Q的振动图像。关于该简谐波，下列说法正确的是（     ） A．波速为18m/s B．该横波沿x正方向传播 C．时，质点P正向下运动 D．一定时间后，质点P将会运动到Q的位置 二、多选题 8．一列简谐横波在某均匀介质中沿直线传播，沿波的传播方向上依次有P、Q两个质点，其平衡位置相距9m，如图甲所示是质点P的振动图像，如图乙所示是质点Q的振动图像，t＝0时刻质点P和质点Q间有两个波峰。下列说法正确的是（　　） A．该简谐横波的周期为3s B．该波的波长是4m C．该波的传播速度为2m/s D．质点P位于波峰时，质点Q一定处于波谷 9．一列沿x轴传播的简谐横波在0时刻和t=3s时的部分波形分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．该横波的波长为3m B．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的周期可能为4s C．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s D．若该横波沿x轴负方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s 10．一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于，a、b为介质中平衡位置相距的两质点，其振动图像如图所示。则时的波形图可能为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，波源O沿y轴作简谐运动，形成两列简谐横波，一列波在介质Ⅰ中沿x轴正方向传播，另一列波在介质Ⅱ中沿x轴负方向传播。t=0时刻完整波形如图所示，此时两列波分别传到x1=6m和x2=-4m处。t=1s时质点M位移不变，振动方向与t=0时刻相反，已知波源振动周期大于1s。下列说法正确的（　　） A．波源的起振方向为沿y轴负方向 B．介质Ⅱ中波的周期为 C．介质Ⅰ中与介质Ⅱ中波速之比为3∶2 D．质点M的振动方程为 12．如图所示，实线和虚线分别表示简谐横波在和时刻的波形图。已知在时刻，平衡位置位于处的质点沿轴正方向运动，波的周期为，且，下列说法正确的是（     ） A．简谐波沿轴负方向传播 B．简谐波的周期为 C．简谐波的周期为 D．简谐波的传播速率为 三、解答题 13．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0~3 s内的振动图像如图1所示。已知波的振幅为5 cm，波长为1 m。 (1)求波传播速度的大小； (2)求波源在3 s内通过的路程； (3)在图2中画出t=2 s时刻完整的波形图，并标出关键坐标。 14．如图所示，一列简谐横波在均匀介质中沿轴传播，图中的实线和虚线分别为和时的波形图。 (1)若波沿轴正方向传播，求该波的周期； (2)若该波的周期，求该波的速度的大小和传播方向。 15．如图甲所示是一列简谐横波在时的波形图，、是介质中的两个质点，图乙是质点的振动图像。求： (1)波的传播速度大小和传播方向 (2)质点的平衡位置坐标 质点振动方向与波的传播方向的互判方法 已知质点的运动方向来判断波的传播方向或已知波的传播方向来判断质点的运动方向时，依据的基本规律是横波的形成与传播的特点，常用方法有： (1)质点带动法 质点带动法是判断质点的振动方向的最直接的方法。波形成的过程中，靠近波源的质点带动离波源较远的质点振动，后振动的质点总是重复相邻的先振动的质点的运动。故在波形图上靠近波源的一侧临近的位置找一点(P′)，若这点在所研究点上方则研究点(P)向上运动，反之研究点向下运动，如图甲所示。 (2)微平移法 波向前传播，波形也向前平移。作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，运动方向也就知道了，如图乙所示。 (3)上下坡法 如图丙所示，沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。 (4)同侧法 如图丁所示，质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $